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课时作业13　函数y=Asin(ωx+φ)
基础巩固
1.(2025浙江7月学考)若想要得到函数y=sin(3x+)的图象,只需要将y=sin 3x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
2.设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B.
C. D.
3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=(　　)
A. B. C. D.
4.(2024浙江丽水期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=2sin(2x+)的图象,则φ的值可能是(　　)
A.0 B. C. D.
5.(2025浙江宁波期末)已知函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<)的部分图象如图所示,将该函数图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)=(　　)
A.cos(x+) B.cos(x-)
C.cos(x+) D.cos(x-)
6.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对于任意x∈R恒成立,且f()>f(π),则f()的值为(　　)
A.- B.0 C. D.
7.函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
8.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0),(　　)
A.若f(x)在区间[]上单调,则0<ω≤
B.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到曲线C,若曲线C对应的函数为偶函数,则ω的最小值为
C.若方程|sin(ωx+)|=1在区间(0,π)内恰有三个解,则<ω≤
D.关于x的方程f(x)=A+B在(0,π)内有两个不同的解,则2<ω≤
9.若函数y=cos(2x+φ)(|φ|<)的图象关于点(,0)中心对称,则φ=　　　　　.
10.设函数f(x)=sin(4x+),x∈[0,].若关于x的方程f(x)=a有解,则实数a的取值范围是　　　　　.
11.某游乐场的摩天轮示意图如图所示.已知该摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时间为24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号分别为1~12(可视为点),在旋转过程中,座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟.
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式;
(2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值;
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米,求当H取得最大值时t的值.
12.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1,最小正周期为π,且f(x)的图象关于直线x=对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的单调递减区间.
能力提升
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g()=,则f()=(　　)
A.-2 B.-
C. D.2
14.(多选)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,则下列结论中正确的是(　　)
A.若ω=2,则将f(x)图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B.若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为,则ω=2
C.若f(x)在[0,]上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]
D.当ω=3时,f(x)在[0,π]上有且只有3个零点
15.已知函数f(x)=msin(x-)-sin x+2在[,2π]上有两个不同的零点,则满足条件的所有m的值组成的集合是　 .
16.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx-sin2ωx+,其中ω>0,若实数x1,x2满足|f(x1)-f(x2)|=2,|x1-x2|的最小值为.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)若不等式f2(x)+2acos(2x+)-2a-2<0对任意x∈(-)恒成立,求实数a应满足的条件.
参考答案
基础巩固
1.C　解析 由于y=sin(3x+)=sin[3(x+)],所以若想要得到函数y=sin(3x+)的图象,只需要将y=sin 3x的图象向左平移个单位长度.故选C.
2.C　解析 由题图知f=cos=0,所以-ω++kπ(k∈Z),化简得ω=-(k∈Z).因为T<2π<2T,即<2π<,所以1<|ω|<2,解得-3.D　解析 f(x)的图象向右平移φ个单位长度后,得到g(x)=sin(2x-2φ),又|f(x1)-g(x2)|=2,∴不妨令2x1=+2kπ,2x2-2φ=-+2mπ,∴x1-x2=-φ+(k-m)π,又|x1-x2|min=,∴|-φ|=,解得φ=,故选D.
4.A　解析 将f(x)=2sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=2sin ω(x+)=2sin(ωx++φ)的图象.由题知,2sin(ωx++φ)=2sin(2x+),所以ω=2,
所以+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ,k∈Z.当k=0时,φ=0.故选A.
5.C　解析 根据图象,f(0)=cos φ=,0<φ<,所以φ=,则f(x)=cos(x+),
则将该函数图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=cos[(x+)+]=cos(x+).故选C.
6.D　解析 由条件,解得φ=-,∴f(x)=sin(2x-),∴f()=,故选D.
7.A　解析 因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=是奇函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,故选A.
8.BCD　解析 对于A,x∈[],ωx+∈[],若f(x)在区间[]上单调递增,则解得8k-3≤ω≤k+,又因为k∈Z,ω>0,所以0<ω≤,若f(x)在区间[]上单调递减,则解得8k+1≤ω≤,又因为k∈Z,ω>0,所以1≤ω≤.综上,0<ω≤或1≤ω≤,A错误;对于B,y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=Asin(ωx+)+B,若g(x)为偶函数,则有=kπ+,解得ω=2k+,k∈Z,而ω>0,所以ω最小值为,B正确;对于C,因为x∈(0,π),所以ωx+∈(,ωπ+),函数y=|sin(ωx+)|在(0,π)内恰有三个极值点,则有<ωπ+,解得<ω≤,C正确;对于D,f(x)=A+B,即sin(ωx+)=,x∈(0,π),ωx+∈(,ωπ+),则<ωπ+,解得2<ω≤,D正确.故选BCD.
9.-　解析 因为余弦函数y=cos x的图象的对称中心是(+kπ,0)(k∈Z),函数y=cos(2x+φ)(|φ|<)的图象关于点(,0)中心对称,所以2×+φ=+kπ,所以φ=-+kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=-.
10.[-,1]　解析 令z=4x+,则当x∈[0,]时,z=4x+∈[],作出函数y=sin z,z∈[]的图象(图略),直线y=a与之有公共点的条件是a∈[-,1].
11.解 (1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0),则A=30,b=32,∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0).
依题意T=24 min,∴ω=(rad/min),
当t=0时,h(t)=32,∴φ=0,
∴h(t)=30sint+32(t≥0).
(2)令h(t)=17,即30sint+32=17,
∴sint=-.
∵0≤t≤24,∴0≤t≤2π,∴t=t=,
解得t=14或t=22,
∴t=14或t=22时,1号座舱与地面的距离为17米.
(3)设1号座舱与地面的距离为h1,5号座舱与地面的距离为h5,依题意,h1=30sint+32,h5=30sin(t+8)+32,
∴H=|(30sint+32)-[30sin(t+8)+32]|
=|30sint-30sin(t+)|
=30|sint-cost|
=30|sin(t-)|.
令t-+kπ,k∈N,解得t=8+12k(k∈N),
所以当t=8+12k(k∈N)时,H取得最大值.
12.解 (1)由题意可知-A+2=1,所以A=1,
又=π ω=2,此时f(x)=cos(2x+φ)+2,
由f(x)的图象关于直线x=对称可知2×+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.
由于0<φ<π,故取k=1,则φ=,
故f(x)=cos(2x+)+2.
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)=f(x+)=cos(2x+)+2=-sin 2x+2,
令-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故y=g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
能力提升
13.C　解析 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin.∵g(x)的最小正周期为2π,即=2π,∴ω=2.则g(x)=Asin x.由g()=,得Asin ,解得A=2.则f(x)=2sin 2x.∴f()=2sin .故选C.
14.ABD　解析 函数f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-),选项A,若ω=2,f(x)=2sin(2x-),将f(x)图象向左平移个单位长度后得到y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x,其图象关于原点对称,故正确;选项B,若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为,则,解得ω=2,故正确;选项C,当x∈[0,]时,ωx-∈[-],若f(x)在[0,]上单调递增,则,解得0<ω≤,故错误;选项D,当ω=3时,f(x)=2sin(3x-),令3x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,因为x∈[0,π],所以x=,x=,x=,所以f(x)在[0,π]有且只有3个零点,故正确.故选ABD.
15.{-3,-2}　解析 f(x)=msin(x-)-cos(x-)+2=msin(x-)+2sin2(x-)+1,令t=sin(x-)∈[0,1],则f(t)=2t2+mt+1,t∈[0,1],当t∈[0,)∪{1}时,t=sin(x-)有1个根,当t∈[,1)时,t=sin(x-)有2个根,关于t的方程2t2+mt+1=0,显然t≠0,则m=-2t-∈(-∞,-2],当m∈(-∞,-3)时,m=-2t-有一个根t0∈(0,),则t0=sin(x-)有1个根,故f(x)有1个零点;当m=-3时,m=-2t-有两个根t1,t2,其中t1∈(0,),t2=1,t1=sin(x-)有1个根,t2=sin(x-)也有1个根,故f(x)有2个零点;当m∈(-3,-2)时,m=-2t-有两个根t1,t2,其中t1∈(0,),t2∈(,1),则t1=sin(x-)有1个根,t2=sin(x-)也有2个根,故f(x)有3个零点;当m=-2时,m=-2t-有一个根t0=,则t0=sin(x-)有2个根,故f(x)有2个零点.综上所述,当m=-3或m=-2时,f(x)有2个零点.
16.解 (1)由题意,函数f(x)=sin ωxcos ωx-sin2ωx+sin 2ωx-sin 2ωx+cos 2ωx=sin(2ωx+),因为|x1-x2|的最小值为,
所以f(x)的最小正周期T=π=,解得ω=1,
所以f(x)=sin(2x+).
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由f2(x)+2acos(2x+)-2a-2=sin2(2x+)+2acos(2x+)-2a-2=-cos2(2x+)+2acos(2x+)-2a-1,
因为x∈(-),可得2x+∈(0,),
令t=cos(2x+),则cos(2x+)∈(0,1),
所以-t2+2at-2a-1<0,t∈(0,1),即2a(t-1),
令m=t-1∈(-1,0),可得=m++2,
又因为函数y=m+在(-1,0)内单调递减,
所以m++2<-1,所以2a≥-1,解得a≥-,
即实数a的取值范围是[-,+∞).(共17张PPT)
第13讲
函数y=Asin(ωx+φ)
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,能借助图象理解参数A,ω,φ的意义,了解参数变化对函数图象的影响
三角函数的简单应用
知能构建 强技能
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f= ωx+φ φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
ωx+φ 0 π 2π
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
实战演练 明方向
考向1 集合间的关系
典例1已知曲线C1:y=sin(2x+),C2:y=sin x,则下面结论正确的是(　　)
A.把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C1
B.把C2上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C1
C.把C2上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C1
D.把C2上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C1
C
解析 已知曲线C2:y=sin x,把曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线y=sin 2x,再把曲线y=sin 2x向左平移个单位长度,得到曲线y=sin 2(x+)=sin(2x+),即曲线C1.故选C.
归纳总结三角函数的图象变换是高考与学考的热点.解三角函数的图象变换题目时,要先把异名化为同名,再根据题意确定A,ω,φ,A由纵坐标的伸缩变换决定,ω由横坐标的横向伸缩决定,如把每个点的横坐标变为原来的2倍,则在函数式中,用x代x,若横坐标变为原来的,则用2x代函数式中的x;向左平移m(m>0)个单位长度,则用x+m代函数式中的x,向右平移m个单位长度,则用x-m代函数式中的x,要准确把握图变与式变之间的对应关系.
考向2　 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
典例2(多选)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则y=(　　)
BC
解析 由图象知函数的周期T=2×()=π,即T==π,即ω=2,
因为2×+φ=π,得φ=,
则y=sin(2x+)=cos(-2x-)=cos(-2x-)= cos(2x+) =sin(-2x),故选BC.
归纳总结由图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式,根据最大值或最小值求A;根据最小正周期求出ω;求φ的方法有代点法和平移法两种,代点法即把已知的零点或最值点坐标代入,根据题目给出的φ范围求出φ,需要特别注意的是,当函数零点代入时,函数单调递增时的零点为ωx+φ=2kπ, k∈Z,函数单调递减时的零点应为ωx+φ=(2k+1)π,k∈Z,用平移法求φ,即通过观察函数y=Asin ωx与y=Asin(ωx+φ)的平移关系得到.
考向3　 函数y=Asin(ωx+φ)的定义域与值域
考向4　 函数y=Asin(ωx+φ)的单调性
典例4(多选)(2024浙江大学附中月考)设函数f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π)是R上的奇函数,若f(x)在区间[]上单调递减,则ω的取值可能为(　 )
A.6 B.4 C. D.
ACD
解析 ∵函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是R上的奇函数,∴f(0)=cos φ=0, ∴φ=,∴f(x)=-sin ωx.令z=ωx,则g(z)=-sin z.当ω=6时,x∈[], ∴z=ωx∈[,2π],在[,2π]上g(z)=-sin z单调递减,∴f(x)单调递减,符合题意,故A正确;当ω=4时,x∈[],∴z=ωx∈[π,],在[π,]上g(z)=-sin z单调递增, ∴f(x)单调递增,不符合题意,故B错误;当ω=时,x∈[],∴z=ωx∈[],在[]上g(z)=-sin z单调递减,∴f(x)单调递减,符合题意,故C正确;当ω=时,x∈[],∴z=ωx∈[],在[]上g(z)=-sin z单调递减,∴f(x)单调递减,符合题意,故D正确.故选ACD.
考向5　 函数y=Asin(ωx+φ)的对称性和零点
典例5若将函数f(x)=sin x+cos x的图象向左平移|φ|个单位长度,所得函数图象关于y轴对称,则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
B
解析 由题可得f(x)=sin x+cos x=sin(x+).
将函数f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin(x++φ).
因为所得函数图象关于y轴对称,
故+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),所以φ的最小正值为.故选B.
考向6　 函数y=Asin(ωx+φ)的综合性质
典例6(多选)已知函数f(x)=2sin x+cos 2x,则(　　)
A.f(x)的最小值是-3 B.f(x)的最大值是
C.f(x)在区间(-,0)内存在零点 D.f(x)在区间(,π)内存在零点
AC
解析 f(x)=2sin x+1-2sin2x=-2(sin x-)2+,因为sin x∈[-1,1],故f(x)∈[-3,],故A正确;B错误;当x∈(-,0)时,sin x∈(-,0),f(x)∈(-,10,故f(x)=0在(-,0)内有解,故C正确;当x∈(,π)时,sin x∈(0,1),f(x)∈(1,),故f(x)=0在(,π)内无解,故D错误.故选AC.

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