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反比例函数与几何综合 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，反比例函数的图象经过点，是等腰直角三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，．若点E为的中点，的面积为2，则k的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
5．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．15
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象经过边的中点，并交于点．若五边形的面积为，则的值为___________．
8．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且，则的面积为__________．
9．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为点．反比例函数的图象经过点，点是该反比例函数图象上任意一点，若的面积等于，则点坐标为__________．
10．如图，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点B、C，连接，则的面积为______．
11．如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________．
12．如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为___________．
三、解答题
13．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与，分别交于，两点，且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点为线段上一点，若，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出时，的取值范围；
(3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标．
16．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象．
(1)求出，的值；
(2)连接，求的面积；
(3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线与轴交于点，若的面积为5．
(1)求和的值；
(2)求点的坐标．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接．
①求的面积；
②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求，的值．
(2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标；
(3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
21．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C D D D D
1．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算．
设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算．
【详解】解：设点的坐标为（）．
轴，
点的横坐标为，点的横坐标为．
点在的图象上，
点的坐标为．
点在的图象上，
点的坐标为．
，
即．
点是的中点，
点到直线（直线）的距离为．
．
故选：D．
2．C
【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的几何意义可知．利用和同底（）且高之比等于 的关系，求出的面积，进而求出的值．
【详解】解：设点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，且轴，
．
点在线段上，且，
点到轴的距离与点到轴的距离（即）之比为．
和同底（底边均为），
．
，
．
，解得．
反比例函数图象在第二象限，
，
．
3．D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定和性质，先利用一次函数可得，，即得，，过点作轴于点，可证，得到，，进而求出点坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点，
∴，，
∴，，
如图，过点作轴于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故选：．
4．D
【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值．
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为2，
的面积为4，
，
，
解得．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
连接，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，结合，可推出，得到，再结合图象可知，，从而求得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，
∴，
同理，即．
∴，
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴，即．
由图象可知，，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，先证明四边形是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出，再根据勾股定理求出，即可求得答案．
【详解】解：过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，
，
四边形是矩形，
平分，
，
同理，
，
四边形是正方形，
设，
点P恰好在反比例函数的图象上，
，
解得或（舍去），
，
，，
，，
在中，，
的面积是．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形是关键．
7．
【分析】设，，根据矩形的性质可表示出点的坐标，根据中点的性质可表示出点的坐标，由反比例函数图象经过点、，可得到与、的关系，以及表示出点的坐标，最后列式计算即可得解．
【详解】解：设，，则，
点是的中点，
，
反比例函数的图象经过点，
，
对于，令，即，
，
，
五边形的面积为，即，
，
，
．
8．16
【详解】解：如图，作，垂足为H．
∵，
∴．
设A，则根据反比例函数的对称性得到 B，
∴
∴
9．或
【分析】先求出点坐标和反比例函数解析式，算出，然后设点为，结合三角形面积公式建立方程，进而求出点的坐标．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点为，
将代入，可得，
反比例函数为，
设点为，
在上的高为，
，
解得或，
故点为或．
10．
【分析】根据题意，设点A的坐标为，根据轴，轴，分别求出点和点的坐标，进而表示出线段和的长，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意，设点A的坐标为，
∵轴，轴，且点B、C在反比例函数的图象上，
∴，，且，
∴，，
∴．
11．
【分析】过分别作轴，轴，先证，再利用面积比等于相似比的平方，得到的面积，结合反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：过分别作轴，轴，
在菱形中，为中心，，，
，，
又轴，轴，
，
即，
，
，
又点在，
，，
设经过两点的反比例函数解析式为，
，
即反比例函数解析式是．
12．
【分析】设点坐标为，利用三角形的面积列出方程求解．
【详解】解：设点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，勾股定理等知识解题的关键是掌握以上知识点．，
（1）根据矩形的性质以及，可得点M的坐标为，然后代入即可求解；
（2）先求出点N的坐标为，可得，设点P的坐标为，则，，根据勾股定理以及，可得关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：在矩形中，∵，，
∴，轴，
∵，
∴，
∴点M的坐标为，
∵点M在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点N的坐标为，
∴，
设点P的坐标为，则，，
∵，，
∵，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
14．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键．
（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解；
（3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴点A的坐标为，
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由（1）可得，，
根据图象可知，时，的取值范围为或；
（3）解：如图，连接，交于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴点是线段、的中点，
∵，，
∴，
∴点P的坐标为．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键．
（1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解；
（2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴设反比例函数的式为，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：把代入，得，
解得：，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
∵点的坐标为，
∴点C的对应点的坐标为．
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把代入，得出，，再把代入即可求出；
（2）过点作轴于，根据一次函数解析式求出，得出，，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）设，根据平移方式得出，根据列方程，求出值，根据在线段上，得出的取值范围，即可得答案．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：设，
∵将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
∴，
∵，点恰巧在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∵为线段上的点，
∴，
∴，
∴点的横坐标为．
17．(1)，
(2)点的坐标为
【分析】（1）先求出，再根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题；
（2）根据（1）中结果得到函数解析式，联立即可解决问题．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，即，
∵，
∴，点的纵坐标，
又的面积为5，
，
解得，
点的坐标为，
将点代入，得，解得，
将点代入，得；
（2）解：由（1）可知，，，
令，解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点的坐标为．
18．(1)，
(2)①10；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解．
（1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值；
（2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解；
②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
∴点的坐标为，
把代入得，，
解得，
∴，．
（2）解：设直线函数解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线函数解析式为，
由得，，，
∴点的坐标为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴点的坐标为，
如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点，
∴．
②设点，，
∵，，点、、、构成平行四边形，
当和为对角线时，有，如下图：
点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到，
∴点的纵坐标为6，即，
∴，
∴点的坐标为；
当和为对角线时，有，如下图：
点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到，
∴点的纵坐标为2，即，
∴，
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
19．(1)，
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案；
（3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，
∴，
∴，
∴、、三点共线时有最小值，为，
∴的周长最小，为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
（3）解：由（1）得，
∴反比例函数解析式为，
∵直线交反比例函数的图像于点（异于），
∴设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，整理得（舍去），
当时，，整理得（舍去），
当时，，
解得：，
∴，
∴点的坐标为．
20．(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键．
（1）先求出，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）先求出，得到，，取点，则，连接，，得到，，过作交的图象于点，此时，求出直线的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可；
（3）将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，过作轴于，得到，过作交直线于，过作轴于，证明，，，再根据当与的位置分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式即可．
【详解】（1）解：把代入得，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：令，，
∴，
∴，，，
，，
∴，
取点，则，连接，，
∴，，
过作交的图象于点，此时，
∵直线的函数表达式为，
∴设直线的函数表达式为，
代入得，
∴直线的函数表达式为，
联立，解得（负值舍去），
∴；
（3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，
过作轴于，
由（2）得，，
∴，
∴，即，
∴，
当在点下方时，过作交直线于，过作轴于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，，
∴；
当在点上方时，过作交直线于，过作轴于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，，
∴；
综上所述，或．
21．(1)，
(2)M点的坐标为或
(3)Q点坐标为
【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式；
（2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；
（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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