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第18讲
复数
数 学
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教材核心知识 课标要求 学业水平评价要求
复数的定义及相关概念 通过方程的解,认识复数 了解
复数的几何意义及其应用 理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义 理解
复数代数形式的四则运算 掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义 理解
知能构建 强技能
2.复数的几何意义及其应用
复平面:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都与平面直角坐标系上的点(a,b)一一对应,将这个平面叫做复平面.点的横坐标代表复数的实部,纵坐标代表复数的虚部,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.
复数的几何意义:复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应 复平面内的点Z(a,b)一一对应 平面向量.
5.复数方程
(1)代数基本定理:任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根;
一元n次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).
实系数一元二次方程当Δ<0时有2个共轭复根;实系数一元n次方程虚根总是成对出现的.
(2)复数方程表示的轨迹:
设复数z=x+yi(x,y∈R),z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则|z-z1|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆;|z-z1|=λ|z-z2|(λ≠1)表示圆;|z-z1|=|z-z2|表示线段Z1Z2的中垂线.
实战演练 明方向
考向1　 复数的概念
典例1复数2-i(i为虚数单位)的实部是(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
C
解析 显然复数2-i的实部是2.故选C.
典例2已知复数z=,那么|z|=　　　　.
解析 因为z===-i,
所以|z|=.
考向2　 复数的几何意义
典例3已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
解析 ∵z=1+2i,
∴=1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2).故选D.
典例4已知复数z1=3+i,z2=-1+3i(i为虚数单位)在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,则△OZ1Z2的面积为___________.
5
归纳总结复数及其方程可对应于复平面上的点、向量、直线和轨迹,从而为几何法解复数问题提供了依据.
考向3　 复数的运算
典例5(2024浙江7月学考)(1+i)(1-i)=(　　)
A.-i B.i C.0 D.2
D
解析 由题意可得(1+i)(1-i)=1-i2=2.故选D.
考向4　 复数方程
典例6(多选) 在复数范围内(i是虚数单位),下列选项正确的有(　　)
A.关于x的方程x3=1的解为x=1
B.复数z=i2 023(2+3i)的虚部是-2
C.若复数z满足z2=3+4i,则|z|=
D.已知a,b∈R,若i-a是关于x的方程x2+bx+2=0的一个根,则a=1,b=2
BC
归纳总结i幂值具有周期性:对于n∈N*,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.课时作业18　复数
基础巩固
1.(2025浙江7月学考)已知复数z=-i,则|z|=(　　)
A.-i B.i C.-1 D.1
2.(2025全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.6
3.(2025全国 Ⅱ 卷)已知z=1+i,则=(　　)
A.-i B.i C.-1 D.1
4.已知i为虚数单位,则下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i(1+i) B.i2(1+i)
C.i(1+i)2 D.i2(1+i)2
5.设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则+i=(　　)
A.-2 B.-2i C.2 D.2i
6.若z∈C且|z+3+4i|≤2,设|z-1-i|的最大值、最小值分别为M,m,则M-m的值等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.9
7.(多选)下列说法正确的有(　　)
A.复数2-2i的虚部为-2i
B.若i为虚数单位,则i2 023=-i
C.复数-2-i在复平面内对应的点在第三象限
D.复数的共轭复数为-2-i
8.(多选)已知复数z1=i,z2=2-i,下列结论正确的有(　　)
A.
B.若|z-z2|=1,则|z|的最大值为
C.z1+z2∈R
D.z1在复平面内对应的点在第二象限
9.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为　　　　　.
10.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,其中顶点A,B对应的复数分别是1+i,4+2i,则点C的坐标为　　　　　.
11.求实数m取什么数值时,复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
12.已知复数z1,z2满足|z1|=+1,|z2|=-1,且|z1-z2|=4,求与|z1+z2|的值.
能力提升
13.设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法不正确的是(　　)
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,
D.当z为实数时,
14.(多选)(2024浙江温州月考)已知复数z,其共轭复数为,下列结论正确的有(　　)
A.z=|z|2
B.z2=||2
C.z+=0
D.|z|+||≥|z+|
15.复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　.
16.已知z是虚数,z+是实数.
(1)求当z为何值时,|z+2-i|有最小值,并求出|z+2-i|的最小值;
(2)设u=,求证:u为纯虚数.
参考答案
基础巩固
1.D
2.C　解析 因为(1+5i)i=-5+i,所以其虚部为1.故选C.
3.A　解析 因为z=1+i,所以=-i.故选A.
4.D　解析 i(1+i)=i+i2=-1+i,i2(1+i)=-1-i,i(1+i)2=2i2=-2,i2(1+i)2=(-1)×2i=-2i.故选D.
5.C　解析 ∵z=1+i,∴=1-i,∴+i(1-i)=-i2+i=1-i+1+i=2.故选C.
6.B　解析 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平面内对应的点P在以A(-3,-4)为圆心,2为半径的圆内或圆上.
又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B(1,1)之间的距离,所以该距离的最大值为M=|AB|+2=+2=+2,最小值为m=|AB|-2=-2,故M-m=4.故选B.
7.BC　解析 对于A,复数2-2i的虚部为-2,故A错误;
对于B,i2 023=(i4)505i3=-i,故B正确;
对于C,复数-2-i在复平面内对应的点(-2,-1)在第三象限,故C正确;
对于D,=-2-i,其共轭复数为-2+i,故D错误.故选BC.
8.ACD　解析 对于A,因为复数z1=i,z2=2-i,则=-i(2+i)=1-2i,=1-2i,所以,故A正确;
对于B,设复数z=x+yi(x,y∈R),则|z-z2|==1,则(x-2)2+(y+1)2=1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,-1)为圆心,以1为半径的圆,而|z|表示圆上一点到坐标原点的距离,因为原点到圆心的距离d=,所以-1≤|z|≤+1,则|z|的最大值为+1,故B错误;
对于C,z1+z2=2∈R,故C正确;
对于D,因为复数z1=i,z2=2-i,所以z1=i(2+i)=-1+2i,其在复平面内对应的点(-1,2)在第二象限,故D正确,故选ACD.
9.3　解析 因为复数不能比较大小,所以m-3+(m2-9)i为实数,可得解得m=3,所以实数m的值为3.
10.(2,3)或(3,0)　解析 根据复数的几何意义可知A(1,1),B(4,2).
设C(x,y),则由
得
解得
∴点C的坐标为(2,3)或(3,0).
11.解 (1)当m2-m-2=0,即m=2或m=-1时,复数z是实数.
(2)当m2-m-2≠0,即m≠2且m≠-1时,复数z是虚数.
(3)当即m=1时,复数z是纯虚数.
12.解 设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,由于(+1)2+(-1)2=42,故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2,故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,从而,则|z1+z2|=|z1-z2|=4,=±i=±=±i.
能力提升
13.C　解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),点O,P,Q均在y轴上,所以P,O,Q三点共线,故A正确;
对于B,当z=1+i时,=1-i,所以P(1,1),Q(1,-1),所以|OP|=|OQ|=,而|PQ|=2,所以|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,所以△POQ为等腰直角三角形,故B正确;
对于C,=(a,b),=(a,-b),当b=0时,,故C不正确;
对于D,当z为实数时,z==a,此时=(a,0),故D正确.故选C.
14.AD　解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=()2=a2+b2,则z=|z|2,故A正确;
对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,||2=()2=a2+b2,则z2不一定等于||2,故B不正确;
对于C,z+=(a+bi)+(a-bi)=2a不一定等于0,故C错误;
对于D,|z|+||=2,|z+|=2|a|,因为2≥2=2|a|,当且仅当b=0时,等号成立,所以|z|+||≥|z+|,故D正确.故选AD.
15.[-,7]　解析 因为z1=z2,则
所以λ=4-4cos2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-,因为-1≤sin θ≤1,所以λ∈[-,7].
16.(1)解 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+bi+=(a+)+(b-)i,
所以b-=0.
又b≠0,可得a2+b2=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为以原点O为圆心的单位圆(去除x轴上两点).
|z+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|=,表示点P(a,b)到点A(-2,1)的距离,所以|z+2-i|的最小值为|AO|-1=-1.
解方程组并结合图形得z=-i.
(2)证明 由(1)易知a2=1-b2≠1,则a≠±1.
u=,又b≠0,所以u为纯虚数.

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