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21.2.1 平行四边形及其性质（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
2．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
3．如图，四边形中，，则的长为（　　）

A．12 B． C． D．
4．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
二、填空题
6．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是________．
7．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
8．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________．
9．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______．
10．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒．
三、解答题
11．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，
(1)求和之间的距离及和之间的距离．
(2)求平行四边形的面积．
12．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接．
(1)若，，，求的长；
(2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：．
答案与解析
21.2.1 平行四边形及其性质（第2课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、单选题
1．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】C
【解析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合．
解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度．
线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离．
故选：C．
2．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可．
解：分两种情况讨论：
当直线c在直线a和直线b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为；
当a与c分别在b的两侧时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为；
综上，a与c之间的距离为或．
3．如图，四边形中，，则的长为（　　）

A．12 B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离是解题的关键．分别作于E点，于F点，则有，根据含的直角三角形的性质，等腰直角三角形和勾股定理可计算出答案．
解：如图，分别作于E点，于F点，

∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：D．
4．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键．
通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可．
解：直线，
点到直线n的距离不变，故①不符合题意；
，的长度随点的移动而变化，
的周长会随点的移动而变化，故②符合题意；
点P到直线n的距离不变，的大小不变，
的面积不变，故③不符合题意；
的大小随点的移动而变化，故④符合题意；
综上所述，随点P的移动而变化的是②④．
故选C．
5．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
二、填空题
6．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是________．
【答案】4
【解析】本题考查了平行线的距离，熟连掌握平行线间的距离是解题的关键．
根据平行线的距离理解解答即可．
解：∵直线向下平移个单位可与重合，
∴与的距离为，
故答案为：．
7．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而______.（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
【答案】保持不变
【解析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
解：设平行线与之间的距离为，则，
而，
，
在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
8．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且 若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________．
【答案】
【解析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积．
解：过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
9．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为______．
【答案】3
【解析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解．
解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴
，
∴阴影部分面积为3．
故答案为：3．
10．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是__秒．
【答案】或
【解析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。
当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得．
解：当时，如图：
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
由得：，
；
当不平行时，如图：
，
四边形是等腰梯形，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得，
综上所述，为或．
三、解答题
11．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，

(1)求和之间的距离及和之间的距离．
(2)求平行四边形的面积．
【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离
(2)
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高．
（1）根据平行线间的距离求解即可；
（2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案．
解：（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴和之间的距离，和之间的距离；
（2）∵的周长为，
∴，
又，即，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接．
(1)若，，，求的长；
(2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：．
【答案】(1)的长为1
(2)证明见解析
【解析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解；
（2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论．
解：（1）∵在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为1．
（2）证明：连接，
∵， ，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
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