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二次函数的最值 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值
2．已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知抛物线（是常数，且），点是该抛物线上的两点，给出下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④当时，有最大值是；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③⑤
4．已知二次函数（为常数，且）的图象经过点，且该二次函数有最大值，当时，该二次函数的最小值为（ ）
A．9 B． C．6 D．
5．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（）
A． B． C． D．
6．当关于的二次函数的最大值为时，的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
7．已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）．
A．1 B．2 C．5 D．1或
二、填空题
10．已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为______．
11．二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______．
12．对于二次函数，当时，y的取值范围为___________．
13．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象经过点，则______．
（2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为______．
14．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为__________．
15．设m，n是非零自然数，并且，则的最小值是____．
三、解答题
16．已知二次函数．
(1)若点在该函数图象上，求此函数图象的对称轴；
(2)在（1）的基础上，若，当时，求二次函数的最大值；
(3)若该函数在时，y随x增大而减小；在时，y随增大而增大，请求出b的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线
(1)如图，当时，求该抛物线顶点的坐标；
(2)求证：抛物线 过定点；
(3)如图，当 时，该抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，点P 是直线下方抛物线上一动点，求点 P 到直线距离的最大值．
18．已知抛物线
(1)当时，有求的值；
(2)当时，有且求m的值．
19．已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、．
(1)求的长度；
(2)点P为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，E、F为直线上两点（点在点左方），且，当最大时，求出这个最大值，并求出点E的坐标．
20．已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若时，，求m的取值范围；
(3)若时，y的最大值为，求n的值．
21．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，．
(1)求b，c的值；
(2)当时，求的最大值与最小值之差；
(3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的值．
22．已知二次函数（常数）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若．
①当时，该函数的最小值为，求的值；
②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A B B D B B D C D
1．A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数有最小值为；
当时，函数有最大值为；
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，掌握二次方程判别式、函数图像的位置关系以及代数式的最值是解题的关键．
联立抛物线与直线方程，利用判别式求唯一交点条件，结合点在第一象限的坐标条件，推导与的关系，代入求值范围．
【详解】∵抛物线与直线只有一个交点
∴方程只有一个解
∴，交点的横坐标，纵坐标，
∴
∵，
∴
∵点在第一象限
∴点横坐标，纵坐标
∴
∴
∴
代入得：
∴
把代入得：
时有最小值是，时随的增大而增大
且时
，，，中只有在范围内
的值可能是
故选：．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数开口方向，与坐标轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果．
【详解】解：∵抛物线（是常数，且），
当时，，
∴抛物线与轴的交点是，
故结论①正确，此结论符合题意；
∵抛物线的对称轴为，
故结论②错误，此结论不符合题意；
∵，
∴ 开口向上，
当时，随的增加而减小，
故时，两点位于对称轴的左侧，
∴
故结论③正确，此结论符合题意；
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
故结论④正确，此结论符合题意；
当时，，
∵，
∴，
故结论⑤错误，此结论不符合题意；
综上所述，正确的结论为①③④，选B．
4．D
【分析】先将已知点代入二次函数解析式求出a的可能值，再根据二次函数有最大值确定a的取值，得到函数解析式，结合开口方向、对称轴与给定x的范围，即可求出最小值．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴将，代入解析式，得，
整理得，
解得 或 ，
∵二次函数有最大值，
∴抛物线开口向下，，
∴，
∴二次函数解析式为
抛物线开口向下，对称轴为
在区间中，端点到对称轴的距离更远，
∵开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小，
∴当时，函数取得最小值，
将代入得
即该二次函数的最小值为，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数最值问题，首先由二次函数开口方向及最大值点求参数a，再求区间端点函数值的最小值，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴二次函数的图像开口向下，顶点横坐标，
∴y的最大值在处，，
解得，
∴该函数解析式为，
当时，，
当时，，
∴当时，y的最小值为．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的性质；由于二次函数有最大值，二次项系数需小于，即；最大值在顶点处，因一次项系数为，顶点在处，故，解方程并检验．
【详解】解：函数为二次函数且有最大值，
，即．
又一次项系数为，
顶点横坐标，最大值．
关于的二次函数的最大值为时，
则，
即，
解得，
或．
但且确保为二次函数，
．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，先求出k的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可．由条件可得和，根据非负性得出 k 的取值范围为 ，代数式为二次函数，开口向上，故最小值在时取得．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴ 且，即，
令代数式，
∵ 二次项系数，对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，
∴当时，取最小值，最小值为．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式组等知识，先把代入，求出，然后根据对称轴公式求出对称轴为，然后分；；三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
化简得，
∴抛物线的对称轴为，
当，即时，
抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值为顶点的纵坐标，
当时，y的最小值也为顶点的纵坐标，故符合题意；
当，即时，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，当时，y取最小值，
∵当时，，抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值，
∴或，
解得或无解，
∴，
当，即时，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，当时，y取最小值，
∵抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值，
∴或或或，
解得无解，
解得无解，
解得无解，
解得无解，
综上，，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系讨论最小值．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点为
当时，
若，则包含顶点，最小值为1；
若，则函数在上递减，最小值为当时，
∴最小值为1或
故选：D．
10．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，最值的计算是关键．
根据题意得到当，二次函数的最小值为，由此得到，结合二次函数最值的计算即可求解．
【详解】解：关于的二次函数，
∵，
∴函数图象开口向上，对称轴直线为，
∴当，二次函数的最小值为，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，
∴当，的最大值为，
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点到直线的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点到直线的距离的最小值．
【详解】解：二次函数，
该函数顶点的纵坐标为：，
点P到直线的距离为：，
当时，点P到直线的距离取得最小值，
故答案为：
12．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围．
【详解】解：二次函数，
该函数图象开口向下，当时，有最大值4，
当时，，当时，，
，
的取值范围为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质．
（1）把代入二次函数解析式，解方程即可．
（2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）二次函数的图象经过点，
，解得，
故答案为：．
（2），
将该二次函数的图象向下平移个单位长度，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标为，
，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为．
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值．熟练掌握二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值是解题的关键．
通过联立两点在抛物线上得到的方程，消去无关变量，推导出与的关系式，再将目标表达式转化为含单一变量的函数，最后利用平方展开法以及完全平方数的非负性得到即可求解．
【详解】解：对于点有： ①，
对于点有： ②，
得：③
令，，
则，
，
因此，
对直接去括号得到：
则有：


因为，两边同时除以可得：
，即．
将代入，
得到：，
因为，
所以有
所以，
所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
15．102
【分析】根据，得，故，构造以为自变量的二次函数，利用二次函数的最值解答即可．
本题考查了自然数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
当时，取得最小值，且为，
∵m，n是非零自然数，
∴，，
∴，
∴，
∴n的最小值为6，
∴，取得最小值，且为：．
故答案为：102．
16．(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质（对称轴、最值、增减性），解题的关键是掌握二次函数对称轴公式及开口方向对增减性的影响．
（1）利用二次函数过的两点，结合对称轴公式求对称轴；
（2）代入参数得到函数解析式，根据开口方向和区间距离对称轴的远近求最值；
（3）根据增减性确定对称轴的范围，进而求解的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴当时，，
即二次函数过点，
又点在该函数图象上，
∴此函数图象的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知对称轴为直线，
，
又，
，
，
∴该二次函数开口向上，
又，
∴当时，，二次函数有最大值为，
∴当时，二次函数有最大值为12；
（3）解：∵二次函数，
∴此函数图象的对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向上，
∵在时，y随x的增大而减小，
，
解得，
∵在时，y随x的增大而增大，
，
解得，
．
17．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）把m的值代入函数式中再化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）抛物线解析式分解因式得，当时，，即可得抛物线过定点；
（3）过点P分别作于点C，作y轴的平行线交于点 D．求出点A、B的坐标，再求出直线的解析式为；易得是等腰直角三角形，则有，设点D的坐标为，则点P的坐标为 ，从而可表示出，由二次函数的性质求得的最大值，即可求解．
【详解】（1）解：当时，该抛物线为 ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
（2）证明：∵，
∴当时，，
∴抛物线过定点；
（3）解：如图，过点P分别作于点C，作y轴的平行线交于点 D．
令，解得或，
∴点A的坐标为，
令，则
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得 ，
∴直线的解析式为．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设点D的坐标为，则点P的坐标为 ，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为1，此时
∴点P到直线距离的最大值为
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键．
18．(1)12
(2)或2
【分析】（1）依据题意，由，结合二次函数的性质，可对时，的函数值进行判断、，最后计算得解；
（2）依据题意，分四种情况讨论：当时，此时，，求得；当时，此时，，求得；当时，当时，最后进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴当时，取最小值为3．
又当时，，
∴当时，．
又当时，有，
．
．
（2）解：当时，，
当时，，
∵当时，则有，
∴①当时，即，此时，，
∴，
解得；
②当时，此时，，
∴，
解得；
③当时，即，则，，
∴，
解得（舍）或（舍）；
④当时，即时，则，，
∴，
解得（舍）或（舍）；
综上所述：或2．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会分类讨论是解题的关键．
19．(1)4
(2)
(3)，最大值为
【分析】本题考查了二次函数及其图象性质，正方形判定和性质，轴对称性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）令，求出一元二次方程的根即横坐标，进而题目可解；
（2），根据，坐标，求出的函数关系式，过点作轴平行线交于，设点坐标，表示出点坐标，进而求得长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得；
（3）作点关于的对称点，将沿着方向移动个单位得，连接并延长交于，发现是正方形，可得出点和重合，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由得，
，
，，
，，
；
（2）解：如图1，过点P作轴的平行线交于点D，
设点，
点，，
设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
∴；
（3）解：如图2，
作于，延长至，使，
将沿着方向移动单位至，连接交于，将沿着方向移动至，
则最大，
，，
四边形是平行四边形，
，
是矩形，
是正方形，
，，，
，
∵，
，
当时，，
∴，
最大．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题．
（1）利用待定系数法求解析式；
（2）通过分析函数图象和不等式确定m的范围；
（3）通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴代入得：
，
即，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：∵，
∴函数最小值为，且当时，，当时，．
∵时，，且恒成立，
∴只需，即，且，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴m的取值范围为；
（3）解：∵，
∵，
当时，函数在区间上递减，最大值在处，
∴，
设最大值为，
∴，
即，
解得或，
∵，
∴；
当时，函数的最大值在处，同理解得或，不符合题意舍去；
当时，函数的最大值不存在；
当时，即，函数在递增，函数的最大值不存在，
综上，．
21．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的解法，的最值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）将已知两点坐标代入函数解析式中，求得b，c的值；
（2）先写出二次函数解析式，求出最小值，再在内求出最大值，从而可求得的最大值与最小值之差；
（3）分、且、三种情况讨论，分别求出的值．
【详解】（1）解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点，，
∴，
解得：；
（2）∵函数，，
∴函数的解析式为，
，
二次项系数为，
所以抛物线的开口向上，
所以当时，有最小值2，
当时，在内，
取，则，
取，则，
所以二次函数的最小值为2，最大值为，
所以的最大值与最小值之差为；
（3）①当时，
仅当时，取得最小值，此时；
仅当时，取最大值，此时；
所以，
解得：，
，
不符合；
②当且时，即，此时最小值为2，
当取得最大值时，
即时，，
所以，
此时最大值为，
所以，
解得：或，
，
不符合，
所以此时；
当取得最大值时，
即时，，
所以，
此时最大值为，
所以，
解得：或，
因为，
所以不符合，
所以此时；
③当时，即，
仅当，取得最小值，
此时，
仅当，取得最大值，
此时，
所以，
解得：，
因为，
所以不符合，
综上所述，的值为或．
22．(1)直线
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
（2）解：①，
∴抛物选开口向上，
，
∴当时，该函数最小值为
∵该函数的最小值为，
，
∴，
②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等
当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）
当时，
当时，
∵两个函数的最小值相等，
，即
【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的增减性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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