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课时作业16　向量与几何
基础巩固
1.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.在△ABC中,A=90°,=(2-k,2),=(2,3),则k的值是(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
3.如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论错误的是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025浙江阶段练习)已知向量a,b满足a·(a-2b)=0,则b在a上的投影向量为(　　)
A.-2a B.a
C.-a D.2a
5.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
6.(2024浙江杭州高二开学考试)已知向量a=(),b=(),若(a+λb)∥(μa+b),λ,μ∈R,则(　　)
A.λμ=1 B.λμ=-1
C.λ+μ=-1 D.λ+μ=1
7.(多选)已知a,b是单位向量,则下列说法正确的有(　　)
A.若a=(-,t),则t=
B.若a,b不共线,则(a+b)⊥(a-b)
C.若|a-b|≥,则a,b夹角的最小值是
D.若a,b的夹角是,则b在a上的投影向量是a
8.(多选)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则下列说法正确的有(　　)
A.= B.a⊥(e1-e2)
C.a=(e1+e2) D.|a|=
9.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|a+b|=　　　　　.
10.(2025浙江宁波期末)已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=a+λb,若a⊥c,则λ=　　　　　.
11.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=ta+b(t∈R).
(1)若向量a,b的夹角为,且b⊥c,求t的值;
(2)若|c|的最小值为,求向量a,b的夹角.
12.在平面四边形ABCD中,向量a==(4,1),b==(3,-1),c==(-1,-2).
(1)若向量a+2b与向量b-kc垂直,求实数k的值;
(2)若=m+n,求实数m,n.
能力提升
13.(2025浙江7月学考)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,F为AB上靠近点B的三等分点,E为BC上的中点,连接DF,AE交于点M,则cos∠EMF=(　　)
A. B.-
C. D.-
14.(多选)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(λ,-1),λ∈R,μ∈R,则下列说法正确的有(　　)
A.若λ=1,则a+2b在c上的投影向量为-c
B.与b共线的单位向量的坐标为()
C.若a=tb+c,t∈R,则λ+t=-4
D.|a+μb|的最小值为
15.已知△ABC内接于圆O,且AB=4,AC=2,则=　　　　　;若,则圆O的半径等于　　　　　.
16.在菱形ABCD中,,记=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若,求cos A的值.
参考答案
基础巩固
1.D　解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.
2.A　解析 ∵A=90°,即AB⊥AC,∴=4-2k+6=0,解得k=5.故选A.
3.D　解析 由,知A正确;由),得),知B正确;由,知C正确;由N为线段DC的中点,得,知D错误.
4.B　解析 设向量a,b的夹角为θ,因为a·(a-2b)=a2-2a·b=0,可得a·b=a2,
所以b在a的投影向量为a=a.
故选B.
5.C　解析 |a+b|=,解得cos=,=60°.故选C.
6.A　解析 a+λb=()+λ()=(λ,λ),
μa+b=μ()+()=(μ,μ),由(a+λb)∥(μa+b),
则(λ)(μ)=(μ)(λ),
化简得λμ=1.故选A.
7.BC　解析 对于A,因为向量a是单位向量,所以|a|==1,得t=±,故A错误;对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确;对于C,|a-b|=,得cos≤-,则∈[,π],所以a,b夹角的最小值是,故C正确;对于D,b在a上的投影向量是|b|cosa=-a,故D错误.故选BC.
8.BCD　解析 因为e1,e2是单位向量,且e1·e2=,所以e1·e2=|e1||e2|cos=cos=,因为∈[0,π],所以=,故A错误;因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确;设a=me1+ne2,m,n∈R,因为a·e1=a·e2=1,所以解得m=n=,所以a=(e1+e2),故C正确;因为|e1+e2|=,所以|a|=|e1+e2|=,故D正确.故选BCD.
9.　解析 ∵|a+b|2=4+2×(-1)+1=3,∴|a+b|=.
10.-　解析 ∵a=(1,2),b=(2,0),
∴c=a+λb=(2λ+1,2).
∵a⊥c,∴a·c=2λ+1+4=0,解得λ=-.
11.解 (1)因为b⊥c,所以b·c=b·(ta+b)=0,
即ta·b+b2=0,所以t|a||b|cos+|b|2=0,
代入|a|=1,|b|=2得t+4=0,故t=-4.
(2)设a,b的夹角为θ,由c=ta+b得|c|2=(ta+b)2=t2a2+2ta·b+b2=t2+4cos θ·t+4=(t+2cos θ)2+4-4cos2θ,故当t=-2cos θ时,|c|2有最小值4-4cos2θ.由题意4-4cos2θ=3,解得cos θ=±,又θ∈[0,π],所以θ=.
12.解 (1)∵向量a+2b与向量b-kc垂直,
∴(a+2b)·(b-kc)=0.
∴(10,-1)·(3+k,-1+2k)=0.
∴30+10k+1-2k=0,∴k=-.
(2)∵=(2,-3),∴=(-2,3).
∵=(6,-2),
∴=(-6,2),=(1,2).
∵=m+n,∴(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2),
∴解得
能力提升
13.A　解析 如图,作AG∥DF,AG=DF,则∠EMF=∠GAE=<>,
又=0,则cos∠EMF=cos<>=.故选A.
14.AD　解析 对于A,当λ=1时,c=(1,-1),a+2b=(1,4),(a+2b)·c=1-4=-3,|c|=,∴a+2b在c上的投影向量为=-c,故A正确;对于B,与b共线的单位向量的坐标为=()和-=(-,-),故B错误;对于C,∵a=tb+c,∴(-3,2)=(2t+λ,t-1),∴解得∴λ+t=-6,故C错误;对于D,∵a+μb=(2μ-3,μ+2),∴|a+μb|=,∴|a+μb|的最小值为,故D正确.故选AD.
15.-6　2　解析 ·()=)=(4-16)=-6.由得,,两边平方得,cos∠BOC=-,∴∠BOC=,∴∠BAC=,∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,∴圆O的半径等于2.
16.解 (1)因为,
所以=-b+a.
(2)设菱形ABCD的边长为t.
因为=b-a,所以(b-a)·(b+a)=a·(-b),即b2-a2=-a·b,t2-t2=-t2cos A,解得cos A=.(共17张PPT)
第16讲
向量与几何
数 学
目标导航 建网络
教材核心知识 课标要求
平面向量的数量积 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题
两个向量平行、垂直的关系
平面向量的夹角、模
知能构建 强技能
1.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b λ∈R,使a=λb,或x1y2-x2y1=0; a⊥b a·b=0,或x1x2+y1y2=0.
2.向量的长度与夹角
向量模的性质:|a|2=a·a,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),|a·b|≤|a||b|.
向量a,b的夹角:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos=.
3.三角形四心的向量条件
设△ABC,O是△ABC所在平面上一点,则
(1)=0 O是△ABC的重心;
(2) O为△ABC的垂心;
(3)·()=·()=·()=0 O为△ABC的内心;
(4)||=||=|| O为△ABC的外心.
实战演练 明方向
考向1　 向量的模与夹角
典例1(2024浙江7月学考)若a=(1,-2),b=(2,1),则|a+b|=(　　)
A.10 B. C. D.2
B
解析 因为a=(1,-2),b=(2,1),则a+b=(3,-1),所以|a+b|=.
故选B.
考向2　 投影向量
典例2(2025浙江7月学考)已知向量a,b的夹角θ=60°,且|a|=5,|b|=2,则b在a方向上的投影向量是(　　)
A.b B.a C.b D.a
D
解析 由题意,向量a,b的夹角θ=60°,且|a|=5,|b|=2,所以b在a方向上的投影向量为|b|cos θ·=2×a.故选D.
考向3　 向量与几何
典例3在△ABC中,设=2=2=λ,其中λ∈R.若△DEF和△ABC的重心重合,则λ=(　　)
A. B.1 C. D.2
D
解析 设O为△DEF和△ABC的重心,连接DO并延长交EF于点N,连接AO并延长交BC于点M,如图,所以N是EF的中点,M是BC的中点,所以
)==-=
-)=)=
)=[-)+]=-,可得1=,解得λ=2.故选D.
BCD
典例5已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos=
(　　)
A.- B.- C. D.
D
考向4　 平面向量的综合应用
典例6(多选)若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,a·b=6,则下列说法正确的有
(　　)
A.向量a,b的夹角为45°或135°
B.向量b在向量a上的投影向量为a
C.在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则该平行四边形的面积是6
D.在四边形ABCD中,E是BC的中点,若=a,=b,且,则该四边形是梯形
BCD
故选BCD.

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