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课时作业20　空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固
1.下列结论中正确的是(　　)
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行　②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内　③一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交　④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③
2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(　　)
3.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列说法中正确的是(　　)
A.若α⊥β,l α,m β,则l⊥m
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
D.若α∥β,且l与α所成的角和m与β所成的角相等,则l∥m
4.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(　　)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,下列直线与AA1成异面直线的是(　　)
A.BB1 B.CC1
C.B1C1 D.AB
7.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是BC1和CD1的中点,则下列判断正确的是(　　)
A.PQ⊥CC1
B.PQ⊥平面A1ACC1
C.PQ∥BD
D.PQ∥平面ABD1
8.(多选)(2025全国 Ⅰ 卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　　)
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
9.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,P为正方形BCC1B1内一个动点,且DP∥平面B1D1E,则点P的轨迹的长度为　　　　　　.
10.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中真命题为　　　　　.(填序号)
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD,E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD.
12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,AD的中点.证明:
(1)BF∥平面AD1E;
(2)AD1⊥B1D.
能力提升
13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB=4,BC=3,AA1=5,点P,Q分别是线段BB1,AC1上的动点(不包含端点),则下列说法正确的是(　　)
A.对于任意一点Q,直线D1Q与直线BB1是异面直线
B.对于任意一点Q,存在一点P,使得CP⊥D1Q
C.对于任意一点P,存在一点Q,使得CP⊥D1Q
D.以上说法都不正确
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AB=4,∠DAB=60°,PA=PD=,PB=,M,N分别为PB,DC的中点.
求证:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面PAD⊥平面ABCD.
16.(2025浙江7月学考)如图所示,四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在平面α上的投影(AA1∥BB1∥CC1∥DD1),请回答下列问题:
(1)证明:平面A1ABB1∥平面D1DCC1;
(2)若A1D1⊥D1C1,且AA1=2,AB=BB1=A1B1=1.
(ⅰ)证明:A1D1⊥平面D1DCC1;
(ⅱ)试求ABCD-A1B1C1D1的体积.
参考答案
基础巩固
1.B　解析 ①错误,两条直线不相交,则它们可能平行,也可能异面;②正确;③错误,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面;④正确.故选B.
2.D　解析 由A,B中PS∥QR,C中PQ∥SR,所以A,B,C图中四点一定共面,D中PQ与RS是异面直线,所以四点不共面.
3.B
4.C　解析 由面面垂直的判定定理知:平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.故选C.
5.A　解析 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,
∴M为AD1的中点,又N是D1B的中点,
∴MN∥AB,
∵MN 平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
∵AB不垂直于BD,
∴MN不垂直于BD.
则MN不垂直于平面BDD1B1,∴选项B,D不正确;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D,AB⊥平面AA1D1D,
∴AB⊥A1D,
∵AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∵D1B 平面ABD1,
∴A1D⊥D1B,且直线A1D,D1B是异面直线,
∴选项C错误,选项A正确.
故选A.
6.C　解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥AA1,CC1∥AA1,B1C1与AA1异面,AA1∩AB=A.故选C.
7.ABC　解析 连接C1D,BD(图略),则易得PQ∥BD,因为CC1⊥BD,则PQ⊥CC1.
又BD⊥A1C1,A1C1,CC1 平面A1ACC1,A1C1∩CC1=C1,则BD⊥平面A1ACC1,故PQ⊥平面A1ACC1.
因为PQ∥BD,BD与平面ABD1相交,故PQ与平面ABD1不平行,所以A,B,C正确,D错误.
8.BD　解析 取B1C1中点D1,连接A1D1,AD,
则AD∥A1D1.
易知A1D1不垂直于平面AA1C1C,
∴A1D1与A1C不垂直,
∴AD与A1C不垂直,故A错误;
由题可知,B1C1⊥A1D1,B1C1⊥AA1,A1D1∩AA1=A1,A1D1,AA1 平面AA1D,
∴B1C1⊥平面AA1D,故B正确;
∵AD∥A1D1,AD∥平面A1B1C1,A1D1与A1B1相交,∴AD与A1B1异面,故C错误;
∵CC1∥AA1,CC1 平面AA1D,AA1 平面AA1D,
∴CC1∥平面AA1D,故D正确.
故选BD.
9.　解析 过点D作与平面B1D1E平行的平面,点P的轨迹为此平面与正方体的侧面BCC1B1的交线.连接BD,易知BD∥B1D1,
∴BD∥平面B1D1E,取CC1的中点M,连接MB,MD,易知BM∥ED1,
∴BM∥平面B1D1E,由面面平行的判定可知,平面BDM∥平面B1D1E,
∴点P∈BM时,DP∥平面B1D1E,点P的轨迹长即为BM=.
10.①④
11.证明 (方法1)取PD中点F,连接EF,AF.
∵E为PC的中点,
∴EF∥CD,且EF=CD.
∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD.
∴EF∥AB,且EF=AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴BE∥AF.
∵BE 平面PAD,且AF 平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(方法2)延长CB,DA交于点Q,连接PQ.
∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD.
∴B为QC的中点,
∵E为PC的中点,
∴BE∥PQ.
∵BE 平面PDQ,且PQ 平面PDQ,
∴BE∥平面PDQ,即BE∥平面PAD.
(方法3)取CD的中点M,连接ME,MB.
∵E为PC的中点,
∴EM∥PD,
∵EM 平面PAD,且PD 平面PAD,
∴EM∥平面PAD.
∵底面ABCD为梯形,且2AB=CD,AB∥CD,
∴AB=DM,AB∥DM,
∴四边形ABMD是平行四边形,
∴BM∥AD,同理可证BM∥平面PAD,
∵EM 平面BEM,BM 平面BEM,且EM∩BM=M,
∴平面BEM∥平面PAD,
∵BE 平面BEM,
∴BE∥平面PAD.
12.证明 (1)取AD1的中点M,连接FM,EM,因为E,F分别是棱BB1,AD的中点,
所以FM∥BE,且FM=BE,
所以四边形MFBE为平行四边形,所以EM∥BF.
因为EM 平面AD1E,BF 平面AD1E,所以BF∥平面AD1E.
(2)连接A1D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,
所以A1B1⊥AD1.
又AD1⊥A1D,A1B1∩A1D=A1,
所以AD1⊥平面A1DB1.
因为B1D 平面A1DB1,所以AD1⊥B1D.
能力提升
13.B　解析 对于A,当点Q为AC1的中点时,直线D1Q即直线D1B,与直线BB1共面,故A错误;
对于B,当BP=时,△CBP∽△C1CB,CP⊥BC1,所以CP⊥AD1.
因为CP 平面BCC1B1,C1D1⊥平面BCC1B1,所以CP⊥C1D1.
因为C1D1∩AD1=D1,C1D1 平面AC1D1,AD1 平面AC1D1,所以CP⊥平面AC1D1,D1Q 平面AC1D1,所以CP⊥D1Q,故B正确;
对于C,在长方体中,C1D1⊥平面BCC1B1,CP 平面BCC1B1,所以对任意点P,CP⊥C1D1,而D1Q与C1D1不平行,所以对任意点P,不存在点Q,使得CP⊥D1Q,故C错误.故选B.
14.A　解析 如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,
又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF 平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.
对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1 平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC 平面B1EF,EF 平面B1EF,
∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.
对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.
对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.
15.证明 (1)取PA中点E,连接DE,ME.
因为ME是△PAB的中位线,
所以ME∥AB,且ME=AB.
又四边形ABCD是菱形,则DN∥AB且DN=AB,
所以ME=DN,ME∥DN,即四边形MNDE是平行四边形.
所以MN∥DE.
因为DE 平面PAD,MN 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)取AD的中点O,连接OP,OB.
因为AD=AB=4,∠DAB=60°,
所以△ADB是等边三角形,则OB⊥AD,且BO=2.
因为△PAD是等腰三角形,所以PO⊥AD,又PA=,AO=2,所以PO=.
因为PB=,则PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB.
因为AD∩OB=O,BO,AD 平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD,又PO 平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
16.(1)证明 因为AA1∥DD1,AA1 平面A1ABB1,DD1 平面A1ABB1,所以DD1∥平面A1ABB1.
又四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,而AB 平面A1ABB1,CD 平面A1ABB1,所以CD∥平面A1ABB1.
又DD1∩CD=D,DD1,CD 平面D1DCC1,所以平面A1ABB1∥平面D1DCC1.
(2)(ⅰ)证明 由(1)同理可得平面A1ADD1∥平面B1BCC1,所以∠A1D1D=∠B1C1C,A1D1∥B1C1.
又A1D1⊥D1C1,即∠A1D1C1=90°,
所以四边形A1B1C1D1为矩形.
又BB1∥CC1,且BC∥B1C1,BB1=AB=BC=1,所以四边形B1C1CB是正方形,
所以∠A1D1D=∠B1C1C=90°,即DD1⊥A1D1,
又A1D1⊥D1C1,D1C1∩DD1=D1,D1C1,DD1 平面D1DCC1,所以A1D1⊥平面D1DCC1.
(ⅱ)解 过点B作A1B1的平行线交AA1于点E,过点C作D1C1的平行线交DD1于点F,连接EF.
则=V三棱柱BEA-CFD+,
而V三棱柱BEA-CFD=S△BEA×BC=×1××1=,
×BC=1××1=,
所以.(共32张PPT)
第20讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
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教材核心知识 课标要求
平面的基本 性质 在直观认识的基础上,感受平面的概念,知道平面的基本性质
空间点、直线、平面之间的位置关系 能说明空间点、直线、平面的位置关系,能用三种语言表述空间点、直线、平面及位置关系,能利用某些特殊空间图形判断空间点、直线、平面的位置关系
判断或证明空间中的平行 关系 能说明直线与直线平行的基本事实,能归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理;能从定义出发归纳并证明直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,能利用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理解决有关问题
知能构建 强技能
1.平面的性质及推论
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言
(数学语言)
基本 事实1 过不共线的三个点,有且只有一个平面.简称不共线的三点确定一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使得A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言
(数学语言)
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该公共点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
三个推论:
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图1).
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面(图2).
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面(图3).
图1
图2
图3
2.基本事实4与等角定理
(1)基本事实4(平行线的传递性):
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
符号语言 a∥b,b∥c a∥c
图形语言
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补.
3.空间中点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
①平行(在一个平面内,没有公共点);
②相交(在一个平面内,有且只有一个公共点);
③异面(不同在任何一个平面内,没有公共点).
直线与直线平行和相交的情况统称为共面.
(2)空间中直线与平面的位置关系
①直线在平面内(有无数个公共点);
②直线与平面相交(有且只有一个公共点);
③直线与平面平行(没有公共点).
当直线和平面相交或平行时,直线不在平面内,称为直线在平面外.
(3)空间中平面和平面的位置关系
①两个平面平行(没有公共点);
②两个平面相交(有一条公共直线).
4.直线和平面平行的判定与性质
(1)线面平行的判定定理
文字语言 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
符号语言 a α,b α,且a∥b a∥α
图形语言
(2)线面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面交于一条直线,那么该直线与交线平行
符号语言 a∥α,a β,α∩β=b a∥b
图形语言
5.平面与平面平行的判定与性质
(1)面面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号语言 a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α
图形语言
(2)面面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
符号语言 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b a∥b
图形语言
6.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的概念
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α
图形 语言
(3)直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a⊥α,b⊥α a∥b
图形语言
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
符号语言 a α,a⊥β α⊥β
图形语言
(3)平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β
图形语言
实战演练 明方向
考向1　 平面基本性质及其应用
典例1在空间中,下列说法正确的是 (　　)
A.经过三个点有且只有一个平面
B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面
C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个
D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
D
解析 当三点在一条直线上时,经过三个点有无数个平面,故A不正确;当点在直线上时,经过一个点和一条直线的平面有无数个,故B不正确;当点不在直线上时,经过该点且与这条直线平行的面有无数个,当点在直线上时,经过该点与这条直线平行的面不存在,故C不正确;D项说法正确.故选D.
考向2　 点、线、面的位置关系
典例2(2024浙江7月学考)m,n为两条异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则(　　)
A.α∥β
B.l⊥α
C.若平面α和平面β相交,则交线a∥l
D.若平面α和平面β相交,则交线a⊥l
C
解析 如图,m,n为两条异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则由图可知,平面α与平面β不平行,直线l不垂直于平面α,
平面α与平面β的交线a与直线l不垂直,故A,B,D错误.
如图,α∩β=a,作b∥m,使直线b与n相交于点A,
设直线b与n构成平面γ.
∵m⊥α,a α,则m⊥a,∴b⊥a.又n⊥β,a β,∴n⊥a.
∵n γ,b γ,b∩n=A,a γ,∴a⊥γ.
又l⊥m,l⊥b,l⊥n,b∩n=A,则l⊥γ,
∴l∥a,故C正确.故选C.
典例3(多选)(2022浙江学考)下列命题正确的是(　 　)
A.过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂直
B.过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行
C.过直线外一点,有且只有一个平面与这个直线垂直
D.过直线外一点,有且只有一个平面与这个直线平行
ACD
考向3　 空间中的平行关系
典例4
(多选)(2023浙江学考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是(　　)
A.BC1∥A1D、 B.BC1∥平面A1ADD1
C.BC1⊥B1D1 D.BC1∥平面A1B1CD
BD
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1.
因为在正方形A1ADD1中,AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D,故A错误;
因为AD1∥BC1,AD1 平面A1ADD1,BC1 平面A1ADD1,所以BC1∥平面A1ADD1,故B正确;
因为AD1∥BC1,AD1与B1D1相交,在等边三角形AB1D1中,∠AD1B1不为直角,所以BC1不垂直B1D1,故C错误;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为A1B1⊥平面B1BCC1,BC1 平面B1BCC1,所以BC1⊥A1B1.
因为BC1⊥B1C,A1B1 平面A1B1CD,B1C 平面A1B1CD,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,故D正确.故选BD.
考向4　 空间中的垂直关系
典例5 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,点E是棱CC1的中点,AE⊥平面B1D1C,则(　　)
A.AB∶AD∶AA1=1∶1∶2
B.AB∶AD∶AA1=1∶2∶2
C.AB∶AD∶AA1=1∶1∶
D.AB∶AD∶AA1=1∶
C
归纳总结线线、线面、面面的平行与垂直关系,统一在一个互相联系的体系中,其中,线面平行、线面垂直居于中心地位,线面垂直更是核心,需要两个线线垂直或两个面面垂直或一个线面垂直一个面面垂直,才能推出线面垂直,线面垂直还是几何法作出平面的垂线的依据,在垂面内作出交线的垂线得到平面的垂线是求空间角与空间距离的核心要点.
考向5　 平行、垂直关系的综合应用
典例6(多选) 已知在正四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,则(　 　)
A.EF∥平面ACD
B.AC⊥BD
C.AB⊥平面FGH
D.E,F,G,H四点共面
ABD
解析 将正四面体ABCD放入正方体里,如图.
∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.
∵AC 平面ACD,EF 平面ACD,
∴EF∥平面ACD,故A正确.
由正方体性质可得AC⊥BD,故B正确.
∵E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,EF∥AC且EF=AC,GH∥AC且GH=AC,
∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形,故E,F,G,H四点共面,故D正确.
若AB⊥平面FGH成立,则AB⊥平面EFGH.
∵HE 平面EFGH,
∴AB⊥HE.
∵E,H分别为AB,AD的中点,
∴EH∥BD,∴AB⊥BD.
而△ABD为等边三角形,与AB⊥BD矛盾,故C不正确.故选ABD.

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