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2025-2026 年(下学期)云南省开远市第一中学 高二年级 3 月月考·数学
(考试时间: 120 分钟 满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，则 ( )
A. B. 3 C. D. 7
4. 若函数 的导函数 为偶函数，则 的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
5. 现将中国古典长篇小说四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》全部分给甲、 乙、丙 3 位同学阅读, 每人至少 1 本，则分配方法共( )
A. 18 种 B. 24 种 C. 30 种 D. 36 种
6. 甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为( )
A. 144 B. 120 C. 240 D. 576
7. 已知 均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 定义域为 ,且 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则 ()
A. 是 的极大值点
B. 有且仅有三个零点
C. 当且仅当 时有
D. 点 是曲线 的对称中心
10. 函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A. 是 的一条对称轴
B. 在 上单调递增
C. 在 上的最小值为
D. 向右平移 个单位后为一个偶函数
11. 已知 分别为椭圆 的左、右焦点, 为右顶点， 为 的中点， 为 上任意一点，则( )
A. 椭圆 的离心率为
B. 存在点 ,使得
C. 的最大值为 6
D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知点 在以 为焦点的抛物线 上，若 ，则 _____.
13. 若不等式 成立,则 _____.
14. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 为边 的中点， ，且
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 如图,在四棱锥 中,四边形 为等腰梯形, , 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知数列 中， .
(1)证明:数列 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 为数列 的前 项和，证明: .
19. 设 为坐标原点,直线 过抛物线 的焦点,且与 交于 两点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的面积；
(3)若 为 的准线，证明:以 为直径的圆与 相切.
1. C
根据交集含义知 .
故选: C.
2. B
由 ,得 .
故选: B.
3. C
向量 、 满足 ， ，且 、 的夹角为 ，
所以 ,
所以 .
故选: C.
4. D
对于选项 为奇函数, 错误;
对于选项 为非奇非偶函数, 错误;
对于选项 ,且 ,
则 不是偶函数, 错误;
对于选项 为偶函数, 正确.
故选: D.
5. D
根据题意, 分 2 步进行分析:
① 将 4 本名著分为 3 组，有 种分法;
② 将分好的三组分给甲乙丙三人，有 种情况，
则有 种分配方法;
故选: D.
6. A
由捆绑法可得甲、乙、丙、丁站在一起的排法数为: .
故选: A.
7. D
选项 A: ,
,两边相等, 正确.
选项 B: ,两边相等, 正确.
选项 C: 这是组合数的杨辉恒等式,直接成立, 正确.
选项 D: ,取 ,
左边 ,右边 左右两边显然不相等,等式不成立, D 错误.
故选: D
8.
由条件得 在 上递增. 由 得 , 则 或 .
故选: B.
9. BCD
对于 的定义域为
令 得 或 ,令 得 ,
在 单调递增,在 单调递增,在 单调递减,
是 的极小值点,故 A 错误;
对于 ,由 可知 是 的极大值点,
,
又 ,
当 时, ,当 时, ,
的图象如图所示,由图可知 有三个零点,故 正确;
对于 ,由 可知 ,
又 ,结合图象可知故当且仅当 时有 ,故 正确;
对于
,
关于点 成中心对称, 正确;
故选: BCD
10. BD
由图知: ,则 ,
,所以 ,则 ,
即 .
因为 ,所以 ,即 .
因为 ,得 ,所以 ,
对于选项 时, ,又因为函数 不关于 对称,
所以 不是 的对称轴,故 A 错误;
对于选项 ,当 时, ,因为函数 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,故 正确;
对于选项 ,当 时, ,最小值为 ,故 错误;
对于选项 ,又因为 ,
所以 是偶函数,故 向右平移 个单位后为一个偶函数,故 正确.
故选: BD.
11. ACD
对于 ,由题知 ,所以椭圆 的离心率为 ,故 正确;
对于 ,设上顶点为 ,即 ,所以 ,
所以不存在点 ,使得 ,故 错误;
对于 ,设 ,由题知 ,所以 ,
所以 ,
所以当 时, ,故 正确;
对于 ,
由 选项得 ,
所以当 时, 取得最大值 20 ,
当 时, 取得最小值 ,
所以 的取值范围为 ,故 正确.
故选: ACD.
12. 3
由抛物线 ,则 ,
由抛物线的定义可得, ,即 .
故答案为: 3 .
13. 6
,解得:
又 ,即
故答案为: 6
14.
由 得 ,
故曲线 在 处的切线方程为 ;
由 得 ,
设切线与曲线 相切的切点为 ,
由两曲线有公切线得 ,解得 ,则切点为 ,
切线方程为 ,
根据两切线重合,所以 ,解得 .
故答案为:
15.
(2)
(1)由正弦定理， ，
由余弦定理, ,
所以 ,即 ,解得 .
(2)设 ，
因为 ，所以 ，
解得 ,
在 中， ，
联立方程得 ,解得 ,
所以 ，
16. (1) 是函数 的极小值点;
(2) .
(1)当 时,函数 的定义域为 ,求导得 ,
由 ,得 ,当 时, ; 当 时, , 所以 是函数 的极小值点.
(2)当 时，不等式 , 设 ,依题意, ,
求导得 ,由 ,得 ; 由 ,得 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, ,则 ,
所以实数 的取值范围是 .
17.(1)因为 为等腰梯形,且 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 , 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 ;
(2)由(1)可知， 、 为等腰直角三角形，
由 ，可得 ，
又 两两垂直,以 为原点,建立如图坐标系 ,
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 ,
取 ,则 ,
同理,平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
则 ,
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) ， ，即 ， 是以 为首项,2 为公差的等差数列.
(2)由(1)得， ，
.
(3)由(2)得， ,
,
,且 随着 的增大而减小,
,当 时, ,
.
19.(1) 直线 过点 ,
所以抛物线 的焦点 ,
所以 ,
所以抛物线 的方程为 .
(2)设 ， ，
由 ,消去 并化简得 ,
解得 ,
所以 ,
到直线 的距离为 ,
所以三角形 的面积为 .
(3)
设 的中点为 ,且 到直线 的距离分别为 ,
因为 ,
即 到直线 的距离等于 的一半,
所以以 为直径的圆与直线 相切.

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