资源简介

2026 年延安中学高二 3 月月考
一、填空题(每小题 3 分，共 36 分)
1. 抛物线 的准线方程为_____
2. 直线 的倾斜角的大小为_____.
3. 已知球的表面积为 ，则该球的体积为_____.
4. 直线 与直线 的夹角的大小为_____
5. 如图，正方体 中， 为 的中点， 为正方形 的中心，则直线 与侧面 所成角的正切值是_____.
6. 已知函数 ，则 _____.
7. 直线 被圆 截得的弦长等于_____
8. 若 ,则
9. 已知倾斜角为 的直线 与曲线 相切于点 ,则点 的横坐标为_____
10. 如图所示,(直径为 4 的球放地面上,球上方有一点光源 ,则球在地面上的投影为以球与地面切点 为一个焦点的椭圆,已知是 椭圆的长轴, 垂直于地面且与球相切, ，则椭圆的离心率为_____.
11. 是双曲线 的左、右焦点,过 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于 两点,若 ,则双曲线的离心率为_____
12. 已知实数 满足 ,则 的最小值为_____.
二、选择题(每小题 3 分，共 12 分)
13. 下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
14. ( ”是直线 与直线 平行的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 函数 ( )
A. 严格增函数
B. 在 上是严格增函数,在 上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在 上是严格减函数,在 上是严格增函数
16. 设 为曲线 上的任意一点,记 到 的准线的距离为 . 若关于点集 和 ,给出如下结论:
①任意 ， 中总有 2 个元素；②存在 ，使得 . 其中正确的是( )
A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立
三、解答题(共 52 分)
17. 已知函数 ;
(1)若函数 在 处取得极小值 -4，求实数 的值；
(2)写出当 时函数 的单调区间;
18. 如图,在直三棱柱 中,已知 .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求二面角 的大小.
19. 已知函数 ;
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)函数 (其中 )是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在, 说明理由;
20. 如图的封闭图形的边缘由抛物线 和垂直于抛物线对称轴的线段 组成; 已知 ,抛物线的顶点到线段 所在直线的距离为 2 ;
(1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘;
(2)在该封闭图形上截取一个矩形 ，其中点 在线段 上，点 在抛物线 上； 已知圆柱以 为母线、矩形 为其展开的侧面,求该圆柱的体积的最大值;
(3)求证:抛物线 的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上；
21. 已知 是焦距为 的双曲线 上一点，过 的一条直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ,且 ,过 作互相垂直的两条直线 与 ,与 轴分别交于 两点,其中 与 轴交点的横坐标是 ;
(1)若双曲线 的虚轴长为 4，求该双曲线的方程；
(2)求证: 为定值，并写出该定值；
(3)判断以 为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由；
1.
对照抛物线的标准方程 ,
得抛物线 中, ,所以 .
所以抛物线 的准线方程为 .
2.
,
所以直线 的斜率为 ,故其倾斜角的大小为 .
3.
设球体的半径为 ,根据已知有: ,解得 ,所以球体体积为:
故答案为: .
4. arc tan 2
设直线 与直线 的夹角为 ,
方法一:根据两直线夹角的余弦公式，可得 .
所以直线 与直线 的夹角为 .
方法二: 设直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 .
由 ,得 ,所以直线 的斜率为 ,即 ;
由 ,得 ,所以直线 的斜率为 -1,即 .
直线 与直线 的夹角为 .
5.
如图所示,连接 ,
在正方体 中,可得 平面 ,
所以 即为 与平面 所成的角,
设正方体 的棱长为 2,则 ,
在直角 中, .
故答案为: .
6.
函数 .
所以 .
所以 .
7.
圆 的圆心为 ,半径 .
圆心 到直线 的距离 .
故直线 被圆 截得的弦长等于 .
8. 12
因为 ,所以
所以 ,即 .
9.
由 ,得 .
设 ,则 .
得 .
10.
如图,是球 的一个截面,圆 分别与 相切于点 ,
因为 ,球的半径为 2,所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 是椭圆的长轴长,所以 ,所以 ,
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知,
球 与 相切的切点 为椭圆的一个焦点,
所以 ,所以 ,
所以离心率 .
故答案为: .
11.
解: ,不妨令 ,
,
又由双曲线的定义得: ,
.
,
.
在 中, ,
.
双曲线的离心率 .
故答案为: .
12.
,
设 ,则点 在曲线 上, 在直线 上,
设曲线 上切线斜率为 1 的切点为 ,
,当 时, ,此时函数 递增,当 时, ,函数 递减,故当 时, ,
直线 在曲线 上方,由 ,即 ,
记 ,显然 在 上是增函数,而 是 的唯一解.
,点 到直线 的距离为 ,
的最小值为 .
13. C
因为 是常数,所以 ,所以 错误;
因为 ,所以 错误;
因为 ,所以 正确;
因为 ,所以 错误.
14. C
由直线 与直线 平行的充要条件是 ,即 ,即 解得 .
所以 “ ” 是直线 与直线 平行的充要条件.
15. D
解: 已知 ,则 ,
令 ,即 ,解得 ,
当 时, ,所以在 上是严格减函数,
当 时, ,所以在 上是严格增函数,
故选: D.
16. B
曲线 的焦点 ,
则 ,
由 得,点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,
的圆心 ,
当点 在原点处时, ,此时 ,
此时点 的轨迹方程为 ,
因为 ,所以点 在圆 外,
则存在 ,使得两圆相离,即 ,
故①错误，②正确.
故选: B.
17.
(2) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
(1)函数 的定义域为 ,
由题可得 ,即 ,所以 ,
当 时, ,
当 或 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 处取得极小值,所以 ;
又极小值为 -4 , 所以 ,所以 ,
所以 .
(2)函数 的定义域为 ，
当 时, 的两根为 ,且 ,
所以当 或 时, ; 当 时, ,
所以 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
18.
1)因为 ,三棱柱 是直三棱柱，所以 ,从而 是四棱锥 的高
四棱锥 的体积为
(2)如图建立空间直角坐标系
则
设 的中点为 平面 ,即 是平面 的一个法向量
设平面 的一个法向量是
令 ,解得
设法向量 与 的夹角为 ,二面角 的大小为 ,显然 为锐角
二面角 的大小为
19. (1)
(2)若 ,函数 无极值点; 若 ,函数 的(1) 由 ,知 .
所以 .
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
(2)函数 ，其定义域为 .
所以 .
若 恒成立,所以 恒成立,所以函数 在 上单调递增, 无极值点;
若 ,
因为 ,所以 ,
所以当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以函数 在 处取得极小值,其极小值点为 ,无极大值点.
综上,若 ,函数 无极值点; 若 ,函数 的极小值点为 ，无极大值点.
20.(1)如图,以抛物线 的顶点为坐标原点,抛物线的对称轴所在直线为 轴建立坐标系,则抛物线的顶点为 .
设抛物线 的标准方程为 ,
则 ,所以 ,所以抛物线 的方程为 .
所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为 ,线段 部分的方程为 .
(2)由题意,设 .
设题中圆柱的底面半径为 ,则 ,所以 ,
所以该圆柱的底面面积为 ,
所以该圆柱的体积为 .
令 ,则 .
因为 ,所以 ,
所以当 时， ；当 时， .
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
所以 在 处取得极大值,即最大值,最大值为
即该圆柱的体积的最大值为 .
(3)当 时，抛物线 的切线为 轴,没有与其垂直的切线.
所以可设抛物线 上的点 ,且抛物线 在 处的切线互相垂直.
由 ,得 ,所以 .
所以抛物线 在 处的切线方程分别为 .
且 ,所以 ,代入 ,
得 ,化简得 ①.
由 ,得 ②.
联立①②式，消去 ，可得 ，即 .
因为 所以 .
所以抛物线 的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线 上.
21.(1)设双曲线 的焦距为 ,则 .
若双曲线 的虚轴长为 4,则 .
所以 .
所以该双曲线的方程为 .
(2)双曲线 的焦距为 ，则 ， .
所以 .
由 ,得 ,即 .
双曲线 的渐近线方程为 ,
则 或 .
所以 或 .
又点 在双曲线 上,所以 ,
化简得 ,所以 .
故 .
即 为定值,该定值为 9 .
(3)由题可知， 斜率均存在，且不为零.
所以 ,即 ,所以 .
,所以 .
由点 在双曲线 上,所以 ,得 .
所以 .
设 是以 为直径的圆上任意一点,由 ,得 , 即 .
因为点 是动点,所以 是变量,所以要使 ,
须使 ,
所以 ,所以 .
即以 为直径的圆过定点,定点为 .

展开更多......

收起↑