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二次函数图象与系数a，b，c的关系 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．在同一坐标系中，函数与的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，点，点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（ ）
A．无论取何值，总是负数
B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当时，随着的增大，的值先增大后减小
D．若依次连接、、、，则四边形为正方形
9．知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
二、填空题
10．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个．
11．二次函数的图象如图所示，现有以下结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论有_____（填序号）．
12．二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限．
13．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为____．

14．如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论：
①；
②；
③ ；
④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根；
⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可）
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求该抛物线的对称轴；
②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系；
(2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围．
16．已知二次函数
(1)若函数图象过点，，求的取值范围；
(2)若函数图象过点，其中，，都整数，且是偶数．
求证：，，都是偶数．
17．设二次函数的图象过，，且顶点在第四象限．
(1)求c的值及的关系式；
(2)令，求t的取值范围．
18．已知抛物线，
(1)若抛物线过点，求抛物线的对称轴；
(2)已知点在抛物线上，其中，若存在使，试比较的大小关系．
19．在平面直角坐标系中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求的值；
(2)若，点，在抛物线上，若，求的取值范围；
(3)若点和在抛物线上，若，且，求的取值范围．
20．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时，；当x取何值时，．
21．已知二次函数（）的图像经过点．和．
(1)求，满足的关系式；
(2)若函数图像与轴无交点，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C B B A C B C D
1．A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴，
，，，
，
，，
直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选A．
2．C
【分析】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关系，难度不大．
利用一次函数的图象的性质确定的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项．
【详解】解：由一次函数的图象可知，∴，
∴二次函数，开口向下，对称轴在轴的左侧，且经过原点，
当时，，
∴满足条件的函数图象只有C，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点可对①②④进行判断；根据图象过，结合对称轴则可对③进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤进行判断．
【详解】解：观察图象，可知该图象开口向上，与轴交于正半轴，与轴有两个交点，
，故②正确；
图象过点，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①错误，④正确；
把代入中，得，
又，
，即，
，故③正确；
由图象，可得当1时，随的增大而减小，故⑤错误．
综上所述，可得①⑤错误，②③④正确．正确结论有3个，
故选B．
4．B
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据题意可知，，，据此判断函数的图象大致位置即可．
【详解】解：根据图示可知，，，，
∴，对称轴，，
∴函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，
故选：B．
5．A
【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可．
【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号，
A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意；
B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意；
C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意；
当时，函数的图象在二，四象限，此时异号，
D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线对称轴为直线可得a与b的关系，从而判断①；由时可判断②；由抛物线经过点及抛物线对称轴可求出b与a，c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断⑤．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
，即，①正确；
由图象可得时，， 即．
，②正确；
抛物线经过，
．
，
．
．
抛物线开口向下，
．
，③正确；
，则点B，点C，点A到抛物线对称轴距离依次增大，
，④错误；
抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线经过点．
抛物线解析式为．
方程的两根为抛物线与直线的交点的横坐标．
由图象可得，⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤，
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④．
【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．
故选：B．
8．C
【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行即可判断D．
【详解】解：记抛物线与分别为抛物线和抛物线，
A、，
，
，
无论取何值，总是负数，
故A正确，不符合题意；
B、∵抛物线与交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
∴将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，
故B正确，不符合题意；
C、，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
，
当，随着的增大，的值减小，
故C不正确，符合题意；
D、设与轴交于点，
，
，
由C可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
∵，，，，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．
9．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c＞0，把b=2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，利用对称性得到另一个交点坐标，从而得到x1、x2的值，则可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，
即，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b=2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），
即，所以④正确；
∵图象经过点时，方程的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为，
即x1=，x2=，
∴，所以⑤正确．
综上所述，正确的是：②③④⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
10．3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键．
①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解．
【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，故结论①正确；
②∵对称轴为直线，
即，
∴，故结论②正确；
③∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，
即，故结论③错误；
④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线，
∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1，
，故结论斯正确．
综上所述，正确的结论共3个．
故答案为：3．
11．②③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与b的关系，以及数形结合思想的运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
，
又∵对称轴，
，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
，
，故①错误；
②根据图示知，当时，，即，故②正确；
③根据图示知，当时，，即，故③正确；
④∵，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故答案为：②③④．
12．三
【分析】根据已知的符号，判断二次函数的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，进而确定图象不经过的象限．
【详解】解：，
∴抛物线开口向上，
，
∴抛物线经过原点，
∴，
当时，，
∴或，
∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∵，，
∴，即另一个交点在轴正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∴，即对称轴在轴右侧，
当时，，
∵，，，，，，
∴，即时，恒为正，不存在且的点，
因此此函数的图象不经过第三象限．
13．
【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断，方程的解可看作与的交点可判断，点与关于直线对称可判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴右侧，
∴
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故正确，
∵，
∴，故错误，
∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴，
∵，
∴，故正确；
方程的解可看作与的交点，
∵，
当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故错误；
∵点与关于直线对称，
∴，故正确；
故答案为: ．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．①③④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则
∴，
又∵抛物线与轴交点坐标是，即，
∵，即，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，
∴另一个交点坐标为，
∴当时，，故②错误；
∵，在抛物线的图象上，
∴，
又∵，
∴，
∴即，
∵，即，
∴，
∴即，
当时，取得最大值，最大值为，
∴，
∴，故③正确；
∵，，，
即，
∵
对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小，
又∵，
∴，
∴当时，，
∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点在抛物线上，且，
∴，，
∵存在，
∴，，
即，，，
解得：，故⑤正确；
故正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
15．(1)①直线 ②
(2)或
【分析】（1）①由的图象与性质即可直接得出答案；②由二次函数的图象与系数的关系可得该抛物线开口向上，由的图象与性质可得当时，随的增大而增大，进而根据函数的增减性即可得出m和n的大小关系；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据抛物线开口方向及函数的增减性建立关于的一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为直线；
②，
抛物线开口向上，
又抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
，
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
分两种情况讨论：
①当时，抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，
对于，，都有，
，
；
②当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
对于，，都有，
且关于对称轴的对称点的取值范围是：，
，
；
综上，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键．
16．(1)
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，代数式的配方，偶数的性质等知识点，
将已知点代入函数得到方程组，通过方程组表示出和，再根据、、的关系来确定的取值范围；
把点代入函数得到关于、、的表达式，结合是偶数以及、、是整数即可证明所给式子都是偶数；
熟练掌握二次函数的性质，代数式的配方是解决此题的关键．
【详解】（1）解：把点代入二次函数得，
，解方程组得，
∴，
∵为不等于0任意实数，
∴，则，
∴；
（2）证明：∵函数图象过点，
∴，
∴，
∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数，
∴是偶数；
∴，
∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数，
∴是偶数；
∴，
∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数，
∴是偶数；
综上所述：，，都是偶数．
17．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键．
（1）将点，代入解析式中列方程求解即可．
（2）根据顶点所在象限，判断系数的符号，再根据，确定的取值范围，最后由不等式的性质求出的范围．
【详解】（1）将点，代入，
得，解得，．
（2）由顶点在第四象限，
可得，即，
，即，
，即，
，
，
，
18．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）抛物线过点，可知关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线的对称轴为，先求出的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是．
（2）解：设抛物线的对称轴为，
由题知， 在的右侧，在的左侧，
∵，存在，
∴点到大于 点到的距离，
∴到的距离为：，点到的距离为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴都在函数的左侧，
∴，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧函数随着的增大而减小，
∵，
∴．
19．(1)的值为；
(2)
(3)当时，；当时，；
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
（1）将点代入抛物线，得出和的数量关系，即可求解；
（2）根据题意得到抛物线必过，利用，抛物线开口向上，结合，推出对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，即可解题．
（3）根据若，且，分以下两种情况讨论，①当时，②当时，根据以上两种情况，结合抛物线必过分析讨论，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
，
抛物线的对称轴为，
．
（2）解：，
抛物线开口向上，
当时，，
抛物线必过，
点，在抛物线上，且，
对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，
，，
；
（3）解：当时，，
抛物线必过，
设函数与轴的另一个交点坐标为
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
综上所述，当时，；当时，；
20．(1)，，
(2)；或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系：
（1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解；
（2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴，
，
综上可知，，，；
（2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，，
当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方，
当时，；当或时，．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数参数，根据二次函数与轴有交点的情况求解．
（1）把点和坐标代入二次函数，即可；
（2）根据函数图像与轴无交点，则，把表示出来，再根据的取值范围，即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，满足的关系式为：．
（2）由（1）得：，，
∵函数图像与轴无交点，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最小值为，
当时，的最大值为，
∴，
∴的取值范围为：．
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