资源简介

2026 届高三四校联考数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B C A B C
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的部分得分.
9 10 11
BD ACD ABD
11. 解析：若 在曲线上，则 也在曲线上，故曲线关于 x 轴对称，A 正确；
，曲线内部包含圆 ，B 正确；
令 ，则 ，C 错误；
在 上单调递增，且 ，从而由 知 。
由 ，从而 ，故
，D 正确。
第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置.
12. 1 13. 80 14. （-1，0）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）设公差为 ， ， ，两式相减得 ，从而 。 ……2 分
，代入 得 ，解得 ，从而 。 ……4 分
故 ， . ……6 分
（2）由（1）得 ， ，
故 ， ……9 分
则 ，
故 . ……13 分
16. 【详解】（1）记甲,乙,丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件 ，记甲,乙,丙三幅中恰有一幅作
品通过设计图案环节为事件 ，
则 ． ……4 分
（2） ． ……8 分
（3）记甲,乙,丙三幅作品成为成品的事件分别为 ，
则 ，
由 可取 ， ……9 分（不写不扣分）
则 ， ……10 分
， ……11 分
， ……12 分
， ……13 分
则 的分布列为
0 1 2 3
……14 分
则数学期望 ． ……15 分
17.【详解】（1）由题意， ，从而 ， ……2 分
，解得 ， 所以抛物线 的方程为 . ……4 分
（2）由题意知，直线 的斜率存在且不为 0，设为 ，则 的方程为 ．
由 ，得 ……6 分
（不写不扣分）
设 则 是上述方程的两个实根，于是 ． ……7 分
因为 ，所以 的斜率为 ．
设 则同理可得 ……8 分
故 ……10 分
……14 分
当 时等号成立，故 的最小值为 64. ……15 分
18【. 详解】(1)由题意可知 两两垂直, 以C为原点 所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系 ……1 分
， ，
……2 分
设平面 的法向量为
令 则 ，取
取平面 的一个法向量 ……4 分
……5 分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . ……6 分
(2)（i）法 1：连接 ,过点 作 的垂线交圆 于点 Q， 则线段 BQ 就是点 P 的轨迹 ……8
分
理由如下：
平面 ， 平面 ， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， ……10 分（不证
明扣 2 分）
圆 O 半径为 2，△OBC 为正三角形，由垂径定理可得，线段 BQ 长度为 ……11 分
（另法：平面 平面 ，交线 OC，由面面垂直性质定理，得到 ，则 ）
法 2：设 ,则 ,
由 得 ……9 分
圆心 O 到直线 的 距离 为 1，所以
所以动点 轨迹形状为线段，长度为 . ……11 分
（ii）取 中点 ,连接 ,则有 平面
PM 为 EP 在平面 上的射影，所以 ， ……13 分
在 中, ， ……15 分
所以 EP= ……17 分
19.【详解】（1） ，由题意得 ，解得 ……3 分
（2）
因为 ,所以 ,故 ， ……4 分
若 ,则 恒成立，所以 在 上单调递增，无极值点； ……5
分
若 ,则 恒成立,所以 在 上单调递减，无极值点； ……6 分
若 ,由 得 ，在 上, 单调递减,存在唯一的 ，使得
，当 时, ,当 时, , 所以
在 ( )上 单调递增,在（ ）上单调递减，有一个极值点； ……8 分
综上，当 或 时， 在 上无极值点；当 时， 在 上有一个
极值点. （不写综上所述，不扣分）
（3） ,令 是关于 的二次函数，
对称轴为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增. ……11 分
问题可转化为证明 ，即证 ……12 分
令 ，则 ， ……13 分
令 ，则 ， ……14 分
所以 在 上单调递减，且 ， ……15 分
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ……16 分
所以 ，即 ，证毕. ……17 分

展开更多......

收起↑