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广东省广州市中山大学附属中学2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项前的字母代号填（涂）在答题卡上．
1．（2025七下·广州期中）下列实数：，，0.1414，中，无理数的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025七下·广州期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·广州期中）下列图形中，和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·广州期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
5．（2025七下·广州期中）下列命题中，假命题是(　　)
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．等角的余角相等
6．（2025七下·广州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·广州期中）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向， C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC度数为(　　)
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．（2025七下·广州期中）我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·广州期中）如图，与交于点E，点G在直线CD上，交于点M，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
10．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025七下·广州期中）实数0.09的算术平方根是　 　．
12．（2025七下·广州期中）为了说明命题“若，则”是假命题，举一个反例：那么a的值可以是　 　．
13．（2025七下·广州期中）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若，则等于　 　．
14．（2025七下·广州期中）如果点P（a，﹣b）在第二象限，那么点Q（a+b，﹣ab）在第　 　象限．
15．（2025七下·广州期中）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为　 　．
16．（2025七下·广州期中）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【探究应用】如图2，激光笔与水平天花板的夹角为，将支架平面镜的点B一端固定在水平桌面上，调节支架平面镜，调节角为．激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线为
①若，反射光线与相交于点H，则的度数为　 　；
②若反射光线恰好与平行，则的度数为　 　
三、解答题
17．（2025七下·广州期中）计算：
18．（2025七下·广州期中）解下列方程或方程组
（1）；
（2）；
（3）
19．（2025七下·广州期中）完成下面的证明．
已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．
证明：∵，
∴______（______）．
∵，
∴______（______）．
∴（______）．
20．（2025七下·广州期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
21．（2025七下·广州期中）如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
22．（2025七下·广州期中）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
23．（2025七下·广州期中）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元．
（1）求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
24．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且．点在第四象限．
（1）求a，b的值；
（2）若点C到y轴的距离是到x轴距离的两倍，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接交y轴于点E，则当点D运动多少秒时，三角形与三角形面积相等？
25．（2025七下·广州期中）【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______；
【拓展延伸】
（3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D．
①求点A和点D的坐标
②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：可化为无限循环小数，不是无理数，0.1414是有限小数，不是无理数，因此无理数只有，两个.
故选：B
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：A选项只改变位置，不改变大小，形状和方向，A是由平移可得，A正确；
B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到，B，D错误；
C中的图形可通过旋转得到，C错误；
故答案为：A．
【分析】根据平移的定义只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析即可．
3．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的概念可知，
图中∠1和∠2不是同位角．
故选：C．
【分析】根据同位角的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
且，
且，
解得：，
故选：．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故本选项不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项符合题意；
D、等角的余角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、垂直的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，则此项错误，所以A不符合题意；
B中，由，则此项错误，所以B不符合题意；
C中，由，则此项正确，所以C符合题意；
D中，由，则此项错误，所以D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，根据算术平方根与立方根、实数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】方位角；补角
【解析】【解答】解：过点B作南北方向线DE，
∵B岛在A岛南偏西55°方向，
∴∠ABD=55°，
∵B岛在C岛北偏西60°方向，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABC=180°-∠ABD-∠CBE=180°-55°-60°=65°．
故选D．
【分析】过点B作南北方向线DE，由题意可得∠ABD=55°，∠CBE=60°，再根据补角即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶，
由题意得，，
故选：．
【分析】设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了建立方程组即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】猪蹄模型；锯齿模型；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，∴①正确；
过点F作，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，∴②错误；
∴，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
【分析】如图，过点F作，，
设，利用猪脚模型、锯齿模型表示出， 则正确答案为①④． ．
10．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解∶由题意得∶个为一个周期， 每跳动十次点A的横坐标增加4， 点A的纵坐标按0，1，1， 0， 0， 3， 3，0，，循环出现，
余5，
．
∴点的坐标为．
故选∶ A．
【分析】由题意得∶个为一个周期， 每跳动十次点A的横坐标增加4， 点A的纵坐标按0，1，1， 0， 0， 3， 3，0，，循环出现，再列式计算即可求出答案.
11．【答案】0.3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：0.3
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
12．【答案】-4
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，但，
故“若，则”是假命题．
故答案为：-4（答案不唯一）．
【分析】根据负数的平方也为正数，即当时，满足，但不满足，即可求出答案.
13．【答案】57°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAC=114°，
由折叠可得，∠BAD=∠BAC=57°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BAD=57°，
故答案为：57°．
【分析】根据直线平行性质可得∠1=∠BAC=114°，再根据折叠性质可得∠BAD=∠BAC=57°，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵P（a，﹣b）在第二象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，﹣ab＜0，
∴点Q（a+b，﹣ab）在第三象限．
故答案为：三．
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可得a＜0，b＜0，根据有理数的加法，乘法可得a+b＜0，﹣ab＜0，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：令，，则方程组可变形为：
，
∵方程组的解为，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】令，，原方程组为，再将代入方程组可得可得X，Y，再代入即可求出答案.
16．【答案】；
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：①如图所示，过点G作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴；
如图所示，过点G作，则，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】①过点G作，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠PGB，再根据反射可得，再根据补角可得∠PGH，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，过点G作，则，根据反射可得，根据角之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，绝对值，实数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（3）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．【答案】证明：∵，
∴b（同旁内角互补，两直线平行）．
∵，
∴ c（同位角相等，两直线平行）．
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【知识点】平行公理的推论；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根，估算无理数的范围即可求出答案.
（2）将a，b，c值代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴的平方根为．
21．【答案】（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）
（3）解：由，
故的面积为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
（3）解：由，
故的面积为：．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
23．【答案】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为元，元，
由题意可知：，
解得：
答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
（2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，
由题意可知：，则，
当b=1时，a=；当时，；当b=3时，a=；当b=4时，a=；当时，；b=6时，a=，其中符合实际的为 当时，；当时，，
所以一共有2种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设，两种航天模型飞机的进价分别为元，元，根据题意可得、的二元一次方程组，解得x=60，y=80；
（2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数得所有购买方案．
（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，，
由题意可知：，
解得：
答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
（2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，
由题意可知：，则，
当时，；当时，，
所以一共有2种方案：
种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
24．【答案】（1）解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图所示，设与x轴交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形与三角形面积相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；三角形的面积；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
（2）根据点的坐标建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设与x轴交于H，由（1）可得，由（2）得，根据三角形面积可得OH，DH，根据边之间的关系可得OD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图所示，设与x轴交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形与三角形面积相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
25．【答案】（1）C；（2）图所示函数图象即为所求；
；；
（3）①在中，当时，，
在中，当时，，
∴；
②
当点M在点D上方时，当点M在点D下方时
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解；（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
∴只有点C在方程的图象上；
（2）如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解是；
（3）②∵关于x，y的二元一次方程组无解，
∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；
如图3-1所示，当点M在点D上方时，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵点M为的角平分线上一点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3-2所示，当点M在点D下方时，过点M作
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当点M在点D上方时，当点M在点D下方时．
【分析】（1）将各点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象，结合函数图象信息即可求出答案.
（3）①根据坐标轴上点的坐标特征分别将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
②由题意可得直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行，分情况讨论：当点M在点D上方时，过点O作，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案；当点M在点D下方时，过点M作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省广州市中山大学附属中学2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确选项前的字母代号填（涂）在答题卡上．
1．（2025七下·广州期中）下列实数：，，0.1414，中，无理数的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：可化为无限循环小数，不是无理数，0.1414是有限小数，不是无理数，因此无理数只有，两个.
故选：B
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
2．（2025七下·广州期中）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象；图形的平移
【解析】【解答】解：A选项只改变位置，不改变大小，形状和方向，A是由平移可得，A正确；
B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到，B，D错误；
C中的图形可通过旋转得到，C错误；
故答案为：A．
【分析】根据平移的定义只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析即可．
3．（2025七下·广州期中）下列图形中，和不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：根据同位角的概念可知，
图中∠1和∠2不是同位角．
故选：C．
【分析】根据同位角的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025七下·广州期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
且，
且，
解得：，
故选：．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.
5．（2025七下·广州期中）下列命题中，假命题是(　　)
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．等角的余角相等
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故本选项不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项符合题意；
D、等角的余角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、垂直的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025七下·广州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，则此项错误，所以A不符合题意；
B中，由，则此项错误，所以B不符合题意；
C中，由，则此项正确，所以C符合题意；
D中，由，则此项错误，所以D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，根据算术平方根与立方根、实数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
7．（2025七下·广州期中）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向， C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC度数为(　　)
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】方位角；补角
【解析】【解答】解：过点B作南北方向线DE，
∵B岛在A岛南偏西55°方向，
∴∠ABD=55°，
∵B岛在C岛北偏西60°方向，
∴∠CBE=60°，
∴∠ABC=180°-∠ABD-∠CBE=180°-55°-60°=65°．
故选D．
【分析】过点B作南北方向线DE，由题意可得∠ABD=55°，∠CBE=60°，再根据补角即可求出答案.
8．（2025七下·广州期中）我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶，
由题意得，，
故选：．
【分析】设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了建立方程组即可求出答案.
9．（2025七下·广州期中）如图，与交于点E，点G在直线CD上，交于点M，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】D
【知识点】猪蹄模型；锯齿模型；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，∴①正确；
过点F作，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，∴②错误；
∴，
∴③错误；
∴，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
【分析】如图，过点F作，，
设，利用猪脚模型、锯齿模型表示出， 则正确答案为①④． ．
10．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解∶由题意得∶个为一个周期， 每跳动十次点A的横坐标增加4， 点A的纵坐标按0，1，1， 0， 0， 3， 3，0，，循环出现，
余5，
．
∴点的坐标为．
故选∶ A．
【分析】由题意得∶个为一个周期， 每跳动十次点A的横坐标增加4， 点A的纵坐标按0，1，1， 0， 0， 3， 3，0，，循环出现，再列式计算即可求出答案.
二、填空题
11．（2025七下·广州期中）实数0.09的算术平方根是　 　．
【答案】0.3
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：0.3
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
12．（2025七下·广州期中）为了说明命题“若，则”是假命题，举一个反例：那么a的值可以是　 　．
【答案】-4
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，但，
故“若，则”是假命题．
故答案为：-4（答案不唯一）．
【分析】根据负数的平方也为正数，即当时，满足，但不满足，即可求出答案.
13．（2025七下·广州期中）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若，则等于　 　．
【答案】57°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAC=114°，
由折叠可得，∠BAD=∠BAC=57°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BAD=57°，
故答案为：57°．
【分析】根据直线平行性质可得∠1=∠BAC=114°，再根据折叠性质可得∠BAD=∠BAC=57°，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．（2025七下·广州期中）如果点P（a，﹣b）在第二象限，那么点Q（a+b，﹣ab）在第　 　象限．
【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵P（a，﹣b）在第二象限，
∴a＜0，b＜0，
∴a+b＜0，﹣ab＜0，
∴点Q（a+b，﹣ab）在第三象限．
故答案为：三．
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可得a＜0，b＜0，根据有理数的加法，乘法可得a+b＜0，﹣ab＜0，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
15．（2025七下·广州期中）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：令，，则方程组可变形为：
，
∵方程组的解为，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】令，，原方程组为，再将代入方程组可得可得X，Y，再代入即可求出答案.
16．（2025七下·广州期中）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【探究应用】如图2，激光笔与水平天花板的夹角为，将支架平面镜的点B一端固定在水平桌面上，调节支架平面镜，调节角为．激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线为
①若，反射光线与相交于点H，则的度数为　 　；
②若反射光线恰好与平行，则的度数为　 　
【答案】；
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：①如图所示，过点G作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴；
如图所示，过点G作，则，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】①过点G作，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得∠PGB，再根据反射可得，再根据补角可得∠PGH，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，过点G作，则，根据反射可得，根据角之间的关系即可求出答案.
三、解答题
17．（2025七下·广州期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，算术平方根，绝对值，实数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2025七下·广州期中）解下列方程或方程组
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（3）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．（2025七下·广州期中）完成下面的证明．
已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．
证明：∵，
∴______（______）．
∵，
∴______（______）．
∴（______）．
【答案】证明：∵，
∴b（同旁内角互补，两直线平行）．
∵，
∴ c（同位角相等，两直线平行）．
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【知识点】平行公理的推论；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
20．（2025七下·广州期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根，估算无理数的范围即可求出答案.
（2）将a，b，c值代入代数式，再根据平方根定义即可求出答案.
（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴的平方根为．
21．（2025七下·广州期中）如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）
（3）解：由，
故的面积为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
（3）解：由，
故的面积为：．
22．（2025七下·广州期中）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
23．（2025七下·广州期中）北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元．
（1）求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
【答案】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为元，元，
由题意可知：，
解得：
答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
（2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，
由题意可知：，则，
当b=1时，a=；当时，；当b=3时，a=；当b=4时，a=；当时，；b=6时，a=，其中符合实际的为 当时，；当时，，
所以一共有2种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）设，两种航天模型飞机的进价分别为元，元，根据题意可得、的二元一次方程组，解得x=60，y=80；
（2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数得所有购买方案．
（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，，
由题意可知：，
解得：
答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
（2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，
由题意可知：，则，
当时，；当时，，
所以一共有2种方案：
种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
24．（2025七下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且．点在第四象限．
（1）求a，b的值；
（2）若点C到y轴的距离是到x轴距离的两倍，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接交y轴于点E，则当点D运动多少秒时，三角形与三角形面积相等？
【答案】（1）解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图所示，设与x轴交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形与三角形面积相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；三角形的面积；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
（2）根据点的坐标建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设与x轴交于H，由（1）可得，由（2）得，根据三角形面积可得OH，DH，根据边之间的关系可得OD，再根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图所示，设与x轴交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形与三角形面积相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
25．（2025七下·广州期中）【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______；
【拓展延伸】
（3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D．
①求点A和点D的坐标
②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系．
【答案】（1）C；（2）图所示函数图象即为所求；
；；
（3）①在中，当时，，
在中，当时，，
∴；
②
当点M在点D上方时，当点M在点D下方时
【知识点】二元一次方程的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解；（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
∴只有点C在方程的图象上；
（2）如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，
∴二元一次方程组的解是；
（3）②∵关于x，y的二元一次方程组无解，
∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；
如图3-1所示，当点M在点D上方时，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵点M为的角平分线上一点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图3-2所示，当点M在点D下方时，过点M作
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当点M在点D上方时，当点M在点D下方时．
【分析】（1）将各点坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象，结合函数图象信息即可求出答案.
（3）①根据坐标轴上点的坐标特征分别将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
②由题意可得直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行，分情况讨论：当点M在点D上方时，过点O作，根据直线平行性质可得，根据角之间的关系可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案；当点M在点D下方时，过点M作，根据直线平行性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
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