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1.3 直角三角形
(课时1)
第一章 三角形的证明及其应用
北师大版(2024)
素养目标
2.熟练掌握直角三角形的性质定理及判定定理，并能进行相关计算和证明；
1.探索并证明直角三角形的性质定理及判定定理；
3.结合具体事例理解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，能识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
新知导入
我们曾经探索过直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.
请你证明这一结论.
C
B
A
定理
归纳总结
直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：在△ABC中，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.
C
B
A
探究新知
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形.
请你证明这一结论.
C
B
A
归纳总结
定理
有两个角互余的三角形是直角三角形.
符号语言：在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
探究新知
a
b
c
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
即 a2 ＋ b2 ＝ c2
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理.
探究新知
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝ a，AC ＝ b，AB＝ c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正形 AHIB，ACDE，CBFG.
连接 EB，CH.
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°＋∠CAB，AB ＝ AH，
∴△EAB≌△CAH (SAS).
又∵S正方形 ACDE＝ 2S△EAB，S长方形AHNM ＝ 2S△CAH，
∴b2 ＝ S长方形AHNM，
同理 a2 ＝ S长方形MNIB.
∴c2 ＝ a2 + b2.
M
N
探究新知
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.
你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？
探究新知
已知：如图，在△ABC 中，满足 AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC 是直角三角形．
A
B
C
分析：要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？
借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？
探究新知
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2，
∴BC2=B′C′2.
∴ BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形.
C
A
B
C ′
A′
B′
归纳总结
定理
如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：在△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
探究新知
①定理 直角三角形的两个锐角互余.
②定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件.
条件
直角三角形
有两个角互余的三角形
结论
两个锐角互余
直角三角形
探究新知
①定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
②定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第一个定理的条件和结论分别是第二个定理的结论和条件.
条件
直角三角形
a2＋b2=c2
结论
a2＋b2=c2
直角三角形
探究新知
观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系.
归纳总结
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；
如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
探究新知
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？
写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个数相等.
它们都是真命题吗？
原命题为真命题，逆命题为假命题
【注意】原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
归纳总结
逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
例如：直角三角形的两个锐角互余与有两个角互余的三角形是直角三角形互为逆定理.
勾股定理及其逆定理.
注意：命题都有逆命题，但定理不一定都有逆定理.
A
C
B
D
C
小结
直角三角形
判定定理
性质定理
逆命题与互逆命题
逆定理
勾股定理
直角三角形的两个锐角互余
勾股定理的逆定理
有两个角互余的三角形是直角三角形
谢谢同学们的聆听

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