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课时作业19　简单几何体的表面积与体积
基础巩固
1.(2024浙江嘉兴模拟预测)已知四面体P-ABC的每条棱长都为2,若球O与它的每条棱都相切,则球O的体积为(　　)
A.π B.π C.π D.2π
2.如图,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若A1D1平行于y1轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=3,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是(　　)
A.14 B.7 C.7 D.14
3.(2024新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　)
A.2π B.3π C.6π D.9π
4.如图,三棱锥D'-A'CD的体积与长方体ABCD-A'B'C'D'体积的比值为(　　)
A. B. C. D.
5.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积的比是(　　)
A.1∶1 B.5∶4 C.4∶3 D.3∶2
6.在三棱锥P-ABC中,PA,AB,AC两两垂直,AP=3,BC=6,则三棱锥外接球的表面积为(　　)
A.57π B.63π C.45π D.84π
7.(多选)(2025浙江7月学考)用一个平面截取一个正方体,所得截面的形状可能是(　　)
A.六边形 B.五边形 C.直角三角形 D.矩形
8.(多选)如图,AC为圆锥底面圆的直径,点B是圆O上异于A,C的点,SO=OC=2,则下列结论正确的是(　　)
A.圆锥SO的侧面积为8π
B.三棱锥S-ABC体积的最大值为
C.∠SAB的取值范围是()
D.若AB=BC,E为线段AB上的动点,则SE+CE的最小值为2(+1)
9.(多选)直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上,已知三棱柱的底面为锐角三角形,∠BAC=,BC=1,那么该直三棱柱的体积可能是(　　)
A. B. C. D.
10.(2025浙江7月学考)若长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则此长方体的外接球直径长为　　　　.
11.在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　.
12.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=10,AA'=6,过A'D'作长方体的截面A'D'EF使它成为正方形.
(1)求三棱柱AA'F-DD'E的外接球的表面积;
(2)求VB-A'D'EF.
能力提升
13.已知球的半径为R,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面圆直径相等)位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为(　　)
A.R2 B.R2
C.R2 D.R2
14.(多选)已知正三棱锥的侧棱长为4,底面边长为6,则(　　)
A.正三棱锥的表面积为9+27
B.正三棱锥的高为6
C.正三棱锥的体积为18
D.正三棱锥的外接球的表面积为64π
15.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,点P为线段DE上一点,当三棱锥P-ACE的体积为时,=　　　　　.
16.如图,在三棱锥P-ABC中,PC=4,PC⊥底面ABC,AB=BC=3,∠ABC=120°.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求三棱锥P-ABC外接球的表面积.
参考答案
基础巩固
1.B　解析 将正四面体P-ABC补成如图所示的正方体.因为球O与正四面体的每条棱都相切,则球O为正方体的内切球.设正方体的棱长为a,则正四面体P-ABC的棱长为=2,则a2=2,解得a=,故球O的半径r=,所以球O的体积为V=πr3=π.故选B.
2.B　解析 因为A1D1平行于y1轴,则在平面图形中,AD平行于y轴,则AD⊥DC,且AD=2A1D1=2.
因为在直观图中,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=3,则在平面图形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=3,
即四边形ABCD是上底和下底边长分别为3,4,高为2的直角梯形,如图所示,故其面积S=×(3+4)×2=7.
故选B.
3.B　解析 ∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r.又圆柱和圆锥的高均为,∴圆柱的侧面积为2πr·,圆锥的侧面积为πr·=πr·.又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr·=πr·,∴r2=9.∴圆锥的体积为·πr2··π·9·=3π.
4.C　解析 设AB=a,AD=b,AA'=c,因为A'D'⊥平面D'DC,所以VD'-A'CD=VA'-D'DC=abc=abc.
因为V长方体ABCD-A'B'C'D'=abc,所以棱锥D'-A'CD的体积与长方体ABCD-A'B'C'D'体积的比值为,故选C.
5.D　解析 由题意,圆柱的轴截面是正方形,假设圆柱的高为a,则底面圆的直径也为a,则圆柱的表面积为2×π×()2+2π××a=πa2,因为球的直径也为a,所以球的表面积为4×π×()2=πa2,则圆柱的表面积与球的表面积的比为3∶2,故选D.
6.C　解析 由于PA,AB,AC两两垂直,故该三棱锥可补全为一个长方体,该三棱锥的外接球也是该长方体的外接球.
因为长方体外接球的半径为长方体体对角线的一半,所以R=,故三棱锥外接球的表面积为S=4πR2=45π,故选C.
7.ABD　解析 如图1,用一个平面去截正方体,截面为六边形,故A正确;
图1
如图2,用一个平面去截正方体,截面为五边形,故B正确;
图2
如图3,截面为△ABC,点O为正方体的顶点,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直.
图3
若△ABC为直角三角形,不妨令∠BAC=90°,则BC2=AB2+AC2,又AC2=OA2+OC2,AB2=OA2+OB2,BC2=OB2+OC2,化简得2OA2=0,故矛盾,则△ABC不为直角三角形,故C错误;
如图4,用一个平面去截正方体,截面ACC1A1为矩形,故D正确.
图4
故选ABD.
8.BD　解析 由题得,SC=2,故圆锥侧面积为S=π·OC·SC=π×2×2=4π,故A错误;
因为点B在圆周上,故当AB=BC时,△ABC的面积取最大值,为×4×2=4,则三棱锥S-ABC体积的最大值为×4×2=,故B正确;
cos∠SAB=.
又在△ABC中,0当AB=BC时,把△SAB和△ABC展开,使这两个三角形共面,如图.
连接SC,得SE+CE的最小值是SC,此时,AB=BC=2=SA=SB,AB⊥BC,∠SBC=150°,
故SC===2(+1),故D正确.
故选BD.
9.BCD　解析 设△ABC外接圆的半径为r,则2r=,则r=.设直三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则r2+()2=12,即()2+()2=12,则h=.在锐角三角形ABC中,A=,BC=1,由正弦定理,得,则AC=sin B,AB=sin C,则AC·AB=sin Bsin C=sin Bsin(A+B)=sin B(cos B+sin B)=sin Bcos B+sin2B=sin 2B-cos 2B+sin(2B-)+.
因为解得所以2B-∈(),所以sin(2B-)∈(,1],所以AC·AB∈(,1],所以S△ABC=AC·ABsin A=AC·AB∈(],所以=S△ABC·h=S△ABC∈(].故选BCD.
10.5　解析 长方体的体对角线长度为=5,又根据长方体的几何特征,可得此长方体的外接球直径长为5.
11.　解析 设球O的半径为r,因为球O与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为r、高为2r,所以.
12.解 (1)因为截面A'D'EF为正方形,所以A'D'=A'F=BC=10.在Rt△A'AF中,AA'2+AF2=A'F2,即62+AF2=102,解得AF=8.在直三棱柱AA'F-DD'E中,底面三角形A'AF的外接圆半径为A'F=×10=5,直三棱柱AA'F-DD'E的外接球球心到平面A'AF的距离为×10=5.设三棱柱的外接球半径为R,则R==5,所以S=4πR2=200π.
(2)因为VB-A'D'EF=2VB-A'EF=2VA'-BEF,
又在长方体中,AA'⊥平面BEF,所以三棱锥A'-BEF的高为AA'=6,所以VB-A'D'EF=2××S△BEF×A'A=2××(×EF×BF)×6=2××10×4×6=80.
能力提升
13.B　解析 如图,设圆锥的底面半径为r,母线长为2r,则圆锥的高为r,则R2=r2+(r-R)2,解得r=R,则圆锥的表面积为S=πr2+πr·2r=3πr2=3π(R)2=R2,故选B.
14.BCD　解析 如图,在正三棱锥P-ABC中,过点P作PD⊥AB交AB于点D,过点P作PO⊥平面ABC,H为其外接球球心,则点H在PO上,连接CH.
对于A,PD=,故正三棱锥的表面积为3××6××6×6×=9+9,故A错误;
对于B,CD==3,DO=CD=,故PO==6,故B正确;
对于C,正三棱锥的体积为×6××6×6×=18,故C正确;
对于D,设外接球半径为R,CO=CD=2,由CH2=CO2+OH2,可得R2=(2)2+(6-R)2,解得R=4,故外接球表面积为4πR2=64π,故D正确.故选BCD.
15.　解析 如图,过点A作AF⊥BC,交CB的延长线于点F.
∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AF 平面ABC,
∴AF⊥平面BCDE.
由BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,得BC·AF=×4AF=2,∴AF=,则VD-ACE=VA-CDE=×DE×BE×AF=×4×2×.
∵VP-ACE=VA-PCE=×PE×BE×AF=,
∴,则.
16.解 (1)由题意知,AB=BC=3,∠ABC=120°,PC⊥底面ABC,故S△ABC=×AB×BC×sin 120°=×3×3×,故VP-ABC=S△ABC×PA=×4=3.
(2)由AB=BC=3,∠ABC=120°,可得∠ACB=30°.
设△ABC的外接圆半径为r,则2r==6,故r=3.
设△ABC的外接圆圆心为O',过点O'作平面ABC的垂线O'O,则O'O∥PC,设PC的中点为D,过点D作PC的垂线交O'O于点O,则四边形OO'CD为矩形,则点O即为三棱锥P-ABC外接球的球心,
设外接球半径为R,则R2=OC2=O'O2+O'C2=22+32=13,故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=52π.(共23张PPT)
第19讲
简单几何体的表面积与体积
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征 利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征
简单空间图形的直观图 能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图
柱、锥、台、球的表面积和体积 知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题
知能构建 强技能
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体 结构特征
棱柱 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行
棱锥 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台
(2)旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 矩形一边所在的直线
圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线
圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,其画法步骤为:
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.
注:①用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,关键是分别作出其中与x轴和y轴平行(或重合)的线段;②按照斜二测画法得到的平面图形的直
3.空间几何体的表面积和体积公式
(1)多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.
(2)旋转体的表面积
类型 圆柱(底面半径为r,母线长为l) 圆锥(底面半径为r,母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r',r,母线长为l)
侧面展开图
底面面积 S底=πr2 S底=πr2 S上底=πr'2,S下底=πr2
侧面面积 S侧=2πrl S侧=πrl S侧=πl(r'+r)
表面积 S表=2πr(r+l) S表=πr(r+l) S表=π(r'2+r2+r'l+rl)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积
柱体 V柱体=Sh(S为底面面积,h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径,h为高)
锥体
V锥体= Sh(S为底面面积,h为高),V圆锥= πr2h(r为底面半径,h为高)
台体
V台体= (S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为高),
V圆台= πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别为上、下底面半径,h为高)
注:柱体、锥体、台体体积公式间的关系
实战演练 明方向
考向1　 空间几何体的结构特征
典例1(多选)(2024浙江宁波六校联盟阶段测试)下列命题中为假命题的是
(　　)
A.长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体
ABC
解析 当四棱柱底面不是矩形时,直四棱柱不是长方体,故A错误;
根据棱柱的定义,显然不成立,如图,满足要求,但不是棱柱,故B错误;
如果两对称面是矩形的四棱柱,不一定是直四棱柱,故C错误;
D选项,正四棱柱是平行六面体,故D正确.故选ABC.
考向2　 直观图
典例2 如图,一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为1的菱形,且O'D'=1,则原平面图形的面积为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.2 B.1 C.2 D.
A
解析 把直观图还原出原平面图形为平行四边形,如图所示.
其中OD=2O'D'=2,AB=CD=A'B'=1,所以原平面图形的面积为S=2×1=2.故选A.
考向3　 几何体的表面积与体积
典例3(2024浙江7月学考)一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上,则该球体的表面积为(　　)
A.3π B.2π C.π D.π
A
解析 ∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上,
∴球的直径是正方体的体对角线,
∴球的半径是r=,
故球的表面积是4×π×=3π.故选A.
归纳总结三对对棱相等的四面体可以内接于长方体中,在长方体背景下求解四面体中的角度、距离、外接球、内切球和截面等问题或应用坐标法解题就会很方便.
考向4　 几何体的外接球和内切球
典例5在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC= CD=1,则其内切球的表面积为(　　)
A.3π B.π
C.(3-2)π D.(-1)π
C
典例6已知△EAB所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,且满足EA=EB =3,AD=2,∠AEB=60°,则多面体E-ABCD的外接球的表面积为　　　　.
16π

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