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2026年高三年级教学质量检测
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
5．本试卷共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 10 B. 25 C. 35 D. 50
4. 已知平面向量，若，则（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
5. 某人统计了他月份的手机通话明细清单，发现该月共通话次．按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. 该月通话时间不低于分钟的次数为次
B. 估计该月通话时间的众数为分钟
C. 估计该月通话时间的第百分位数为分钟
D. 估计该月通话时间的平均数大于中位数
6. 如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（ ）
A. 17 B. 5 C. 3 D. 2
7. 已知实数x，y满足，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是减函数
B 当时，
C. 若，则与两点间的距离为
D. 若是函数图象上一点，则M到直线的距离的最大值为
10. 一个竖直放置底面半径为r，高为h的透明圆柱形无盖水杯（水杯壁厚度忽略不计），杯中盛有水，水面高为，则（ ）
A. 若，将水杯倾斜，水未溢出，则水面的形状是椭圆
B. 若另有一圆柱的侧面积与水杯的侧面积相等，则该圆柱的体积与水杯的容积相等
C. 往水杯内放置一个半径为的球，水未溢出且球与水面和杯底均相切，则
D. 将水杯倾斜放置使水面的形状呈椭圆，若椭圆中心位于水杯上下底面中心连线的处，则竖直放置时水面的形状的中心也在水杯上下底面中心连线的处
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为与，点P，Q在C的右支上，l为C的一条渐近线，则（ ）
A. 若，则C的离心率
B. 若垂直于x轴，M为线段的中点，则
C. 若垂直于x轴，平行于l，则
D. 过点P与双曲线C的两条渐近线分别平行的直线与两条渐近线围成的四边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，且，则__________．
13. 已知，则__________．
14. 设抛物线焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某工厂有甲、乙两条生产线加工同一型号的产品，甲生产线加工的优品率为5%，乙生产线加工的优品率为6%，加工出来的产品混放在一起．已知甲、乙生产线加工的产品数分别占总数的51%，49%．
（1）任取一件产品，如果取到的产品是优品，计算它是甲生产线加工的概率；
（2）现对甲生产线升级改造，从改造前与改造后甲生产线加工的产品中分别随机抽取100件进行检验，数据如下：
优品 非优品 合计
改造前 5 95 100
改造后 15 85 100
合计 20 180 200
根据小概率值的独立性检验，能否认为生产线改造与优品有关联？
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知数列满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列前n项和．
17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，且
（i）求a的取值范围；
（ii）当成等差数列时，求a的值．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，离心率，过的两条互相垂直的直线分别与y轴交于P，Q两点，且Q在y轴正半轴上，设直线的斜率为k（），以PQ为直径的圆与E在第一象限的交点为M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：直线QM与椭圆E有唯一的公共点；
（3）直线与椭圆E交于A，B两点，当时，求的面积．
参考答案
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ACD
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】（1）
（2）有关联，证明见解析.
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）

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