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课时作业21　空间角与距离
基础巩固
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是(　　)
A. B. C. D.
2.在四面体ABCD中,二面角A-BC-D为60°,点P为直线BC上一动点,记直线PA与平面BCD所成角为θ,则(　　)
A.θ的最大值为60° B.θ的最小值为60°
C.θ的最大值为30° D.θ的最小值为30°
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1⊥底面ABC,AA1=3,M是AB的中点,则异面直线BB1与MC1所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=,AB=,二面角A1-BD-A的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD⊥平面ABCD,且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形,则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是(　　)
A. B. C. D.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A. B. C. D.
7.(2024新高考Ⅱ)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
8.(多选)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠DAB=∠A1AB=∠A1AD=,AA1=3,AB=AD=2,以下选项正确的是(　　)
A.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6
B.异面直线BB1与A1C所成角的正弦值为
C.AC1⊥平面BDD1B1
D.二面角D1-AA1-B的余弦值为
9.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为　　　　　.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,则点B1到平面D1BC的距离为　　　　　.
11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是2,则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正切值为　　　　　;直线CB1与直线A1B所成角的余弦值为　　　　　.
12.(2025浙江7月学考)如图,在直三棱柱ABC-DEF中,AB=AC=AD=1,AB⊥AC.
(1)求证:AF⊥CE;
(2)求二面角A-EF-C的正弦值.
能力提升
13.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,AA1=4,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则直线BC1与CA1所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
14.(多选)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,点M为侧棱CC1上的动点(包括端点),AM⊥平面α.下列说法正确的有(　　)
A.异面直线AM与B1C可能垂直
B.直线BC与平面α可能垂直
C.AB与平面α所成角的正弦值的取值范围为[]
D.若M∈α且CM=MC1,则平面α截正四棱柱所得截面多边形的周长为3
15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,O1是上底面A1B1C1D1的一个动点.
(1)求三棱锥A-O1BC的体积;
(2)当O1是上底面A1B1C1D1的中心时,求AO1与平面ABCD所成角的余弦值.
16.(2025全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)设PA=AB=,BC=2,AD=1+,且点P,B,C,D均在球O的球面上.
(ⅰ)证明:点O在平面ABCD上;
(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值.
参考答案
基础巩固
1.D　解析 ∵正方体ABCD-A1B1C1D1,
∴AA1⊥平面ABCD,
∴∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体棱长为1,
∴cos∠A1CA=.故选D.
2.A　解析 设点A在平面BCD上的射影为点O,作OE⊥BC,连接AE,则∠AEO为二面角A-BC-D的平面角.
连接OP,AP,则sin∠APO==sin∠AEO·,故选A.
3.A　解析 取A1B1中点N,连接NM,NC1,
∵M为AB的中点,易知MN∥BB1,
∴∠C1MN即为异面直线BB1与MC1所成角.
∵AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥NC1,
∴MN⊥NC1.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,且AA1=3,
∴NC1=,MN=3,
∴tan∠C1MN=,
∴∠C1MN=30°.故选A.
4.C　解析 取BD中点O,连接A1O,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,易知AO⊥BD,
∵AA1⊥平面ABCD,可知,A1O⊥BD,
∴∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角.
∴tan∠A1OA=,
∴∠A1OA=60°.
故选C.
5.C　解析 连接A1C,交BD1于点O,由对称性可知,OC=A1C.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC⊥CD.
又平面A1B1CD⊥平面ABCD,平面A1B1CD∩平面ABCD=CD,
∴BC⊥平面A1B1CD,
∴∠BOC即为直线BD1与平面A1B1CD所成的角,
不妨设AD=a,则tan∠BOC=.
6.B　解析 ∵O为A1C1的中点,∴点O到平面ABC1D1的距离是点A1到平面ABC1D1的距离的一半,故可计算点A1到平面ABC1D1的距离.
∵AB⊥平面ADD1A1,且AB 平面ABC1D1,
∴平面ABC1D1⊥平面ADD1A1.
过点A1作A1M⊥AD1,∴A1M⊥平面ABC1D1,
∴点A1到平面ABC1D1的距离即为A1M.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
∴A1M=.
∴点O到平面ABC1D1的距离是.
故选B.
7.B　解析 (方法1)设棱台的高为h,三条侧棱延长后相交于一点S.正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1.连接AO,SO,易知点O1在SO上.
由AB=3A1B1,可知三棱锥S-A1B1C1的高为SO1=h,三棱锥S-ABC的高为SO=h,正三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1均为正三角形,AB=6,A1B1=2,得S△ABC=9,所以×9h-h=,解得h=,
由等边三角形性质易知OA=2,SO=h=2,所以所求正切值为=1.故选B.
(方法2)设棱台的高为h,正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1,连接OO1,A1O1,AO,作A1H⊥AO,H为垂足.
S上=×22=,S下=×62=9,V=(S上+S下+)h,可得h=,设A1A与平面ABC所成角为θ,则tan θ==1.
故选B.
8.ABD　解析 对于A,连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的中点.
因为∠DAB=,AB=AD=2,则△ABD为正三角形,故BD=2,AO=,BO=DO=1.
又∠A1AB=∠A1AD=,AA1=3,由余弦定理,得A1B=A1D=,
则△A1OB≌△A1OD,故∠A1OB=∠A1OD.
又∠A1OB+∠A1OD=π,故∠A1OB=∠A1OD=,A1O=.因为A1O2+AO2=A1A2,则A1O⊥AO.又A1O⊥BO,AO∩BO=O,AO,BO 平面ABCD,故A1O⊥平面ABCD,则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V=S平行四边形ABCD·A1O=22×sin=6,故A正确.
对于B,因为AA1∥BB1,所以∠AA1C为异面直线BB1与A1C所成的角.
因为A1O⊥AO,且AO=OC,所以△AA1C为等腰三角形,则∠AA1O=∠CA1O,cos∠AA1O=,所以cos∠AA1C=cos 2∠AA1O=2cos2∠AA1O-1=2×()2-1=,故sin∠AA1C=,所以异面直线BB1与A1C所成角的正弦值为,故B正确.
对于C,因为cos∠AA1C=>0,所以AC1与AA1不垂直.
又AA1∥BB1,所以AC1与BB1不垂直.因为BB1 平面BDD1B1,故AC1⊥平面BDD1B1不成立,故C错误.
对于D,由AA1=AA1,AB=AD,DA1=BA1,故△A1AB≌△A1AD.
作BP⊥AA1于点P,连接DP,由全等性质可得DP⊥AA1,则二面角D1-AA1-B的平面角为∠DPB.又BP=DP=ABsin,BD=2,故cos∠DPB=,即二面角D1-AA1-B的余弦值为,故D正确.
故选ABD.
9.　解析 如图所示,将多面体放置于正方体中,连接MC,设MC的中点为E,连接EF,CF.
因为M,C分别为所在正方体棱的中点,所以MC∥NF,且ME=NF=MC,则四边形MEFN为平行四边形,所以MN∥EF,故直线MN与平面ABCD所成的角即为直线EF与平面ABCD所成的角.
又MC⊥平面ABCD,所以直线EF与平面ABCD所成的角即为∠EFC.
设正方体的棱长为2,则EC=1,CF=,EF=,所以sin∠EFC=,即直线MN与平面ABCD所成的角的正弦值为.
10.　解析 设点B1到平面D1BC的距离为d,
∵,
∴·d=·A1B1.
∴×1××d=×1×1×2.∴d=.
11.　解析 取AB的中点D,连接CD,B1D.
因为△ABC为等边三角形,所以CD⊥AB.因为BB1⊥平面ABC,CD 平面ABC,所以BB1⊥CD.
因为BB1∩AB=B,BB1,AB 平面AA1B1B,所以CD⊥平面AA1B1B,
所以∠CB1D为直线CB1与平面AA1B1B所成的角.
因为正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是2,所以CD=×2=,DB1=,
所以tan∠CB1D=,所以直线CB1与平面AA1B1B所成角的正切值为.
取BC,BB1,A1B1的中点E,F,G,连接EF,FG,EG.
则EF∥B1C,FG∥A1B,则EF=B1C=×2,FG=A1B=×2,所以∠EFG(或其补角)为直线CB1与直线A1B所成的角.
连接DG,DE,则EG=.
在△EFG中,由余弦定理得cos∠EFG==-.
因为异面直线所成的角的取值范围为(0,],所以直线CB1与直线A1B所成角的余弦值为.
12.(1)证明 连接CD,在直三棱柱ABC-DEF中,AD⊥平面DEF,
DE 平面DEF,∴AD⊥DE.
∵AB⊥AC,DE∥AB,∴DE⊥AC.
∵AD∩AC=A,AD 平面ADFC,AC 平面ADFC,
∴DE⊥平面ADFC,∵AF 平面ADFC,∴DE⊥AF.
∵AC=AD,∴四边形ADFC是正方形,∴DC⊥AF.
∵DC∩DE=D,DC 平面DCE,DE 平面DCE,
∴AF⊥平面DCE.
∵CE 平面DCE,∴AF⊥CE.
(2)解 过点A作AH⊥BC于点H,过点H作HG⊥EF于点G,连接AG.
在直三棱柱ABC-DEF中,CF⊥平面ABC,AH 平面ABC,∴AH⊥CF.
∵BC∩CF=C,BC 平面CBEF,CF 平面CBEF,
∴AH⊥平面CBEF.
∵EF 平面CBEF,HG 平面CBEF,∴AH⊥EF,AH⊥HG.
又HG⊥EF,AH∩HG=H,AH 平面AGH,HG 平面AGH,
∴EF⊥平面AGH,∵AG 平面AGH,∴EF⊥AG,
∴∠AGH是二面角A-EF-C的平面角.
∵AB=AC=AD=1,∴BC=,HG=1.
∵AB⊥AC,∴AH=.
∵AH⊥HG,∴tan∠AGH=,∴sin∠AGH=,∴二面角A-EF-C的正弦值为.
能力提升
13.D　解析 ,
则=()·()==6,||===2,
||2===2,
cos<>=,
所以sin<>=,
故选D.
14.AD　解析 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面正方形ABCD的边长为1,AA1=2,如图.
当MC=时,在矩形BCC1B1中,tan∠CBM==tan∠CB1B,则∠CBM=∠CB1B,
所以B1C⊥BM.
又因为AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C.
因为AB∩BM=B,AB,BM 平面ABM,
所以B1C⊥平面ABM,所以AM⊥B1C,故A正确.
因为AM与BC是异面直线,所以AM与BC不可能平行,故BC与α不可能垂直,故B错误.
因为AM⊥平面α,AB是平面α的斜线,则AB与平面α所成角θ=-∠BAM,
所以sin θ=cos∠BAM=.
又因为当点M在棱CC1上移动时,≤AM≤,
所以,所以≤sin θ≤,故C错误.
当M为棱CC1中点时,连接AB1,AD1,AC,MB1,MD1,BD1,如图所示,则有AC=,AM=,AB1=AD1=,MB1=MD1=B1D1=,所以AM2+M=5=A,所以AM⊥MB1.
同理可得,AM⊥MD1.
又因为MB1∩MD1=M,MB1,MD1 平面MB1D1,
所以AM⊥平面MB1D1,
所以平面α截正四棱柱所得截面多边形为正三角形B1MD1,
所以其周长3B1M=3,故D正确.
故选AD.
15.解 (1)由题可得,×3×3×3=.
(2)过点O1作O1O⊥平面ABCD交平面ABCD于点O,连接AO1,AO(图略),
则∠O1AO即为直线AO1与平面ABCD所成的角.
∵O1O=3,AO=,AO1=,
∴cos∠O1AO=.
16.(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,AP,AD 平面ADP,AP∩AD=A,
∴AB⊥平面ADP.
又AB 平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.
(2)(ⅰ)证明 易知PA,AB,AD两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
∵AP=,AB=,BC=2,AD=+1,
∴P(0,0,),B(,0,0),C(,2,0),D(0,+1,0).
∵点O为P,B,C,D共球面的球心,
则PO=OB,CO=DO,BO=CO.
设O(x,y,z),
则有
解得
即点O(0,1,0),∴点O在平面ABCD上.
(ⅱ)解 由(ⅰ)知=(,2,0),=(0,1,-),
则cos<>=.
所以直线AC与PO所成角的余弦值为.(共20张PPT)
第21讲
空间角与距离
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
空间基本图形位置关系的简单命题的证明 能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题
空间角的定义,并能求空间角的大小 在给定几何图形中找出有关的角和线段,综合应用集合知识求出角度和距离
知能构建 强技能
(2)直线与平面所成的角
①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面的所成角.
规定:若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是直角;若直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°.
②直线与平面所成角θ的取值范围是 .
③直线PA(其中P α,A∈α)与平面α所成角的求法:作出斜线PA在平面α上的射影,斜线与射影所成角即为所求;求出点P到平面α的距离d,则sin θ= ;空间向量法.
(3)二面角
①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角:如图,若O∈l,OA α,OB β,且满足OA⊥l,OB⊥l,则射线OA,OB所成的角∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
③二面角的平面角θ的取值范围是[0,π].
实战演练 明方向
考向1　 两异面直线所成角
典例1 (2023浙江台金六校联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1=2, BC=1,∠ACB=120°,E是BB1的中点,则异面直线CE与AC1所成的角的余弦值是(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.- B.
C. D.-
B
归纳总结平移法是求异面直线所成角的常用方法,通过平移一条或两条异面直线构造三角形,解三角形求出角.对于方便建立空间直角坐标系的几何体,用空间向量法来求.
考向2　 直线与平面所成角
典例2(2024浙江7月学考)已知一个各棱均相等的四面体A-BCD,则棱AB与平面BCD的夹角的余弦值为　　　　　.
　
解析 在四面体A-BCD中,过点A作AO⊥平面BCD,连接BO,
则∠ABO即为棱AB与平面BCD的夹角.令AB=2,
因为四面体的棱长均相等,则O为△BCD的中心,
所以BO=,
cos ∠ABO=.
归纳总结几何法求线面角的步骤:作面的垂线,则斜足与垂足的连线段即为斜线在平面上的射影,斜线与射影所成角即为线面角,在所得直角三角形中求解.
考向3　 二面角
典例3直三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均等于2,M为线段BB1上的动点,则平面ABC与平面AMC1所成的二面角为锐角,则该角的余弦值的最大值为___________.
考向4　 空间中的距离
B

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