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4.2平行四边形及其性质(3)
重点提示
(1)平行四边形的对角线互相平分。(2)平行四边形的对角线可以将平行四边形分割成全等三角形，将四边形的问题转化为三角形问题解决。
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1.如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论中,错误的是( )。
A. AB∥CD B. AB=CD
C. AC=BD D. OA=OC
2.如图,在 ABCD中,∠ODA=90°,若AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为( )。
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
3.如图，将 ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，已知点 C(2,1),则点D和点A的坐标是( )。
A. 和(-2,-1)B.(2,-1)和
C.(-2,1)和 D.(-1,-2)和
4.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=20,△AOB的周长为15,则CD= 。
5.如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,AC垂直于BC,且AB=10cm,AD=8cm,则OC= cm。
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为BC边上一点,且CE=2BE。若四边形ABEO的面积为3,则 ABCD的面积为 。
7.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OC,OA的中点。求证:BE=DF。
8.如图，O为 ABCD的对角线AC的中点，过点O的一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E,F在直线MN上,且OE=OF。
(1)图中一共有 组全等三角形。
(2)求证:∠EAM=∠FCN。
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9.如图, ABCD的周长为20cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于点E,则△CDE的周长为( )。
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
10.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在直线的同一平面内，若点B的落点记为B'，则DB'的长为( )。
A. B. C. D.
11.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点O的线段EF与AD,BC分别交于点E,F，如果 那么四边形EFCD的周长为 。
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,动点D在BC上,以AC为对角线的所有 ADCE中,DE的最小值是 。
13.如图,在 ABCD中,对角线AC=8,BD=6,若 则
14.如图1, ABCD的对角线AC和BD交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别交于点E,F。
(1)求证:OE=OF。
(2)如图2,已知
①当α为多少度时,EF⊥AC
②在问题①的基础上，连结AF，求△ADF的周长。
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15.如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;③若MD=2AM,则 ④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等。其中正确结论的个数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
16.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD于点H,若AB=2, 则AH的长为 。
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17.在 ABCD中,E为BC边上一点,F为对角线AC上一点,连结DE,BF,若∠ADE与∠CBF的平分线DG,BG交于AC上一点G,连结EG。
(1)如图1,点B,G,D在同一直线上,若∠CBF=90°,CD=3,EG=2,求CE的长。
(2)如图2,若AG=AB,∠DEG=∠BCD,求证:AD=BF+DE。
4.2平行四边形及其性质(3)
1. C 2. A 3. A 4.5 5.3 6.9
7.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD。
∵E,F分别是OC,OA的中点,
在△OBE和△ODF中,∵
∴△OBE≌△ODF(SAS)。∴BE=DF。
8.(1)4
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD。∴∠OAM=∠OCN。
在△OAM和△OCN中,∵ ∴△OAM≌△OCN(ASA)。∴AM=CN,OM=ON,∠AMO=∠CNO。∴∠AME=∠CNF。
∵OE=OF,∴EM=FN。
在△AEM和△CFN中,∵ ∴△AEM≌△CFN(SAS)。∴∠EAM=∠FCN。
9. C 10. A 11.12 12.3 13.12
14.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB∥CD。∴∠EBO=∠FDO。
又∵∠BOE=∠DOF,
∴△BOE≌△DOF(ASA)。∴OE=OF。
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AD=1,∴AD +OD =OA 。
∴∠ADO=90°,∠AOD=45°。
∵EF⊥AC,∴α=90°-45°=45°。
②∵EF垂直平分AC,∴AF=FC。
又∵ 的周长=AD+DF+AF=AD+CD=1+
15. D 16.2
17.(1)∵∠CBF=90°,BD平分∠CBF,∴∠DBC=∠DBF=45°。∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BG=DG。∴∠ADB=∠DBC=45°。
∵BD平分∠ADE,∴∠BDE=45°=∠DBC。
∴△BDE是等腰直角三角形。
∴BE=DE,∠BED=90°,BD= DE。
∵EG=2,BG=DG,∴DB=4。∴DE=2
在Rt△DEC中,
(2)如图,在AD上截取MD=DE,连结MG。
在△DGM和△DGE中,
∴△DGM≌△DGE(SAS)。
∴∠DEG=∠DMG。
∵∠DEG=∠BCD=∠BAD,
∴∠BAD=∠DMG。
∴AB∥MG。∴∠BAF=∠AGM。
∵AG=AB,∴∠ABG=∠AGB。
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG,∠AGB=∠GBC+∠GCB,
又∵∠FBG=∠GBC,∴∠ABF=∠BCG。
又∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=∠ABF。
在△BAF和△AGM中, ∴△BAF≌△AGM(ASA)。
∴AM=BF。∴AD=AM+DM=BF+DE。

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