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专题复习二 第4章平行四边形 巧用中点
与中点有关的知识点：(1)三角形的中线等分三角形的面积。(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(3)三角形的中位线。(4)中心对称等等。当图形中有中点时，要注意联系以上知识点添加合适的辅助线。
夯实基础巩固
1.如图,在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=8,D,E,F分别是相应边上的中点,则四边形DFEB的周长等于( )。
A.8 B.9 C.12 D.13
2.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC中点。若AD═6,DE═5,则CD等于( )。
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图,△ABC的中线BD,CE交于点O,连结OA,G,F分别为OC,OB的中点,BC=8,AO=6,则四边形DEFG的周长为( )。
A.12 B.14 C.16 D.18
4.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD═BC,∠PEF=30°,则∠EPF的度数是( )。
A. 120° B.150° C.135° D.140°
5.如图,在△ABC中,AB=BC=10,BD是∠ABC的平分线,E是AB边的中点,则DE= 。
6.如图,已知△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,CD的中点,连结DE,EF,BF,若四边形BDEF的面积为6,则△ABC的面积为 。
7.如图,AB,CD交于点E,AD=AE,CE=BC,F,G,H分别是DE,BE,AC的中点。求证:
(1)AF⊥DE。
(2)∠HFG=∠FGH。
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8.如图,在 ABCD中,BC:AB=1:2,M为AB的中点,连结MD,MC,则∠DMC等于( )。
A.30° B.60° C.90° D.45°
9.如图,AD为△ABC中∠BAC的外角平分线,BD⊥AD于点D,E为BC中点,DE=5,AC=3,则AB的长为( )。
A.8.5 B.8 C.7.5 D.7
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,N是BC边上一点,M为AB边上的动点,D，E分别为CN，MN的中点，则DE的长的最小值是 。
11.如图，已知边长为6的等边三角形ABC的两顶点A，B分别在直角墙面上滑动，连结OC，则OC的长的最大值是 。
12.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点。
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
(2)如图2，请直接写出线段AB，AC，EF之间的数量关系。
13.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点。
(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长。
(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求证:
考实战演练
14.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F是线段DE上的一点。连结AF,BF,∠AFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是( )。
A.2 B.3 C.4 D.5
15.如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,B为边AN上一动点,连结BC,△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，D，E分别为AC，BC的中点，连结DE并延长，交A'B所在直线于点F，连结A'E。当△A'EF为直角三角形时，AB的长为 。
开放应用探究
16.如图,在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF,过点E,F分别作CA,CB的垂线,相交于点P。求证:∠PAE=∠PBF。
专题复习二 巧用中点
1. B 2. D 3. B 4. A 5.5 6.16
7.(1)∵F为DE中点,AD=AE,
∴AF为△ADE的高,即AF⊥DE。
(2)连结CG。∵CB=CE,G为BE中点,
∴CG⊥BE。∴∠AFC=∠AGC=90°。
又∵H为AC的中点，
∴FH=GH。∴∠HFG=∠FGH。
8. C 9. D 10. 11.3+3
12.(1)∵AE⊥BD,∴∠AED=∠AEB=90°。
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°。
∵∠BAE=∠DAE,∴∠ABE=∠ADE。
∴AB=AD。∵AE⊥BD,∴BE=DE。∵BF=
(2)结论:
理由：如图，延长AC交BE的延长线于点P。
∵AE⊥BP,
∴∠AEP=∠AEB=90°。
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°。
∵∠BAE=∠PAE,∴∠ABE=∠APE。∴AB=AP。∵AE⊥BP,∴BE=PE。∵BF=FC,
13.(1)如图,取BD的中点P,连结EP,FP。
∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=6,CD=8,
∴PE∥AB,且 PF∥CD且
又∵∠ABD=30°,∠BDC=120°,∴∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF=180°-∠BDC=60°。∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°。
在Rt△EPF中，由勾股定理得 即EF=5。
(2)如图,取BD的中点P,连结EP,FP。
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴PE∥AB,且 且
∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC。
∴∠DPF=180°-∠BPF=180°-∠BDC。
∵∠BDC-∠ABD=90°,
∴∠BDC=90°+∠ABD。
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-∠BDC=∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°。
14. B 15.4 或4
16.如图,分别取AP,BP的中点M,N,并连结EM,DM,FN,DN。
根据三角形中位线定理可得： AM,∴∠AMD=∠APB=∠BND。
∵M,N分别为Rt△AEP,Rt△BFP斜边的中点,
∴EM=AM=DN,FN=BN=DM。
∵DE=DF,∴△DEM≌△FDN(SSS)。
∴∠EMD=∠FND。∴∠AME=∠BNF。
∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形。
∴∠PAE=∠PBF。

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