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4.2平行四边形及其性质(2)
重点提示
(1)夹在两条平行线之间的平行线段相等。(2)夹在两条平行线之间的垂线段相等，这个垂线段的长度为两条平行线之间的距离，利用两条平行线之间的距离处处相等可实现等积变形。
夯实基础巩固
1.如图,在 ABCD中,若∠A=45°,AD=，则AB与CD之间的距离为 ( )。
A. B. C. D.3
2.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是( )。
A.线段AB的长度 B.线段AB
C.线段CD的长度 D.线段CD
3.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6, ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为( )。
A.24 B.36 C.40 D.48
4.如图,已知AB∥CD,OA,OC分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则AB与CD之间的距离为( )。
A.2 B.4 C.6 D.8
5.如图，E是直线CD上的一点，若 ABCD的面积为52cm ，则△ABE的面积为_____ cm 。
6.如图,直线AB∥CD,GH平分∠CGF,GI平分∠DGF,且HG=15cm,GI=20cm,HI=25cm,则直线AB与直线CD之间的距离是 cm。
7.如图,在 ABCD中,E是DC边上一点,连结AE,BE,已知AE是∠DAB的平分线,BE是∠CBA的平分线。
(1)求证:AE⊥BE。
(2)若AE=3,BE=2,求□ABCD的面积。
能力提升培优
8.如图，直线a∥b∥c，且a，b之间的距离为1，△ABC和△CDE是两块全等的直角三角形纸板,其中∠ABC=∠CDE=90°,∠BAC=∠DCE=30°,它们的顶点都在平行线上,则b,c之间的距离是( )。
A.1 B. C. D.2
9.如图，P为 ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线交平行四边形的边于点E，F，G,H四点。若S□AHPE=3,S□PFCG=5,则S△PBD为( )。
A. 1.5 B.1 C.2.5 D.3
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC═3,∠B═60°,P为BC上一点,且AB=AP,则PD= 。
11.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,AF与BE相交于点G,DF与EC相交于点H，若，S△ABG=16,S△DHC=7,则四边形EGFH的面积为 。
12.如图,点E在 ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE。
(1)求证:△BCE≌△ADF。
(2)设□ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值。
13.如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,AC为对角线,BM∥AC,过点D作DE∥CM,交AC的延长线于点F，交BM的延长线于点E。
(1)求证:△ADF≌△BCM。
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°,AC⊥DC,求四边形ABED的面积(用含a的代数式表示)。
实战演练
14.如图,在 ABCD中,对角线BD=8cm,AE⊥BD,垂足为E,且AE=3cm,BC=4cm,则AD与BC之间的距离为 。
15.如图,在 ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED,若∠EBC=30°,BE=10,则 ABCD的面积为 。
开放应用探究
16.如图1,已知直线m∥n,点A,B在直线n上,点C,P在直线m上。
(1)写出图1中面积相等的各对三角形： 。
(2)如图1，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等。
(3)如图2所示的一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或BC的延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积。
4.2平行四边形及其性质(2)
1. B 2. C 3. D 4. B 5.26 6.12
7.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°。
∵BE,AE分别平分∠ABC和∠BAD,∴∠ABE+∠BAE=90°。
∴∠AEB=90°,即AE⊥BE。
∴S ABCD=2S△ABE=6。
8. C 9. B 10. 11.23
12.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC。
∴∠ABC+∠BAD=180°。
∵AF∥BE,∴∠EBA+∠BAF=180°。
∴∠CBE=∠DAF。同理得∠BCE=∠ADF。在△BCE和△ADF中,∵ ∴△BCE≌△ADF(ASA)。
(2)∵点E在 ABCD内部,∴S△BEC+S△AED= S△ABCD。由(1)知△BCE≌△ADF,∴S△BCE=S△ADF。∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED
∵ ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为
13.(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC。∵AC∥BM,∴∠AFD=∠E。又∵CM∥DE,∴∠BMC=∠E。∴∠BMC=∠AFD。同理∠FAD=∠MBC。∴△ADF≌△BCM。
(2)在△ACD中,∵AC⊥DC,∠ADC=60°,∴CD= BM∥AC,∴四边形CMEF是平行四边形。∴ME=CF。∵△ADF≌△BCM,∴BM=AF。
∴BE=BM+ME=AF+ME= a。
14.6cm 15.50
16.(1)△CAB与△PBA,△BCP与△APC,△ACO与△BPO
(2)△PAB
(3)如图,连结EC,过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，连结EM，线段EM所在的直线即为所求的直线。

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