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6．1.3 共面向量定理
一、 单项选择题
1．已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　)
A. 一定共线
B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面
D. 一定不共面
2．已知点Q在△ABC所在平面内，若对于空间中任意一点P都有＝m－2＋，则m等于(　　)
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
3．如图，已知多面体A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC上的一点，若AB1∥平面DBC1，则点D在AC上的位置是(　　)
A. D是AC的中点
B. 点D与点A重合
C. 点D与点C重合
D. D是AC上靠近点C的三等分点
4．已知A，B，C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足＝x＋＋，则当点P，A，B，C共面时，实数x的值为(　　)
A. － B. － C. D.
5．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，＝＋x＋y(x，y>0)，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为(　　)
A. B. C. 1 D. 2
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是CC1上靠近点C的三等分点，点N满足＝t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7．下列说法中，正确的是(　　)
A. “|a|－|b|＝|a＋b|”是“a，b共线”的充分且不必要条件
B. 若，共线，则AB∥CD
C. A，B，C三点不共线，对空间中任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D. 若P，A，B，C为空间四点，且＝λ＋μ(，不共线)，则“λ＋μ＝1”是“A，B，C三点共线”的充要条件
8．空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有(　　)
A. ＝2＋3
B. ＝3－－
C. ∥
D. ＝＋3－5
三、 填空题
9．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系为____________．
10．平面α内有A，B，C，D，E五个点，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＝________，y＝________．
11．已知正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，则||的最小值为________．
四、 解答题
12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中点，O是面对角线BC1与B1C的交点，试用向量法证明OE∥平面ABCD.
13．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：BD∥平面EFGH；
(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋).
参考答案
1. C
2. A　
3. A　
4. A　
5. B　
6. C　
7. ACD　
8. ACD　
9. AB 平面CDE或AB∥平面CDE　由＝λ＋μ(λ，μ∈R)及共面向量定理可知，向量与向量，共面，即直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行．
10. 　　
11. 　
12. 因为＝＋＋，＝(＋)＝(＋)，
所以＝－＋＋(＋)＝＋，
所以向量与，共面．
又EO不在平面ABCD内，AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以OE∥平面ABCD.
13. (1) 因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
所以＝＝，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为＝2，且BD 平面EFGH，FG 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3) 由＝，得四边形EFGH是平行四边形，
所以＋＝0.
因为＋＝2，＋＝2，
所以＋＋＋＝0，
即－＋－＋－＋－＝0，
所以＝(＋＋＋).

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