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2026年陕西省商洛市高考数学一模试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设集合A={1，2，4}，B={x|x2∈A}，则A∩B=（　　）
A. {1} B. {1，2} C. {1，4} D. {1，2，4}
2.若复数z满足，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.已知椭圆，则“m=6”是“C的离心率为”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（　　）（lg11≈1.04）
A. 15个月 B. 25个月 C. 35个月 D. 45个月
5.在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.记抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（2p4，t）（t＞0）为E上一点且满足，则PF的斜率为（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为T，若对任意的x∈R恒成立，且f（x）在区间上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
8.在四棱锥P-ABCD中，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB∥CD，AB=6，CD=8，.若点P，A，B，C，D均在球O的表面上，则当四棱锥P-ABCD的体积最大时，球O的表面积为（　　）
A. 25π B. 85π C. 100π D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.有一组样本数据x1，x2， ，x8，其平均数为4，方差为，中位数为m.在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n,方差为s2，极差为t,则（　　）
A. m=n B. t＜4 C. D.
10.已知函数f（x）=x（x-2）（x-1）2，则（　　）
A. 曲线y=f（x）关于直线x=1对称
B. f（x）的极大值为0
C. 存在x∈（-1，0），f（x）≥f（x-1）
D. f（x）有最小值，无最大值
11.已知集合P={（x,y）|（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4，0≤θ≤π}.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，集合P与y轴的交点自上而下分别为C，A，B，D，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（　　）
A. |CD|=2|AB|
B.
C. 集合P中的点到原点距离的最大值为3
D. 白色“水滴”图形的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（0，1），=（2，x），若与的夹角的余弦值为，则x= .
13.已知α∈（0，π），且2cos2α-cosα=1，则= .
14.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如an=（n+1） 2n=（-n+1） 2n-（-n） 2n+1，故{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+a=0×21-（-1）×22+（-1）×22-（-2）×23+（-2）×23-（-3）×24+…+（-n+1）×2n-（-n）×2n+1=n×2n+1.已知数列{bn}满足b1=，2n2bn+1=（n+1）2bn（n∈N*），则b6= ；记数列{bn}的前n项和为Tn，则T9-6= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,且3（a+b）2=3c2+8ab.
（1）求tanC；
（2）若c=4，求△ABC的面积的最大值.
16.(本小题15分)
为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1000 200 1200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
（1）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
（2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设X表示4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望.
附：.
α 0.1 0.01 0.001
xα 2.706 6.635 10.828
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥CD，BC⊥CD，E为AD的中点，AP=AD=2，BC=CD=1.
（1）求证：BE⊥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值；
（3）求平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2.
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点，直线PF1与C交于另一点M，直线PF2与C交于另一点N，设，，试判断λ+μ是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）直线y=2x+m与C交于A，B两点，点G在C上，且，其中O为坐标原点，求t的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax+sinx（a∈R）.
（1）若a=1，求证：f（x）＞0；
（2）若a=0，求证：f（x）在（-π，+∞）上恰有两个零点；
（3）若不等式f（x）≥2-cosx对任意的恒成立，求a的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】
-

15.【答案】
16.【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联 （2）X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为1
17.【答案】易知AE=DE=1，
BC=CD=1，AD⊥CD，BC⊥CD，则四边形BCDE是正方形，则BE⊥AD，
PA⊥面ABCD，BE 面ABCD，则BE⊥PA，
PA∩AD=A，PA，AD 面PAD，所以BE⊥面PAD
18.【答案】 是定值， （-∞，-3）∪（-1，0）
19.【答案】证明：若a=1，则f（x）=ex-x+sinx≥ex-x-1，
当且仅当sinx=-1时等号成立，
令g（x）=ex-x-1，所以g′（x）=ex-1，所以当x＜0时，g′（x）＜0，
当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）=0，当且仅当x=0时，等号成立，
又等号不能同时取到，所以f（x）＞0 证明：若a=0，f（x）=ex+sinx，所以f′（x）=ex+cosx，
当x≥0时，ex≥1，cosx≥-1，所以f′（x）=ex+cosx≥0．
当-π＜x＜0时，记p（x）=f′（x）=ex+cosx，因为sinx＜0，因此p′（x）=ex-sinx≥0，
故f′（x）在（-π，0）上单调递增，
又，
所以，使得f′（x0）=0，
所以当-π＜x＜x0时，f′（x）＜0，当x0＜x＜0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-π，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又，
又f（-π）=e-π+sin（-π）=e-π＞0，所以f（x）在（-π，x0）上恰有1个零点；因为f（0）=1＞0，所以f（x）在（x0，0）上恰有1个零点．
综上，f（x）在（-π，+∞）上恰有两个零点 2
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