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课时作业14　平面向量的概念与运算
基础巩固
1.给出下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;②若向量满足||>||,且同向,则;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在正六边形ABCDEF中,设=a,=b,则=(　　)
A.a+2b B.2a+3b
C.2a+b D.a+b
3.在△ABC中,+5=0,则=(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025浙江杭州期中)已知向量a和向量b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,则|a-b|的值为(　　)
A.1 B. C.2 D.
5.在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上.若=x,则x=(　　)
A. B. C. D.
6.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,若,则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.点P在AC边上
B.点P在AB边上或其延长线上
C.点P在△ABC外部
D.点P在△ABC内部
7.(多选)(2024浙江温州新力量联盟开学考试)下列说法正确的有(　　)
A.a·a·a=|a|3
B.λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线
C.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小
D.若平面内有四个点A,B,C,D,则必有
8.设a,b是不共线的两个平面向量,已知=a+kb,=2a-b.若P,Q,R三点共线,则实数k的值为　　　　　　　.
9.如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若=m,则实数m的值为　　　　　　　.
10.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|b-a-c|=　　　　　　　.
11.已知两个非零向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.
(1)若2-3=0,求实数k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.
12.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
(1)求;
(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:=3.
能力提升
13.(2025浙江7月学考)在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=2,CD=3,E,F分别为AD,BC的中点,则=(　　)
A.-5 B.- C. D.13
14.(多选)(2024浙江A9协作体期中)已知a,b,c是平面上三个非零向量,下列说法正确的有(　　)
A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立
B.如果a·b=a·c,那么一定有a⊥(b-c)
C.如果(a-c)⊥(b-c),那么|a-b|=|a+b-2c|
D.如果a(b·c)=(a·b)c,那么a,b,c一定相互平行
15.如图,圆O是半径为1的圆,OA=2,设B,C为圆上的任意两点,则的取值范围是　　　　　.
16.如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且=2,O是线段AD的中点,延长BO交AC于点E,设=λ+μ.
(1)求λ+μ的值;
(2)若△ABC为边长等于2的正三角形,求的值.
参考答案
基础巩固
1.A　解析 ①正确;②两向量不能比较大小,故不正确;③a与b长度相等,但方向不定,故不正确;④规定0与任意向量平行,故不正确.
2.C　解析 在正六边形ABCDEF中,FC∥AB,FC=2AB,则+2=2a+b.故选C.
3.A　解析 因为+5=0,所以)=.故选A.
4.A　解析 |a-b|==1.故选A.
5.C　解析 由题可知).∵点F在BE上,∴=λ+(1-λ),λ∈R.∴=(λ)+(λ).∴λ=,λ=.∴x=.故选C.
6.A　解析 ∵,∴=0,∴2=0,∴=-2,∴P为AC上靠近点C的三等分点.故选A.
7.BCD　解析 对于A,a·a·a=|a|2a,故A错误;对于B,因为λ,μ为非零实数,且λa=μb,所以a与b一定共线,故B正确;对于C,向量不能比较大小,向量的模可比较大小,故C正确;对于D,因为,所以,故D正确.故选BCD.
8.-　解析 因为P,Q,R三点共线,所以=λ,即a+kb=λ(2a-b),所以故k=-.
9.　解析 ∵B,P,N三点共线,∴存在实数λ使得=λ+(1-λ)=λ=m,
∴解得m=.
10.2　解析 由题|a|=1,a+b=c,∴|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2.
11.解 (1)∵2-3=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴=λ,∴=λ(),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴k=-1.
12.(1)解 ∵=2=-,∴=0.
(2)证明 易知(a+b),因为G是△ABO的重心,所以(a+b).由P,G,Q三点共线,得=t,t∈R,即=t(),即=t+(1-t),∴a+b=mta+(1-t)nb.由a,b不共线得=3.
能力提升
13.C　解析 由题意=0,=0,
),
所以)·()
=
=·()
=.
故选C.
14.BC　解析 当b,c不是共线向量时,一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立,故A不正确;由a·b=a·c a·b-a·c=0 a·(b-c)=0 a⊥(b-c),故B正确;(a-c)⊥(b-c) (a-c)·(b-c)=0 a·b-a·c-c·b+c2=0,|a-b|2-|a+b-2c|2=(a-b)2-[(a-c)+(b-c)]2=-2(a·b-a·c-c·b+c2)=0,故C正确;当a·b=b·c=0时,显然a(b·c)=(a·b)c成立,但是a,b,c不一定互相平行,故D不正确.故选BC.
15.[-2,6]　解析 若D为BC的中点,设的夹角为θ,如图,
=()·=||||cos∠OCB-||||cos θ=|2-2||cos θ.
又||∈[0,2],由cos θ≤1,得|2-2||cos θ≥|2-2||=-2,
当||=2时,取最小值-2;
由cos θ≥-1,得|2-2||cos θ≤|2+2||=-2,
当||=2时,取最大值6.
综上,的取值范围是[-2,6].
16.解 (1)∵O为AD的中点,=2,
∴)=-.
又=λ+μ,故λ=-,μ=,λ+μ=-.
(2)(方法1)设=t,t∈R,
∵O为AD的中点,=2,
∴)=)=.
∵B,O,E三点共线,∴=1,得t=4.
故-=-.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴=-·
=
=|||cos|||cos
=×22××22×
=.
(方法2)设=t,t∈R,易知t≠0.
=
=
=-+.
又由(1)知=-为非零的共线向量,∴,得t=4,
∴=-.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴=-·
=
=|||cos|||cos
=×22××22×
=.(共19张PPT)
第14讲
平面向量的概念与运算
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
平面向量的实际背景 能够从多角度理解向量概念和运算法则
平面向量的几何表示和基本要素
平面向量加法、减法、数乘的运算规则和几何意义
平面向量共线的含义及应用
知能构建 强技能
1.向量的有关概念及其表示
名称 定义 表示
向量 既有大小又有方向的量 用a,b,c,…或,…表示
向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模) ||
零向量 长度为0的向量 0
单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为±
平行 向量 方向相同或相反的非零向量(也叫做共线向量) a∥b
相等 向量 长度相等且方向相同的向量 a=b
相反 向量 长度相等且方向相反的向量 a的相反向量为-a
注意:
(1)0与任一向量共线;
(2)两向量只有相等或不等,不能比较大小.
向量的 运算 加法 减法 数乘 数量积
代数 形式 - λa a·b=|a||b|·cos
几何 法则 平行四边形法则、三角形法则 三角形法则 平移和伸缩 —
坐标 形式 a±b=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2) ka=k(x1,y1) =(kx1,ky1) a·b=x1x2+y1y2
运算 法则 交换律、结合律 交换律、结 合律、分配律
乘法 公式 (a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2
2.向量的运算
特别提醒(1)两非零向量a=,b=,则a与b的夹角为∠AOB,其范围是[0,π].
(2)数量积是一个实数.
(3)零向量与任一向量的数量积为零.
实战演练 明方向
考向1　 平面向量的基本概念
BD
考向2　 平面向量的线性运算
典例2 (多选) 如图,O是正六边形ABCDEF的中心,则下列说法正确的有
(　　)
A.
B.=3
C.
D.上的投影向量为
CD
B
归纳总结向量的线性运算可结合几何图形和向量的加法、减法的几何意义(平行四边形法则和三角形法则)进行,向量的数乘常与线段的比例相互转化.
考向3　 平面向量的数量积
典例4(2024浙江7月学考)向量a,b是两个单位向量,夹角为,则a·(a-b)=
　　　　.
解析 由向量a,b是两个单位向量,夹角为,可得|a|=|b|=1,a·b=,
则a·(a-b)=a2-a·b=1-.
考向4　 向量的共线定理的应用
典例5 在△ABC中,=2,若P为CD上一点,且满足=m,则m=(　　)
A. B.
C. D.
A
解析 ∵=2,∴,
∴=m=m.
∵C,P,D三点共线,∴m+=1,∴m=.故选A.
归纳总结向量的共线定理有两种形式:一是数乘向量的形式,二是共起点向量的三点共线形式.注意不同场合的应用,分清向量共线和三点共线的区别.

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