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2026年广东省华附、省实、广雅、深中四校高考数学联考试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x-1＜1}，则A∩B=（　　）
A. [-2，2] B. [-2，1） C. （-2，1] D. （1，2）
2.已知数列{an}是等差数列，若s、t、p∈N*，则“2at=as+ap”是“2t=s+p”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（　　）
A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13%
4.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（　　）
A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种
5.任意一个复数z=a+bi（a,b∈R）都可以表示成三角形式，即a+bi=r（cosθ+isinθ）（θ∈R，r≥0）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，已知复数，则z2026=（　　）
A. B. C. D. -1
6.设动直线l：mx-y-2m+3=0（m∈R）交圆C：（x-4）2+（y-5）2=12于A，B两点（点C为圆心），当∠ACB最小时其余弦值为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数f（x）=ex-2m,g（x）=x2-mx,若过点（m,0）的直线与曲线y=f（x）和y=g（x）均相切，则实数m的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
8.已知数列{an}满足，则关于{an}说法正确的是（　　）
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知二项式（其中a∈R）的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9，则下列说法正确的是（　　）
A. n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素
B. 若当n取最大值时常数项为30，则
C. 若当n取最小值时函数的图象在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a=-1
10.已知O为坐标原点，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，过抛物线C2：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并分别延长交椭圆C1于M，N两点，则下列结论正确的是（　　）
A. 椭圆C1的方程为
B. 若，则|AB|=4
C. 若直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则
D. |OM|2+|ON|2=5
11.在棱长为a的正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB和CD（包括端点）的动点，直线PQ与平面ABC、平面ABD所成角分别为α，β，则（　　）
A. 点Q到平面ABC和平面ABD的距离之和是定值
B. sinα-sinβ的正负由点Q位置确定，与点P位置无关
C. sinα+sinβ的最大值为
D. 正四面体顶点在球O的球面上，当时，则过点Q截球O的截面面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______．
13.已知函数，若f（x）在区间上的值域为，则实数m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）的定义域为，且满足，，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，已知a=6，.
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC的中点，且，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4，B为底面圆周上异于A，C的任一点.
（1）若劣弧中点为E（如图1），过点E作出平面α⊥平面BCC1，请说明平面α的作法，并证明平面α⊥平面BCC1；
（2）现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直的距离.当B为半圆弧AC的中点（如图2）所示，设平面A1AB∩平面C，CB=l,Q∈l,求异面直线CQ与A1l距离的最大值.
17.(本小题15分)
某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球.
取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个
奖金 300元 200元 100元
（I）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；
（Ⅱ）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件Ai，设“第j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件Bj.
（i）求P（A1B3）和P（A2|B3）；
（ii）求第n（n≥2）位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率.
18.(本小题17分)
已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F到其渐近线的距离等于.
（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M.
（i）求证：⊙M恒过某个定点，并求出此定点的坐标；
（ii）是否存在某个定圆与⊙M相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-asinx（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）在区间（0，π）内的零点个数；
（2）若 a∈[0，1]，使得对 x∈（1，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若方程f（x-1）=（x+1）lnx-2ax（a＞0）有两个不相等的实根x1，x2，求证：.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】连接O1E，EO2，O1O2，平面EO1O2即为所求作的平面α，
证明：∵在圆台O1O2中，O1O2⊥平面CBA，BC 平面CBA，∴O1O2⊥BC，
∵E为劣弧中点，O2E为圆O2的半径，∴O2E⊥BC，
又∵O1O2∩O2E=O2，O1O2，O2E 平面O1O2E∴BC⊥平面O1O2E，
又∵BC 平面BCC1，
∴平面O1O2E⊥平面BCC1，
即α⊥平面BCC1
17.【答案】（Ⅰ）150元；
（Ⅱ）（i）；
（ii）．
18.【答案】 （i）证明：F（2，0），当过点F的直线l斜率不为0时，设为x=2+ty，
联立x=2+ty与得3（2+ty）2-y2=3，
整理可得（3t2-1）y2+12ty+9=0，
要想直线l与双曲线C交于A、B两点，
需满足，解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
所以，
所以，
=
=，
故以AB为直径的圆的圆心为，半径为，
所以⊙M方程为，
由对称性可知，⊙M过的定点应在x轴上，
故中，
令y=0得，
解得x=-1或，
故⊙M与x轴交点为-1，0，，
当直线l斜率为0时，直线l为y=0，
此时A，B的坐标分别为（±1，0），则⊙M方程为x2+y2=1，⊙M经过点（-1，0），
综上，⊙M恒过某个定点，此定点的坐标为（-1，0）；
（ii）当直线AB斜率为0时，⊙M方程为x2+y2=1，
当直线AB的斜率不存在时，AB方程为x=2，
中，令x=2得y=±3，
故设A（2，3），B（2，-3），故⊙M的圆心为（2，0），半径为3，
所以⊙M方程为（x-2）2+y2=9由对称性可知，与⊙M相切的定圆方程为⊙N：（x-3）2+y2=4，
下面进行证明，由（i）知，⊙M圆心为，半径为，
故两圆圆心距为，
当3t2-1＞0，即或时，
⊙M与⊙N的半径之和为，此时⊙M与⊙N外切，
当3t2-1＜0，即时，
⊙M与⊙N的半径之差为，此时⊙M与⊙N内切，
故存在某个定圆与⊙M相切，此定圆的方程为（x-3）2+y2=4
19.【答案】当a≤1时，f（x）在区间（0，π）内的零点个数为0；当a＞1时，f（x）在区间（0，π）内的零点个数为1 证明：方程f（x-1）=（x+1）lnx-2ax，
代入有xlnx-asin（x-1）=（x+1）lnx-2ax，
即2ax-asin（x-1）=lnx有两个不相等的实根x1，x2，
不妨设x1＜x2，则有2a（x1-x2）-a[sin（x1-1）-sin（x2-1）]=lnx1-lnx2，
构造函数g（x）=sin（x-1）-x，则g′（x）=cos（x-1）-1≤0，
所以g（x）在R上单调递减，
故g（x1）＞g（x2），得sin（x1-1）-sin（x2-1）＞x1-x2，
lnx1-lnx2＜2a（x1-x2）-a（x1-x2）=a（x1-x2），即，
下证，
令，则只要证，
设，则，
故当t＞1时，F（t）单调递增，故F（t）＞F（1）=0，则，
故，
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