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第17讲
正弦定理、余弦定理
数 学
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教材核心知识 课标要求
正弦定理、余弦定理 借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理
正弦定理、余弦定理的简单应用 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题
知能构建 强技能
1.正弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理 正弦定理
内容
变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
sin A=,sin B=,sin C=;a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
2.余弦定理
定理 余弦定理
内容 a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C

推论 cos A=;
cos B=;
cos C=

4.解三角形
(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C.
(5)判断三角形的形状通常利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,根据边的关系或角的关系确定三角形的形状.
(6)在△ABC中,a>b>c A>B>C sin A>sin B>sin C.
实战演练 明方向
考向1　 正弦定理、余弦定理的应用
典例1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2, A=45°,B=60°,则b=___________.
典例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,则角A可以为
(　　)
A. B. C. D.
BC
归纳总结应用正弦定理、余弦定理解三角形,如果角的条件充裕,如已知两角一对边,则选用正弦定理;若边的条件充裕,如已知两边一夹角或两边一对角,或三边或式子中有边的平方,则选用余弦定理,有时需要同时用到两个定理.
考向2　 三角形的多解性
典例3(2024浙江高三阶段练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=,A=,则c=(　　)
A.1 B.2
C.1或2 D.
C
解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即1=3+c2-2c× c2-3c+2=0,
解得c=1或c=2.故选C.
考向3　 判定三角形形状
典例4在△ABC中,已知b2+c2-a2=bc,且2cos Bsin C=sin A,则该三角形的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
C
解析 由b2+c2-a2=bc,得2bccos A=bc,
∴cos A=.又A∈(0,π),∴A=.
∵2cos Bsin C=sin A,∴2ccos B=a,2accos B=a2.
由余弦定理得2accos B=a2+c2-b2,∴c2-b2=0,b=c.
又A=,∴△ABC是等边三角形.故选C.
归纳总结判定三角形的形状有两种方法:(1)化边,通过正弦定理把角的正弦转化为边,统一成边的条件进行推理,从而判定三角形的形状;(2)化角,把边的条件转化成角,用三角形内角和定理转化成两个角的关系.
考向4　 解三角形的综合性问题
3
典例6在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A+acos B=2ccos A.
(1)求角A的值;
(2)已知D在边BC上,且BD=3DC,AD=3,求△ABC的面积的最大值.课时作业17　正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=a,则B=(　　)
A. B.
C. D.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=(　　)
A.1∶1∶4 B.1∶1∶2
C.1∶1∶3 D.1∶1∶
3.(2025浙江7月学考)已知△ABC的三个内角为A,B,C,则“cos C=0”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=(　　)
A. B.
C. D.
5.已知△ABC的三边分别为,且a2+b2=c2,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
6.(多选)(2024浙江杭州六县九校期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有(　　)
A.若A>B,则cos AB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解
C.若cos Acos Bcos C>0,则△ABC为锐角三角形
D.若a-c·cos B=a·cos C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
7.(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有(　　)
A.若A=60°,a=,则△ABC外接圆的半径等于1
B.若cos2,则此三角形为直角三角形
C.若a=3,b=4,B=,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cos A+cos B
8.(2025浙江温州期末)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,sin C=,a=1,则c=　　　　　.
9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C=　　　　　;当BC=1时,△ABC的面积等于　　　　　.
10.在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是　　　　　.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.
(1)求cos A的值;
(2)若a=5,求b的值.
12.(2024新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求角B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
能力提升
13.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos A.若λsin A-cos(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,]
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
14.(多选)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos C=,则下列选项正确的有(　　)
A.b>a B.∈(1,2)
C.C=2A D.tan C>
15.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为　 .
16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
参考答案
基础巩固
1.D
2.D　解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶.
3.A　解析 若cos C=0,在△ABC中,0°反之,若△ABC是直角三角形,只有当c为斜边时,才满足cos C=0.
所以“cos C=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件.
故选A.
4.C　解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,=-,即cos C=-.
因为05.A　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,C为最大角.
因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.
在△ABC中,由余弦定理得cos C=>0,所以C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A.
6.ACD　解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减,
∴cos A对于B,由正弦定理可得,∴sin B=>1,此时△ABC无解,故B错误.
对于C,∵cos Acos Bcos C>0,A,B,C为三角形的内角,
∴可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确.
对于D,∵a-c·cos B=a·cos C,∴由正弦定理可得sin A=sin Acos C+sin Ccos B,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,
因此sin Bcos C+sin Ccos B=sin Acos C+sin Ccos B sin Bcos C=sin Acos C,
∴bcos C=acos C,
∴(b-a)cos C=0,
∴b=a或cos C=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.
故选ACD.
7.ABD　解析 设△ABC外接圆的半径为R,
根据正弦定理,2R==2,所以R=1,
则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.
cos2,
所以2sin C+2cos Asin C=2sin B+2sin C,
所以cos Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0,
在三角形中,sin A>0,所以cos C=0,所以C=,则此三角形为直角三角形,故B正确.
因为a=3,b=4,B=,所以asin B=,所以asin B因为△ABC是锐角三角形,所以0所以0<-Bcos A+cos B,故D正确.故选ABD.
8.　解析 根据正弦定理可知,,即,解得c=.
9.-　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0,
∴cos C==-.
当BC=1时,AC=,∴△ABC的面积S=×1×sin C=.
10.　解析 由面积公式得absin C=(a2+b2-c2),
即sin C=,
所以sin C=cos C,tan C=.
因为C∈(0,),所以C=.
24(bc-a)=btan B变形得到c=.
因为B∈(0,),所以tan B>0.
由基本不等式得c=≥2,当且仅当且tan B>0,即tan B=2时,等号成立.
11.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,
可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=bc,
即a2=b2+c2-bc,即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A=.
(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sin A=,在△ABC中,由正弦定理可得,所以b==7.
12.解 (1)∵a2+b2-c2=ab,
∴cos C=.
又C∈(0,π),∴C=.
∵sin C=cos B,即sincos B,
即cos B,解得cos B=.
又B∈(0,π),∴B=.
(2)由(1)知B=,C=,
∵,
即,∴b=c.
又sin A=sin(π-B-C)=sin(π-)=sin()=sincos+cossin,
△ABC的面积为3+,
∴bcsin A=c2·=3+,
∴c2=8,∴c=2.
能力提升
13.B　解析 因为c-b=2bcos A,所以sin C-sin B=2sin Bcos A,
即sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,sin Acos B-sin B=sin Bcos A,sin Acos B-sin Bcos A=sin B,即sin(A-B)=sin B.
又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈(-),所以A-B=B,A=2B.
C=π-A-B=π-3B,所以cos(C-B)=cos(π-4B)=-cos 4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.
因为所以λsin A-cos(C-B)<2恒成立,
即λsin 2B-(2sin22B-1)<2 -2sin22B+λsin 2B+1<2 2sin22B-λsin 2B+1>0恒成立,其中B∈().
因为B∈(),所以2B∈(),sin 2B∈(,1).
设t=sin 2B,t∈(,1),则有2t2-λt+1>0在(,1)内恒成立,则有λ<2t+对t∈(,1)恒成立.
又当t∈(,1)时,2t+,所以λ≤.
故选B.
14.ACD　解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴cos C=>0,即,可得b>a,故A正确.
由正弦定理可知,2cos C=-1,即2sin Acos C+sin A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin A=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,
∴C-A=A,即C=2A,故C正确.
由C知,解得∴∴∵=2cos A,而∴2cos A∈(),故B错误.故选ACD.
15.　解析 由题意易知∴△ABC的面积S=b2sin A=b2·,当且仅当b2=,即b=时,等号成立.
16.解 (1)由题得2=2,即sin=1.
又A+,所以A+,即A=.
(2)因为bsin C=csin 2B,
所以由正弦定理可得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B,
又sin B≠0,sin C≠0,所以cos B=.
又0由正弦定理得,则b=2,c=,
所以△ABC的周长为a+b+c=2++3.

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