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北师大版（2024）八年级下 第1章 三角形的证明及其应用 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．（2026 西山区校级模拟）如果一个n边形的内角和比外角和多为900°，那么n的值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．若等腰三角形的两边长分别是2和4，则它周长是（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．9或10
3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AD=3cm,DE=1cm,则AC的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
5．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，若BC=5，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7.5 D．10
6．如图所示，有一个正多边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则该正多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，点D为△ABC右侧一点，连接AD、CD，∠B=∠ACB，∠ACD=∠D，若AB=4，CD=1，则△ACD的周长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三条中线的交点 D．以上都不是
9．（2026 沛县一模）如图，小明从点A出发前进15m到达A1，然后向右转20°；再前进15m到达A2，然后又向右转20° ，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（　　）
A．270m B．285m C．300m D．360m
10．如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD=4，AB=10，则△ABD的面积是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
12．如图，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，且AB∥CD，CE平分∠ACB交BD于点E，连接AD．下列结论：
①；
②∠BEC=90°+∠ABD；
③∠CAB=∠CBA；
④∠ADB+∠ABC=90°．
其中正确的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．实数a、b满足，则以a,b为边的等腰三角形的周长为______．
14．如图，∠1的度数为______．
15．如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=52°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE=______度．
16．如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边AC，DF的延长线交于点H，边BC，EF延长线交于点G，测得∠G=126°，∠H=84°，则∠A+∠B+∠D+∠E的值为______°．
17．如图，在△ABC和△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=5，BC=10，，BE=，0°＜∠ABD＜90°，连接AD，AE，CE，则△AEC面积的最小值为______，当△AEC的面积最小时，AD的长为______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，DE与AB相交于点O，且DE∥BC，BM平分∠ABC，且OM⊥AB．
（1）若∠MOE=24°，求∠MBA的度数；
（2）画∠BOD的平分线ON，ON与BM有怎样的位置关系？为什么？
19．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE=EC=CD，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）若EF=2，求DF的长．
20．如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF．求证：
（1）CP平分∠ACF；
（2）∠ABC+2∠APC=180°．
21．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区A，马路边有两处公交站B，C，AB，AC为两条到达公交站的人行道，且AB=BC．现为了便于市民出行，取消点B处的公交站，准备新建一个公交站点D，并修一条人行道AD．已知AC=km,AD=km,CD=1km.（B，D，C在一条直线上）
（1）AD是否为从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道？请通过计算说明；
（2）求原来的人行道AB的长．
22．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，则Rt△ABC ______“钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 ______（填A或B或C）．若不是，请说明理由．
（3）在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
北师大版（2024）八年级下 第1章 三角形的证明及其应用 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、B 8、A 9、A 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、7或8； 14、100°； 15、26； 16、210； 17、5；；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∵∠MOE=24°，
∴∠BOE=∠BOM+∠MOE=114°，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BOE=180°，
∴∠ABC=66°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA=∠ABC=33°；
（2）ON∥BM，理由如下：
过O点作∠BOD的平分线ON，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠ABC，
∵BM平分∠ABC，ON平分∠BOD，
∴∠ABC=2∠ABM，∠BOD=2∠BON，
∴∠ABM=∠BON，
∴ON∥BM．
19、（1）证明：如图，连接BE，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AE=EC，
∴BE⊥AC，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EC=CD，
∴∠D=∠CED，
∵∠ACD是△CDE的一个外角，
∴∠ACD=∠D+∠CED，
∴∠D=∠CED=30°，
∴∠BFD=180°-∠ABC-∠D=90°，
∴DF⊥AB；
（2）解：∵∠BFD=90°，∠ABE=30°，EF=2，
∴BE=2EF=4，
∵∠CBE=∠D=30°，
∴DE=BE=4，
∴DF=EF+DE=6．
20、证明：（1）作PQ⊥AC于点Q，
∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，
∴PM=PN，PM=PQ，
∴PN=PQ，
∴点P在∠ACF的平分线上，
∴CP平分∠ACF．
（2）∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF，
∴∠PAC=∠EAC=（180°-∠BAC），∠PCA=∠ACF=（180°-∠BCA），
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-（180°-∠BAC）-（180°-∠BCA）=（∠BAC+∠BCA），
∴2∠APC=∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∴∠ABC+2∠APC=180°．
21、解：（1）AD是从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道；理由如下：
在△ADC中，AC=km,AD=km,CD=1km,
∵，，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∴AD是为从小区A到马路边的公交站D处的最近人行道；
（2）设AB=BC=x千米，则BD=（x-1）千米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，
∴，
解得：，
∴千米，
答：原来的人行道AB的长为千米．
22、（1）证明：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=36°．
∵∠A=∠ACD=36°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠A=∠ACD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=72°，
∴∠B=∠BDC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴△ABC是“钻石三角形”．
（2）解：是，
理由：如图，取AC的中点D连接BD，
∵∠ABC=90°，
∴BD=CD=AD，
∴△BCD和△ABD是等腰三角形，
∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B．
故答案为：是，B；
（3）解：如图a,
当AD=CD，
∴∠ACD=∠A=20°，
∴∠CDB=40°，
∴①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；
②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；
③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；
如图b,
当AC=AE，CE=BE时，
∵∠A=20°，
∴∠ACE=∠AEC=80°，
∴∠B=∠BCE=40°，
如图c,
当AC=CE，CE=BE时，
∵∠A=20°，
∴∠AEC=∠A=20°，
∴∠B=10°，
综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．

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