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西安市第八十五中学 2025-2026 学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题
一、单选题(每小题 5 分，共 30 分)
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 在 的展开式中, 的系数为( )
A. -63 B. -126 C. 126 D. 63
4. 已知随机变量 的分布列为 ,则 等于( )
A. B. C. D.
5. 已知随机变量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 离散型随机变量 的分布列如下:
1 2 3 4
0.3 0.2
若 ,则下列结论错误的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题(每小题 5 分，共 15 分，全部选对的得 5 分，部分选对得部分分， 有选错的得 0 分)
7. 下列函数是奇函数且在 上单调递减的是( )
A. B. C. D.
8. 在下列关于二项式的命题中,正确的是 ( )
A. 若二项式 的展开式中,第 3 项的二项式系数最大,则
B. 若 ,则
C. 在 的展开式中,常数项为 60
D. 的展开式中, 的系数为 5
9. 甲箱中有 3 个红球和 2 个白球, 乙箱中有 2 个红球和 2 个白球 (两箱中的球除颜色外没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件 和 表示从甲箱中取出的球是红球和白球; 再从乙箱中随机取出两球,用事件 表示从乙箱中取出的两球都是红球,则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
10. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有_____种(用数字作答).
11. 函数 在 上的最大值是_____.
12. 给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成 ， ， ， 四个区域，现有红，黄、蓝、 绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有_____种.
四、解答题(本题共 4 小题, 共 40 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算
步骤)
13. 已知平面向量 ，且 .
(1)求 的值；
(2)求向量 与 夹角的余弦值.
14. 如图,在四棱锥 中, 底面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求四棱锥 的体积.
15. 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占 60%，女会员占 40%. 现对会员进行服务质量满意度调查. 根据调查结果得知,男会员对服务质量满意的概率为 ,女会员对服务质量满意的概率为 .
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
(2)从会员中随机抽取 3 人，记抽取的 3 人中，对服务质量满意的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
16. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位:小时)，从这批次电池中随机抽取 50 组进行测试, 把测得数据进行适当分组后 (每组为左闭右开的区间), 画出频率分布直方图如图所示.
(1)求 的值；
(2)从抽取的 50 组电池中任取 2 组，求恰有 1 组电池续航时间不少于 35 小时的概率；
(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取 2 组，设 为续航时间不少于 35 小时的电池组的数量,求 的分布列及数学期望.
1. C
因为 , 所以 .
故选: C.
2. C
因为 ,所以 .
故选: C.
3. C
展开式的通项公式为 , 令 ,则 ,因此 的系数为 .
4. B
由 ,则 ,解得 , 则 .
故选: B
5. C
由 知 ,可知 ,故 ,故 成立; 反之,若 ,则 ,故为充要条件,
故选: C.
6. D
由题设 ,则 , A 对;
由 ,则 ,联立 ,
所以 ,则 , D 错;
, B 对;
对.
故选: D
7. AD
是奇函数, 非奇非偶函数,
在 单调递减, 在 单调递增, 在 上单调递减, 在 单调递减,
故既是奇函数,又在 单调递减的函数有 和 ,
故选: AD
8.
对于 ,由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大,故
当 为偶数时,最中间项只有一项,又第 3 项的二项式系数最大,故共为 5 项,
所以 ,解得 ,
当 为奇数时,中间项有二项,又第 3 项的二项式系数最大,
所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或,
此时 或 ,解得 或 ,故 A 错误;
对于 ,令 ,可得 ,
令 ,可得 ,所以 ,故 正确;
对于 二项式的展开式的通项公式为
令 ,解得 ,所以第 5 项为常数项且常数项为 ,故 正确;
对于 展开式中 的系数为 ,故 正确.
故选: BCD.
9. ABD
依题意可得 ,
所以 ,故 A 正确、B 正确、C 错误;
,故 D 正确.
故选: ABD
10. 64
(1)当从 8 门课中选修 2 门，则不同的选课方案共有 种;
(2)当从 8 门课中选修 3 门，
①若体育类选修课 1 门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课 2 门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述: 不同的选课方案共有 种.
故答案为: 64 .
11. 2
,当 时, , 当 时,即 时, .
故答案为: 2
12. 84
由题意可知: 四个区域最少涂两种颜色, 最多涂四种颜色, 所以分以下三类: 当涂两种颜色时: 和 相同, 和 相同,共有 种涂色方法;
当涂三种颜色时: 分 和 相同和 不同两种情况,此时共有 种涂色方法;
当涂四种颜色时: 四个区域各涂一种,此时共有 种涂色方法.
综上,不同的涂色方法有 种.
故答案为: 84
13.
(2)
(1)由 整理得 ，又 ，
代入得 ，解得 ，
则 ;
(2)因为 ，
又 , 所以 .
14.( 1 )因为 底面 ， 平面 ，所以可得 ，
而 ,且 平面 平面
所以 平面 .
(2)设底面 的面积为 ，则 ， 又因 ,所以 ,
根据四棱锥的体积公式 ,由题意知 ,
所以 ,
所以四棱锥 的体积为 10 .
15( 1 )记事件 :会员为男会员， :会员为女会员，事件 :对服务质量满意， 则由题可知, , 所以 ;
(2)由题设及(1)知: 服从 分布，
0 1 2 3
164 9 64 27 64 27 64
所以: .
16. (1)根据频率之和等于 1 可得,
,解得 .
(2)由频率分布图可知,电池续航时间不少于 35 小时的频率等于 ,
所以电池续航时间不少于 35 小时的电池有 组,
电池续航时间少于 35 小时的电池有 组,
所以从抽取的 50 组电池中任取 2 组,
恰有 1 组电池续航时间不少于 35 小时的概率为 .
(3)由(2)知，每次抽到电池续航时间不少于 35 小时的概率等于
由题可知,随机变量 服从二项分布,所以 ,
所以 所有可能的取值有0,1,2,
所以 ,
所以 的分布列如下,
0 1 2
9 100
所以 的数学期望为 .

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