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2026届高中毕业班3月适应性测试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D.
3. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知随机变量，且，则（ ）
A 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
5. 已知长方形中，，，点是的中点，则（ ）
A. 12 B. 14 C. 20 D. 24
6. 已知一个圆柱与一个圆台高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期是 B. 在区间上是增函数
C. 是偶函数 D. 是图象的一个对称中心
8. 已知双曲线（，）上下焦点分别是，，过点作渐近线的垂线，交双曲线下支于点M，且，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据依次为：12，16，16，4，0，2，2，10，12，16，关于这一组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 极差是16 B. 平均数是9
C. 第70百分位数是12 D. 方差是270
10. 已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（ ）
A. 若，则 B.
C. D. （是直线l的倾斜角）
11. 已知函数，（）都是奇函数，且为单调函数，若对任意，都有（m为常数），.则（ ）
A. B. 在上是增函数
C. D. 是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，x的系数是______．
13. 已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______．
14. 若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角B及的值；
（2）若，求面积．
16. 已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
17. 如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18. 近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号．
（1）按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望；
（2）若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率；
（3）若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？
19. 已知椭圆（）的离心率为，曲线（是正实数）与椭圆交于M，N两个不同的点，点是线段MN的中点，曲线与y轴交于点P，直线l为曲线在点P处的切线．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，直线l与交于两点A，B，当时，求面积的最小值；
（3）记直线MN的斜率为k，证明：，且．
参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】ABD
【12题答案】
【答案】7
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1），；
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）分布列为：
0 1 2 3
期望为
（2） （3）6人
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析

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