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北师大版（2024）七年级下 第4章 三角形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．三角形的重心是三角形（　　）的交点．
A．三条高 B．三条中线
C．三条角平分线 D．三条边的垂直平分线
2．如图，△ABC≌△DEF，BC=7，EC=4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
3．如图，BD、CE是△ABC的两条中线，若，，则△ABC的周长是（　　）
A．45 B．35 C．26 D．22
4．如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AE∥BF，AE=BF．若AC=2，CD=3，则AB的长度是（　　）
A．5 B．7 C．8 D．10
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠B=∠C B．∠1=∠2 C．BD=CD D．AD=BC
6．如图，已知∠1=∠2，用“AAS”证△ABC≌△ABD，还需（　　）
A．BC=BD B．AC=AD C．∠C=∠D D．∠ABC=∠ABD
7．用直尺和圆规作∠MPN=∠AOB的过程中，弧③是（　　）
A．以P为圆心，以OD长为半径画弧
B．以E为圆心，以OD长为半径画弧
C．以E为圆心，以EP长为半径画弧
D．以E为圆心，以CD长为半径画弧
8．如图，用尺规作∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．平面上任意一点到边长为的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．8
10．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，∠BAD=15°，∠AFE=60°，若，则EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
11．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题（共5小题）
13．在△ABC中，AB=5，AC=4，则∠B______∠C．（填“＞”、“＜”或“=”）
14．如图，在△ABC中，D是AC上的一点，连接BD，在BD的延长线上取一点E，使得CB=CE，若AB=4，CD=5，当△ABD是等边三角形时，则BE的长是______．
15．如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC=2CE，则∠E的大小为 ______．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高．
（1）若∠ECF=α，则∠CAB=______（用含α的代数式表示）；
（2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ______s时，CF=AB．
17．如图，在边长为9的等边三角形ABC中，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC-CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动．设运动时间为t秒．
（1）若∠BPQ=30°，则t=______；
（2）若△APQ为等边三角形，则t=______．
三．解答题（共5小题）
18．已知AE=DF，CE=BF，AB=CD．
（1）求证：△ACE≌△DBF；
（2）∠ACE=35°，求∠BHC的度数．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交CA的延长线于点F．点H是BC的中点，连接AH．求证：
（1）AH∥EF；
（2）AF=AD．
20．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，则Rt△ABC ______“钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 ______（填A或B或C）．若不是，请说明理由．
（3）在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
21．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有______个，以点O为交点的“8字型”有______个；
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
22．【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将△ABC中∠ACB 的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ABC的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程．
已知：如图2，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD=∠A+∠B．
证明：过点C作CE∥AB
…
【结论应用】如图3，在△ABC中，∠B=28°，点E在BC上，DE∥AC交AB于点F，∠BFD=125°，求∠C的度数；
【应用拓展】如图4，直线AB与直线CD相交于点O，夹角α为锐角，点E在直线AB上且在点O上方运动，点F在直线CD上运动（不与点E、O重合）．当α=68°时，FH平分∠EFD，EG平分∠BEF交直线FH于点G，则∠G的度数为______．
北师大版（2024）七年级下 第4章 三角形 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、D 8、D 9、A 10、B 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、＜； 14、13； 15、30°； 16、α；2或5； 17、1.8秒；6秒；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△ACE与△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SSS）．
（2）解：∵△ACE≌△DBF，∠ACE=35°，
∴∠ACE=∠DBF=35°，
∴∠BHC=180°-∠ACE-∠DBF=110°．
19、证明；（1）∵AB=AC，点H是BC的中点，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠FEB=90°=∠AHB，
∴AH∥EF；
（2）∵AH∥EF，
∴∠F=∠CAH，∠ADF=∠BAH，
∵AB=AC，点H是BC的中点，
∴∠CAH=∠BAH，
∴∠F=∠ADF，
∴AF=AD．
20、（1）证明：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=36°．
∵∠A=∠ACD=36°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠A=∠ACD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=72°，
∴∠B=∠BDC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴△ABC是“钻石三角形”．
（2）解：是，
理由：如图，取AC的中点D连接BD，
∵∠ABC=90°，
∴BD=CD=AD，
∴△BCD和△ABD是等腰三角形，
∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B．
故答案为：是，B；
（3）解：如图a,
当AD=CD，
∴∠ACD=∠A=20°，
∴∠CDB=40°，
∴①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；
②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；
③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；
如图b,
当AC=AE，CE=BE时，
∵∠A=20°，
∴∠ACE=∠AEC=80°，
∴∠B=∠BCE=40°，
如图c,
当AC=CE，CE=BE时，
∵∠A=20°，
∴∠AEC=∠A=20°，
∴∠B=10°，
综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°．
21、解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∵∠B=100°，∠C=120°，
∴∠P=（∠B+∠C）=（100°+120°）=110°；
③3∠P=∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，
∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，
以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=（∠CDB-∠CAB），
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=（∠CDB-∠CAB）．
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B．
∴3∠P=∠B+2∠C．
22、【结论证明】证明：如图2，过点C作CE∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB+180°，∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠1+∠2=∠A+∠B，
∵∠ACD=∠1+∠2，
∴∠ACD=∠A+∠B；
【结论应用】解：如图3，∵∠B=28°，∠BFD=125°，∠BFD=∠B+∠BEF，
∴∠BEF=∠BFD-∠B=125°-28°=97°．
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BEF=97°；
【应用拓展】解：如图4，设∠G=x,∠GEF=y,
∵α=68°，
∴∠EOF=180°-68°=112°．
∵FH平分∠EFD，EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠GEF=2y,∠EFD=2∠EFH．
∵∠EFD=∠EOF+∠BEF=112°+2y,∠EFH=∠G+∠GEF=x+y,
∴112°+2y=2（x+y），
解得x=56°，即∠G=56°；
如图5（当点F在直线AB的左侧）：
∵α=68°，∴∠EOF=68°．
∵FH平分∠EFD，EG平分∠BEF，
∴∠EFD=2∠2，∠BEF=2∠1．
在△EOF中，∠EFD+∠BEF+∠EOF=180°，
∴2∠2+2∠1+68°=180°，
∴∠1+∠2=56°．
在△EFG中，∠1+∠2+∠EGF=180°，
∴∠EGF=180°-（∠1+∠2）=180°-56°=124°．
综上，∠EGF=56°或124°．
故答案为：56°或124°．

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