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10.3 乘法公式
第10章 整式的乘法与除法
课时3 公式的综合运用
熟练利用完全平方公式进行计算.
灵活运用平方差与完全平方公式进行混合运算.
01
02
1.平方差公式：
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.
(a+b)(a b)=a2 b2
2.平方差公式的特点：
相同的项为a，异号的项为b.
(1)两个二项式相乘；(2)有一项相同，另一项互为相反数.
右边是相同项的平方减去相反项的平方.
3.完全平方公式
两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的二倍.
(a + b)2=a2+2ab+b2
(a－ b)2= a2-2ab+b2
简记为：
“首平方，尾平方，
积的2倍放中间.”
(1)(2x-3)(2x+3)
(2) (4x+5y)2
运用公式计算：
(4)( x + y + z )2
=(2x)2-32
=4x2-9
=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy+25y2
这种形式的整式能用公式计算吗？
(3)
(1)(x-4)(x+4)-(x-8)(x+2)；
例1.计算：
（2）4(3-x)2+(1-2x)(2x+1)
解：
(1)(x-4)(x+4)-(x-8)(x+2)
＝x2-16-(x2-8x+2x-16)
＝x2-16-(x2-6x-16)
＝x2-16-x2+6x+16
＝6x
（2）4(3-x)2+(1-2x)(2x+1)
＝4(9-6x+x2）+(1-4x2）
＝36-24x+4x2+1-4x2
＝-24x+37
要加括号
试一试：将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：
（1）(a+2b+3)(a+2b-3) （2）(a+2b-3) (a-2b+3)
对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.
探究一 平方差公式的拓展
（1）(a+2b+3)(a+2b-3)
＝〔（a+2b）+3〕〔（a+2b）-3〕
＝（a+2b）2 -32
＝a2+4ab+b2-9
（2）(a+2b-3) (a-2b+3)
＝〔a+(2b-3)〕〔a-(2b-3)〕
=a2-(2b-3)2
=a2-(4b2-12b+9)
=a2-4b2+12b-9
（1）( x + y + z )2 (2）（a-2b+3c)2.
下列各式为能利用完全平方公式计算吗？
对于三项式的多项式的平方，可将其中两项添括号视为一个整体，转化成两项的和或差的平方差的形式，再利用完全平方公式进行计算.
探究二 完全平方公式的拓展
（1）( x + y + z )2
＝〔（x + y）+z〕2
＝（x + y）2+2（x + y）z+z2
=x 2+2xy+ y2+2xz+2yz+z2
(2）（a-2b+3c)2.
＝〔（a -2b) +3c〕2
＝（a -2b）2+2（a -2b）·3c+(3c)2
=a 2-4ab+ 4b2+6ac-12bc+9c2
还有其他解法吗？
乘法公式综合题
例 利用乘法公式计算.
； .
解：

完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　
②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab　
②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2
③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
完全平方公式的变形
平方差公式与完全平方公式
知二求二:
熟练掌握完全平方公式的常见变形
数式的简便计算:
根据数式中数的特点选择乘法公式
完全平方公式变形
简便计算
整式的简便计算:
根据整式中式子的特点选择乘法公式
（1）(x+3)2 - (x+1)(x-3)
（2）(2x+5)(5-2x)-4(2-x)(x-3)
1.计算：
＝(x2+6x+9)-(x2-3x+x-3)
＝x2+6x+9-x2+3x-x+3
＝8x+12
＝(25-4x2)-4(2x-6-x2+3x)
＝25-4x2-8x+24+4x2-12x
＝49-20x
(1)(x-y+1)(x+y-1)；
2.计算：
＝〔x-（y-1）〕〔x+（y-1）〕
＝x2-（y-1）2
＝x2-y2 +2y-1
(2)（2a-3b-c)2.
＝〔（2a -3b）-c〕2
＝（2a -3 b）2-2（2a -3 b）c+c2
=4a 2-12ab+ 9b2-2ac-2bc+c2

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