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6．1.2　空间向量的数量积
一、 单项选择题
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，若线段AC1＝，则∠DAA1等于(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
2．已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－3c)·(3a＋b＋c)等于(　　)
A. 2 B. －2 C. 16 D. －16
3．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝4，cos 〈a，b〉＝，则|c|等于(　　)
A. 3 B.
C. D. 21
4．设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则·的值为(　　)
A. － B. －1
C. D. 1
5．已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，且向量b在向量a上的投影向量为a，则a与b的夹角为(　　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
6．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值是(　　)
A. B.
C. － D. 0
二、 多项选择题
7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列结论中正确的是(　　)
A. (＋＋)2＝3||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与向量的夹角是60°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|(·)|
8．如图，在棱长为3的正四面体PABC中，O为△ABC的中心，D为PA的中点，＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝＋＋
B. ||＝
C. ·＝6
D. ·＝3
三、 填空题
9．若空间非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________．
10 (2025保定开学考试)在棱长为6的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，则·＝________．
11．已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则·的最大值为________．
四、 解答题
12．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为2，且两两夹角均为60°.求：
(1) BD1的长；
(2) 与夹角的余弦值．
13．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.
(1) 确定在平面ABC上的投影向量，并求·；
(2) 确定在直线AB上的投影向量，并求·.
参考答案
1. C　
2. D　
3. C　
4. B　
5. C　
6. D　
7. AB　
8. ABD
9. 60°　
10. －12　
11. 4　
12. (1) 设＝a，＝b，＝c.
由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝2×2×cos 60°＝2.
又＝＋＋＝－a＋c＋b，
所以||2＝(b＋c－a)2＝b2＋c2＋a2＋2b·c－2b·a－2c·a＝4＋4＋4＋4－4－4＝8，
所以||＝2，
即BD1的长为2.
(2) 因为＝＋＝a＋b，
所以||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，所以||＝2.
又·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝a·b＋a·c－a2＋b2＋b·c－a·b＝4，
所以cos 〈，〉＝＝＝，
即与夹角的余弦值为.
13. (1) 因为PA⊥平面ABC，
所以即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，BC⊥AB，AB＝a，
所以·＝·＝||2＝a2.
(2) 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以在直线AB上的投影向量为，
所以·＝·＝||2＝a2.

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