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课时作业23　概率
基础巩固
1.已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是(　　)
A.若他投100次,一定有50次投中
B.若他投一次,一定投中
C.他投一次投中的可能性大小为50%
D.以上说法均错
2.(2024浙江杭州高一期末)如图是一个古典概型的样本空间Ω和随机事件A,B,其中n(Ω)=30,n(A)=15,n(B)=10,n(A∪B)=20,则P()=(　　)
A. B. C. D.
3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.(2024浙江杭州高二开学考试)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲中靶的概率为0.6,乙中靶的概率为0.7,且两人是否中靶相互独立.若甲、乙各射击一次,则(　　)
A.两人都中靶的概率为0.12
B.两人都不中靶的概率为0.42
C.恰有一人中靶的概率为0.46
D.至少一人中靶的概率为0.74
5.某市场供应的电子产品中,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品,则这两件产品都不是合格品的概率为(　　)
A.2% B.30%
C.72% D.26%
6.设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则事件A与事件B是(　　)
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
7.将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
8.(多选)先后两次掷一枚质地均匀的骰子,A表示事件“第一次掷出的点数是5”,B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”,C表示事件“两次掷出的点数之和是5”,D表示事件“至少出现一个奇数点”,则(　　)
A.事件A与C互斥
B.P(D)=
C.事件B与D对立
D.事件B与C相互独立
9.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　　.
10.现有三张卡片,分别写有“1”“2”“3”这三个数字.将这三张卡片随机排序组成一个三位数,则该三位数是奇数的概率是　.
11.(2025浙江7月学考)甲、乙两人各自独立地破译一份密码,甲破译密码成功的概率为0.5,乙破译密码成功的概率为0.6,且两者结果相互独立,请回答下列问题:
(1)求甲和乙同时成功破译密码的概率;
(2)求密码被成功破译的概率.
能力提升
12.某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
A. B. C. D.
13.(多选)(2024浙江余姚期中)甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床的正品率是0.8,乙机床的正品率为0.9,分别从它们制造的产品中任意抽取一件,则下列说法正确的有(　　)
A.两件都是次品的概率为0.02
B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C.恰有一件正品的概率为0.26
D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
14.已知有黑、白两种除颜色外完全相同的若干小球,放入三个相同的空箱子中,已知三个箱子中小球的数量之比为5∶4∶6,其中黑球占比分别为40%,25%,50%.若从三个箱子中各取一球,则取得的球均为黑球的概率为　　　　　;若将三个箱子中的球全倒入一个箱子内,则从中取得一个白球的概率为　　　　　.
15.某高校举行了运动会志愿者选拔面试,面试成绩满分100分,现随机抽取了80名候选者的面试成绩,绘制成如下频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计这80名候选者面试成绩的平均值、众数、中位数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,中位数精确到0.1)
(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者,有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔,需要通过抽签的方式决定最终的人选,现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人,求中签者中男生比女生多的概率.
16.(2024浙江余姚期末)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动,在某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
参考答案
基础巩固
1.C　解析 概率是指一件事情发生的可能性大小.
2.B　解析 n(Ω)=30,n(A)=15,n(B)=10,n(A∪B)=20,则n()=30-20=10,
则P()=.故选B.
3.C　解析 从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为.
4.C　解析 设甲中靶为事件A,乙中靶为事件B,P(A)=0.6,P(B)=0.7,则两人都中靶的概率为P(A)P(B)=0.7×0.6=0.42,两人都不中靶的概率为(1-P(A))(1-P(B))=0.3×0.4=0.12,
恰有一人中靶的概率为(1-P(A))P(B)+P(A)(1-P(B))=0.4×0.7+0.6×0.3=0.46,
至少一人中靶的概率为1-0.3×0.4=0.88.故选C.
5.A　解析 设A,B分别表示事件甲、乙是合格品,则A,B相互独立,所求即P()=P()P()=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02.故选A.
6.B　解析 因为P(A)+P(B)==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.故选B.
7.C　解析 将3个1和2个0随机排成一行,共有11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为=0.6.故选C.
8.ABD　解析 用实数对(x,y),x,y∈{1,2,3,4,5,6}表示试验结果,x是第一次掷出的点数,y是第二次掷出的点数,共包含36个样本点,事件A={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)};事件B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)};事件C={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}.因为事件A与C不可能同时发生,所以事件A与C互斥,故A正确;记“两次点数均为偶数”为事件E,则E={(2,2),(4,2),(6,2),(2,4),(4,4),(6,4),(2,6),(4,6),(6,6)},则P(E)=,故P(D)=1-P(E)=,故B正确;因为事件B与D可能同时发生,所以事件B与D不对立,故C错误;事件BC={(1,4),(3,2)},则P(B)=,P(C)=,P(BC)=,所以P(B)P(C)=P(BC),所以B,C相互独立,故D正确.故选ABD.
9.　解析 试验包含的样本点有(红,白),(红,蓝),(红,红),(白,蓝),(白,白),(白,红),(蓝,白),(蓝,红),(蓝,蓝),共9个,而选择同一种颜色包含3个样本点,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故所求概率P=.
10.　解析 3张卡片随机排列有6种方法,排成一个三位数奇数有123,213,321,231,共4个,故三位数是奇数的概率是.
11.解 (1)记事件A:甲成功破译密码,事件B:乙成功破译密码,两人都破译成功则为P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)密码未被破译成功的概率P()=0.5×0.4=0.2,所以密码被破译成功的概率为1-P()=0.8.
能力提升
12.A　解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率P=1-.故选A.
13.ACD　解析 对于A,若取出的两件都是次品,其概率P=(1-0.8)×(1-0.9)=0.2×0.1=0.02,故A正确;
对于B,事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品,“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品,所以两个事件不是互斥事件,故B错误;
对于C,恰有一件正品,其概率P=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26,故C正确;
对于D,“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品,所以事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件,故D正确.故选ACD.
14.　解析 由题意知从三个箱子中取到黑球的概率分别为,因为从三个箱子中取球相互独立,所以取得的球均为黑球的概率为.
三个箱子中小球的数量占总数的比例分别为,所以白球占比为×(1-)+×(1-)+×(1-)=,则从中取得一个白球的概率为.
15.解 (1)a=×(0.1-0.045-0.025-0.02)=0.005.
=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5.
众数为70.
因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025=0.3<0.5,前3组的频率和为0.3+10×0.045=0.75>0.5,所以中位数位于区间[65,75)内,设为m,则0.3+0.045(m-65)=0.5,解得m≈69.4,所以中位数约为69.4.
(2)设3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,则中签的情况为{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2},{a2,a3,b1},{a2,a3,b2},{a1,b1,b2},{a2,b1,b2},{a3,b1,b2},共10种,其中男生比女生多的情况有7种,所以中签者中男生比女生多的概率为.
16.解 (1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A,B,C,则P(A)=,P()=1-P(A)=,P()=1-P(C),P()P()=,P(B)P(C)=,则P()=,P(C)=1-P()=,所以P(B)=.故乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.
(2)有0个家庭回答正确的概率P0=P()=P()P()P()=,
有1个家庭回答正确的概率P1=P(AC)=,
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=1-P0-P1=1-.(共20张PPT)
第23讲
概率
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
样本点、有限样本空间、随机事件 结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率
随机事件的关系与运算
古典概型
概率的基本性质 结合古典概型能利用独立性计算概率
两个随机事件的独立性及概率的计算
频率与概率的关系
随机模拟试验
知能构建 强技能
1.随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
3.互斥事件与对立事件
(1)互斥事件:一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
(2)对立事件:一般地,事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B= ,那么称事件A与事件B互为对立.
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:P(A)=1.
(3)不可能事件的概率:P(A)=0.
(4)互斥事件的概率加法公式:
①P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥).
②P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(A1,A2,…,An彼此互斥).
(5)对立事件的概率:P()=1-P(A).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
实战演练 明方向
考向1　 随机事件和概率
典例1一个袋中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球和2个白球,从中一次性随机摸出2个球,则下列说法正确的是(　　)
A.“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”是互斥事件
B.“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件
C.“至少摸到1个红球”的概率大于“至少摸到1个白球”的概率
D.“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”是相互独立事件
B
解析 对于A,“恰好摸到1个红球”为1红1白,“至少摸到1个白球”包含1红1白、2白,所以,“恰好摸到1个红球”与“至少摸到1个白球”不是互斥事件,
故A错误;
对于B,“恰好没摸到红球”为2白,“至多摸到1个白球”包含2红、1红1白,所以,“恰好没摸到红球”与“至多摸到1个白球”是对立事件,故B正确;
对于C,2个红球分别记为a,b,2个白球分别记为A,B,从2个红球和2个白球中一次性随机摸出2个球,所有的样本点有ab,aA,aB,bA,bB,AB,
其中,事件“至少摸到1个红球”包含的样本点有ab,aA,aB,bA,bB,其概率为,事件“至少摸到1个白球”包含的样本点有aA,aB,bA,bB,AB,其概率为,所以,“至少摸到1个红球”的概率等于“至少摸到1个白球”的概率,故C错误;
对于D,记事件E:恰好摸到2个红球,事件F:恰好摸到2个白球,则P(E)=P(F)=,P(EF)=0,则P(EF)≠P(E)P(F),所以,“恰好摸到2个红球”与“恰好摸到2个白球”不是相互独立事件,故D错误.故选B.
归纳总结“互斥”“对立”“独立”是三个重要且易混淆的概念,事件A,B互斥是指A,B不可能同时发生,即P(A∩B)=0;事件A,B对立是指A,B不可能同时发生,且必有一个发生,即满足P(A∩B)=0,P(A∪B)=1.对立一定互斥,但反之不然.事件A,B相互独立是指事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响,即满足P(A∩B)=P(A)P(B).
考向2　 古典概型的概率计算
例2(2024浙江7月学考)6个球中,2红4黄,则随机模到一个红球的概率为
(　　)
A. B. C. D.
B
解析 由题意知,6个球中,2红4黄,
根据古典摡型的概率计算公式,可得随机模到一个红球的概率P=.故选B.
典例3某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A. B. C. D.
D
解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种选法,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P=.
归纳总结若试验是古典概型,则事件A的概率的计算要考虑两个方面,一是计算试验包含的样本点总数,二是计算事件A包含的样本点数.简单的计数问题计算时可用列举法,比较复杂的计数就要用到计数原理.
考向3　 相互独立事件和独立重复试验
典例4(2023浙江学考)已知A,B是相互独立事件,P(A)=,P(B)=,则P(AB)=___________.
典例5(多选)(2024浙江7月学考)A,B是两个随机事件,则(　　)
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若A B,则P(A)≤P(B)
C.若A,B互为独立事件,则P(AB)=P(A)P(B)
D.若A,B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1
BCD
解析 对于A,例如:抛掷一枚骰子,事件A=“点数为偶数点”,事件B=“点数为4点”,
可得P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,
则P(A∪B)≠P(A)+P(B),故A不正确;
对于B,若A B,可得P(A)≤P(B),故B正确;
对于C,若A,B互为独立事件,根据独立事件的概率乘法公式,可得P(AB)=P(A)P(B),故C正确;
对于D,若A,B互为对立事件,根据对立事件的概念,可得P(A)+P(B)=1,
故D正确.故选BCD.

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