资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数中的面积问题 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
一、单选题
1．如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
6．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
二、填空题
7．如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）．
8．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______．
9．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________．
10．在滑行过程中，小明发现滑道的两边形如两条双曲线，如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数（，）的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为：1，2，，令四边形、、的面积分别为、、，用含k的代数式表示______．
11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为__________．
12．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为______．
三、解答题
13．已知一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)根据图像直接写出不等式的解集为___________．
14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围为__________；
(3)求的面积．
15．已知，，完成以下填空．
(1)y关于x的函数关系式为________；
(2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限；
②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________；
③在②中，连接，，，则的面积为________．
16．在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半双曲线”．
(1)写出的“半双曲线”是________；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点A是在第一象限内图像上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交的“半双曲线”于点B，求的面积．
17．如图，已知点是函数图象上一点，连接延长至点，使，过点作轴交函数图象于点，连接，点的横坐标为4．

(1)请写出：点坐标为______，点坐标为______，点的坐标为______；
(2)观察函数图象，请直接写出当时，的取值范围；
(3)连接，求面积．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点，，一次函数与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点P为反比例函数图象上一点，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值；
(3)若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B B D B
1．B
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键．
设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵双曲线与直线交于、两点，
∴点A，B两点关于原点对称，
∴点B的坐标为，
∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∴，
∴．
故选：B
2．A
【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：
A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则；
B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以；
C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以；
D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以．
∵，
∴A中阴影部分的面积最小．
故选：A．
3．B
【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积．
【详解】解：∵，
∴设点，则，
由题意知，点B和点D的纵坐标相同，
∴，
解得：，
∴，
∴.
4．B
【分析】由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积．
【详解】解：∵，
∴设点，则，
由题意知，点B和点D的纵坐标相同，
∴，
解得：，
∴，
∴.
5．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算．
设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算．
【详解】解：设点的坐标为（）．
轴，
点的横坐标为，点的横坐标为．
点在的图象上，
点的坐标为．
点在的图象上，
点的坐标为．
，
即．
点是的中点，
点到直线（直线）的距离为．
．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
如图：过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：如图：过点A作轴，过点B作轴，
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
，，
，
，即，
，
∵，轴，
，
，
，
，
，
，解得：．
故选B．
7．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得：
，
∴．
8．6
【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可．
【详解】解：如图，连接，
点在反比例函数的图象上，轴
，
点在反比例函数图象上，
，
，
点与点关于原点对称，
，
．
9．
【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解．
【详解】解：连接、，设交轴于点，如图，
∵轴，
∴轴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
点在反比例函数的图象上，同理可得；
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形的面积．
10．
【分析】根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算，最后根据梯形面积公式可得的面积；分别计算的值并找规律，即可得答案．
【详解】解：∵轴，
∴和的横坐标相等，和的横坐标相等，，和的横坐标相等，
∵点的横坐标分别为1，2，…，
∴点的横坐标分别为1，2，…，
∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
，
，
同理，，
，
，，
，
．
11．
【分析】该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且，根据的面积得出的面积，联立两个函数解析式求出B点坐标，表示的面积，即可求出k的值．
【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且．
的面积等于4，
的面积等于2．
将联立可得B点坐标为．
，
∴，
，
∴．
，
，
故答案为：．
12．
【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，
∴取，则；取，则，解得：．
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵，
∴，，
，
∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点，
∴矩形的面积为，
当矩形的面积是的面积的2倍时，，
解得：（舍去）或．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解．
13．(1)反比例函数的表达式为
(2)的面积为
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握两种函数的相关知识点是解题的关键．
（1）根据点在一次函数上，先求出的取值，再结合点在反比例函数上，得出的取值；
（2）根据一次函数与反比例函数的交点，一次函数与轴的交点，得出、、三点的坐标，求出的面积；
（3）结合、、三点的坐标，将不等式问题转换为函数图像问题，结合图像得出结果．
【详解】（1）解：点在直线上，
故，解得.
故点的坐标为，
点也在函数，
故，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：∵点为与的交点，
即，化简得，
解得或，故点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点为与轴的交点，故点的坐标为，
故，
∴的面积为．
（3）解：观察图像，当，即图像中一次函数在反比例函数图像的上方，
结合、、三点的坐标，
可判断的解集为或．
14．(1)
(2)或
(3)的面积为8
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先求出点和点的坐标，再将点和点的坐标代入，求出和的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可；
（3）令直线与轴相交于点，与轴相交于点，先求出与轴和轴的交点坐标，再根据，即可解答．
【详解】（1）解：将点代入得，
解得：，
，
把代入得，
，
把，代入中，
得
解得：
一次函数的解析式为；
（2）解：，，
由图可知，当或时，，
即使成立的的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）解：令直线与轴相交于点，与轴相交于点，
把代入得，
，则，
把代入得，
解得：，
，则，
．
15．(1)
(2)①双曲，一、三；②；③6
【分析】（1）将代入即可；
（2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限；
②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可；
③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴y关于x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）（2）①∵y关于x的函数关系式为，
∴y关于x的函数图象是双曲线，
∵，
∴它的图象在第一、三象限，
故答案为：双曲，一、三；
②解：在y关于x的函数图象上取点，和，
则，，，
，
所以，
故答案为：；
③解：由②，得，和，
的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
16．(1)
(2)的面积为2
【分析】本题主要考查了新定义、反比例函数k的几何意义、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接利用“半双曲线”的定义解答即可；
（2）根据反比例函数k的几何意义以及三角形的面积公式求解即可；
【详解】（1）解：由“半双曲线”的定义可知：的“半双曲线”是．
故答案为：．
（2）双曲线的“半双曲线”是，
的面积为4，的面积为2，
的面积为2．
17．(1)；；
(2)
(3)面积为3
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，关键是利用函数解析式求点的坐标，结合坐标特征分析图形面积．
（1）先代入点的横坐标求出其纵坐标；再由，用中点坐标公式求点的坐标；最后根据轴，结合反比例函数解析式求点的坐标；
（2）根据反比例函数的单调性，当时，函数值随增大而减小，结合时的函数值，确定的取值范围；
（3）取的中点，确定是的中位线，从而得到轴；将拆分为与，分别计算两个三角形的面积后求和．
【详解】（1）解：∵点在函数的图象上，且横坐标为，代入得，
∴点的坐标为．
∵，
∴点是线段的中点，
设点的坐标为，由中点坐标公式得，，
解得，，
∴点的坐标为．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为，代入得，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：；；．
（2）解：对于函数，当时，随的增大而减小，且时，且，
∴；
（3）解：如图，取中点，连接D．

∴是的中位线，
∴．，
∵轴，
∴轴.
对于，到的垂直距离为，对于，到的垂直距离为，
∴，，
∴．
18．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了求一次函数解析式，已知比例系数求特殊图形的面积，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）先根据点的坐标求出反比例函数表达式，再求出点的坐标，然后将其中一点的坐标代入一次函数表达式，求出待定系数即可；
（2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标求解；
（3）先求出直线与y轴的交点为C，从而可得，进而可求得，设点，则，从而可得，再结合，求出点的横坐标，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
又∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴不等式的解集为或，
（3）解：连接，，，，
∵直线与y轴的交点为C，
∴点，
∴，
∴，
设点，则，
∴．
∵，
∴．
解得：或，
当时，点的纵坐标为；
当时，点的纵坐标为，
∴点的坐标为或．
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键．
（1）联立两个函数的解析式求解即可；
（2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解；
（3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解．
【详解】（1）解：联立得，，
解得，；
，．
（2）解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，
，四边形是矩形，
将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
故的值为；
（3）解：存在；
如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
（），
，，
，
，
，
即，
在反比例函数的图象上，
，
解得，（舍去），
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑