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一次函数、反比例函数——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、函数图象与性质探究
1．（2024·宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
… -1 -2 2 1 …
… -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 …
… -1 -2 -4 4 2 1 …
（1）描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象.
（2）【探究发现】
①将反比例函数的图象向　 　平移　 　个单位长度得到函数的图象.
②上述探究方法运用的数学思想是　 　A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想
（3）【应用延伸】
①将反比例函数的图象先　 　，再　 　得到函数的图象.
②函数图象的对称中心的坐标为　 　.
2．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
3．（2025·巴中）综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是轴上一点，连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作轴的垂线，记，的交点为P．
（1）【操作与发现】
当M为时，点P的坐标为　 　 ；当M为时，点P的坐标为　 　 ．
（2）【猜想与证明】
在轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的　 　 图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）
（3）设点P的坐标是，根据PA与PM的关系，确定、满足的关系式．
（4）【实践与运用】
运用所学知识，要使△为钝角三角形，直接写出的取值范围．
4．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
二、图形与函数
5．（2023·新疆）
（1） 【建立模型】如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
（2） 【类比迁移】如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
（3） 【拓展延伸】如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
6．（2024·广东）【问题背景】
如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点.
（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.
（3）【深入探究】
如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.
三、函数应用
7．（2023·济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或　 　m，　 　m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）如图所示：
（2）左；1；B
（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；（2，-1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，）；
② 由函数的图象可以由函数的图象平移得到 ，可以探究函数的图象 可以由函数的图象平移得到，运用的数学思想是类比思想；
故第1空答案为：左；第2空答案为：1；第3空答案为：B；
（3）由类比可以得出：① 将反比例函数的图象先 右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到 函数的图象.
② 函数图象的对称中心的坐标为 （2，-1）。
故 故第1空答案为：右平移2个单位长度；第2空答案为：向下平移1个单位长度；第3空答案为：（2，-1）。
【分析】（1）根据表格数据，得出平面内的点，根据描点法即可得出函数图象；
（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，），即可得出答案；② 述探究方法运用的数学思想是类比思想；
（3）①由解析式的到，分母＋1，根据表格中的对应值，及函数图象，用类比法可得出答案；
②根据图象的平移规律，可直接比较函数关系式得出答案；
2．【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
3．【答案】（1）；
（2）②
（3）解：由勾股定理可知
∵PA=PM
∴
∴
（4）解：且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：(1)当 时，则直线l1：y=2，直线l2：y轴
∴
当时，则直线l1：y=x，直线l2：x=4
∴
故答案填：，
(2)由对称性可知，当M为 时，点P的坐标为
∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数
故答案填：②
(4)如图
当x=4时，点，此时，四边形AOMP是正方形
当时，可知，则
∴，即为钝角三角形
又由(1)可知当M为 时，点P的坐标为 ，点A、P、M三点共线，不能构成三角形
∴
综上，要使为钝角三角形，x的取值范围为且。
【分析】(1)根据题意分别先求出直线l1和l2的解析式，接着联立两个函数解析式，解方程组就可以求出点P坐标；
(2)利用图象的对称性判断该函数一定是二次函数；
(3)利用线段的垂直平分线的性质，用坐标表示出PA与PM的长度，建立等量关系，从而可以得出y与x之间的函数关系式；
(4)利用钝角三角形的概念，结合特殊值，在坐标系中动态考虑三角形的存在性，难度较大。
4．【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
5．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）解：∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证出即可；
（2）①过点作轴于点，先证出，可得，再求出点A、B的坐标，可得，利用线段的和差求出EO的长，即可到到点C的坐标；
②利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分类讨论：①当点在轴下方时，②当点在轴的上方时， 再分别画出图象并利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。
6．【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，
∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，
∴点A(t，as)，C(s，at)，
∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，
∴，
此时，若x=s，则y=，
故反比例函数经过点C. C
（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，
∵B(1，2)，代入直线，
∴2=a，即直线，
设点D(2m，4m)，
此时点C(2m，2)，A(1，4m)，
即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，
∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠CDB=∠FCE，
在Rt△CFE和Rt△DCB中，
tan∠BDC=tan∠ECF，
∴，即，
∴EF=m，
同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，
在Rt△BFE和Rt△DGE中，
tan∠BEF=tan∠EDG，
∴，即，
∴GE=2，
∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，
解得m=，
∴2m=，即点C(，2)，代入 反比例函数 ，
∴k=.
（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，
∵ 矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，
此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，
∴OM=PM，
在等腰Rt△OMP中，
∵，
∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)
设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，
易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，
∴当03时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大，
即当BD越短或AC越短时，k越大.
①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
又∵BD=2BP，
∴OB=2BP，即OB=，
由勾股定理得，解得a=4，
∴k=a(-a+6)=4×2=8；
②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
同理，OA=AC=2AP，
∵∠APB=90°，
∴∠AOP=30°，OP=，
∴OB=，
由勾股定理，解得a=，
此时k=a(-a+6)==6；
综上所述，6≤k≤8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD，设点代入A表示k，检验C是否在满足该关系式即可；
（2）同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折的勾股或相似得出第一条等量关系，即，进而利用矩形性质利用一线三垂直相似得到第二条关系式，即，建立等量关系后解之即可；
（3）结合对称性翻折分析可知此时矩形ABCD为正方形，进而利用正方形和反比例函数的对称性分析表示点坐标，其中，k的动态变化可通过二次函数分析，最后利用临界交点结合正方形性质及特殊角的比例关系分析找出等量关系解之即可得出k值.
7．【答案】（1）；4；2
（2）解：不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）解：如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）解：根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立可得方程组：，
解得：，，
∴反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 （4，2）；
∴木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 4m，BC=2m，
故答案为：（4，2）；4；2.
【分析】（1）根据题意先求出方程组：，再求出，，最后求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再根据 与函数图象没有交点， 计算求解即可；
（3）将点代入，求出， 最后作图求解即可；
（4）利用一元二次方程根的判别式求出 ， 再利用待定系数法求出 反比例函数图象经过点， 最后列方程计算求解即可。
1 / 1一次函数、反比例函数——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、函数图象与性质探究
1．（2024·宁夏）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
… -1 -2 2 1 …
… -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 …
… -1 -2 -4 4 2 1 …
（1）描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象.
（2）【探究发现】
①将反比例函数的图象向　 　平移　 　个单位长度得到函数的图象.
②上述探究方法运用的数学思想是　 　A.整体思想B.类比思想C.分类讨论思想
（3）【应用延伸】
①将反比例函数的图象先　 　，再　 　得到函数的图象.
②函数图象的对称中心的坐标为　 　.
【答案】（1）如图所示：
（2）左；1；B
（3）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度；（2，-1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；描点法画函数图象；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，）；
② 由函数的图象可以由函数的图象平移得到 ，可以探究函数的图象 可以由函数的图象平移得到，运用的数学思想是类比思想；
故第1空答案为：左；第2空答案为：1；第3空答案为：B；
（3）由类比可以得出：① 将反比例函数的图象先 右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到 函数的图象.
② 函数图象的对称中心的坐标为 （2，-1）。
故 故第1空答案为：右平移2个单位长度；第2空答案为：向下平移1个单位长度；第3空答案为：（2，-1）。
【分析】（1）根据表格数据，得出平面内的点，根据描点法即可得出函数图象；
（2）①根据图象和表格数据可以发现： 反比例函数 上的点（-4，）向左移动一个单位得到1个单位得到 到函数的图象 上的点（-5，），即可得出答案；② 述探究方法运用的数学思想是类比思想；
（3）①由解析式的到，分母＋1，根据表格中的对应值，及函数图象，用类比法可得出答案；
②根据图象的平移规律，可直接比较函数关系式得出答案；
2．（2025·江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 ▲ （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件．
（3）探究2
对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
（4）探究3
某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
【答案】（1）③
（2）解：把(m，m)代入得m=km+b，
整理得(1-k)m=b，
当时，，m为任意实数，故是“不动点函数”；
当且时，为任意实数，m=，故是“不动点函数”
（3）方法一
由二次函数，可得：顶点坐标为，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
，
即．
方法二
由二次函数，可得：对称轴为直线，
抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，
顶点坐标为，
，
即
（4）据题意，得，
即．
令，即．
解得，
该函数是“不动点函数”．
不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】①把(m，m)代入y=x+2得m=m+2，无解，原说法错误；
②把(m，m)代入y=-3x+2得m=-3m+2，解得m=，故不动点为，原说法错误；
③把(m，m)代入y=x得m=m，m为全体实数，则是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确；
故答案为：③；
【分析】（1）把(m，m)代入函数解析式，求出m值，然后根据“不动点函数”的定义判断即可；
（2）把(m，m)代入整理为(1-k)m=b，然后分情况讨论解答即可；
（3）得到抛物线的顶点坐标，再根据不动点的定义解答即可；
（4）根据利润=单利润×销售量列函数关系式，根据“不动点函数”的定义求出x值即可解答即可.
3．（2025·巴中）综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是轴上一点，连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作轴的垂线，记，的交点为P．
（1）【操作与发现】
当M为时，点P的坐标为　 　 ；当M为时，点P的坐标为　 　 ．
（2）【猜想与证明】
在轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的　 　 图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）
（3）设点P的坐标是，根据PA与PM的关系，确定、满足的关系式．
（4）【实践与运用】
运用所学知识，要使△为钝角三角形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）②
（3）解：由勾股定理可知
∵PA=PM
∴
∴
（4）解：且
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：(1)当 时，则直线l1：y=2，直线l2：y轴
∴
当时，则直线l1：y=x，直线l2：x=4
∴
故答案填：，
(2)由对称性可知，当M为 时，点P的坐标为
∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数
故答案填：②
(4)如图
当x=4时，点，此时，四边形AOMP是正方形
当时，可知，则
∴，即为钝角三角形
又由(1)可知当M为 时，点P的坐标为 ，点A、P、M三点共线，不能构成三角形
∴
综上，要使为钝角三角形，x的取值范围为且。
【分析】(1)根据题意分别先求出直线l1和l2的解析式，接着联立两个函数解析式，解方程组就可以求出点P坐标；
(2)利用图象的对称性判断该函数一定是二次函数；
(3)利用线段的垂直平分线的性质，用坐标表示出PA与PM的长度，建立等量关系，从而可以得出y与x之间的函数关系式；
(4)利用钝角三角形的概念，结合特殊值，在坐标系中动态考虑三角形的存在性，难度较大。
4．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
二、图形与函数
5．（2023·新疆）
（1） 【建立模型】如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
（2） 【类比迁移】如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
（3） 【拓展延伸】如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）解：∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证出即可；
（2）①过点作轴于点，先证出，可得，再求出点A、B的坐标，可得，利用线段的和差求出EO的长，即可到到点C的坐标；
②利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分类讨论：①当点在轴下方时，②当点在轴的上方时， 再分别画出图象并利用相似三角形的判定方法和性质求解即可。
6．（2024·广东）【问题背景】
如1图，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段BD为对角线作矩形轴.反比例函数的图象经过点.
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点.
（2）如2图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值.
（3）【深入探究】
如3图，把矩形ABCD沿BD折叠，点的对应点为.当点E，A重合时，连接AC交BD于点.以点为圆心，AC长为半径作.若，当与的边有交点时，求的取值范围.
【答案】（1）证明：设点B(t，at)，D(s，as)，
∵四边形ABCD是矩形，且AD∥x轴，
∴点A(t，as)，C(s，at)，
∵反比例函数经过点A(t，as)，代入反比例函数中，
∴，
此时，若x=s，则y=，
故反比例函数经过点C. C
（2）解：如图，连接CE，延长CB和DA交y轴与点F和点G，
∵B(1，2)，代入直线，
∴2=a，即直线，
设点D(2m，4m)，
此时点C(2m，2)，A(1，4m)，
即BC=2m-1，CD=4m-2，BF=1，
∵四边形ABCD是矩形，△DEB是△DCB折叠所得，
∴∠DEB=∠DCB=90°，CE⊥BD，
∴∠BDC+∠CBD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠CDB=∠FCE，
在Rt△CFE和Rt△DCB中，
tan∠BDC=tan∠ECF，
∴，即，
∴EF=m，
同理，∠BEF+∠EBF=∠DEG+∠EDG=90°，
在Rt△BFE和Rt△DGE中，
tan∠BEF=tan∠EDG，
∴，即，
∴GE=2，
∴OG=OF+EF+GE=2+m+2=4m，
解得m=，
∴2m=，即点C(，2)，代入 反比例函数 ，
∴k=.
（3）解：如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，交BC于点N，
∵ 矩形ABCD沿BD折叠，点E，A重合时，
此时AB=AC，故四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，即∠BOM=45°，
∴OM=PM，
在等腰Rt△OMP中，
∵，
∴由勾股定理得OM=PM=3，即点P(3，3)
设点B(a，a)，则C(6-a，a)，D(6-a，6-a)，A(a，-a+6)，
易得直线AC的解析式为y=-x+6，此时k=a(-a+6)=，
∴当03时，y随x增大而减小，当a=3时，k最大，
即当BD越短或AC越短时，k越大.
①若圆经过点B时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
又∵BD=2BP，
∴OB=2BP，即OB=，
由勾股定理得，解得a=4，
∴k=a(-a+6)=4×2=8；
②由对称可知，若圆经过点A或点C时，如图，此时OB=AC，其OB最小，k最大，
同理，OA=AC=2AP，
∵∠APB=90°，
∴∠AOP=30°，OP=，
∴OB=，
由勾股定理，解得a=，
此时k=a(-a+6)==6；
综上所述，6≤k≤8.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和正比例函数表示矩形的四个顶点ABCD，设点代入A表示k，检验C是否在满足该关系式即可；
（2）同理设元表示矩形四个顶点的坐标，利用翻折的勾股或相似得出第一条等量关系，即，进而利用矩形性质利用一线三垂直相似得到第二条关系式，即，建立等量关系后解之即可；
（3）结合对称性翻折分析可知此时矩形ABCD为正方形，进而利用正方形和反比例函数的对称性分析表示点坐标，其中，k的动态变化可通过二次函数分析，最后利用临界交点结合正方形性质及特殊角的比例关系分析找出等量关系解之即可得出k值.
三、函数应用
7．（2023·济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或　 　m，　 　m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
（4）【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2
（2）解：不能围出．
∵木栏总长为，
∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形；
（3）解：如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，
解得；
（4）解：根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程有实数根，
整理得：，
∴，
解得：，
把代入得：，
∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，
解得：，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立可得方程组：，
解得：，，
∴反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 （4，2）；
∴木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 4m，BC=2m，
故答案为：（4，2）；4；2.
【分析】（1）根据题意先求出方程组：，再求出，，最后求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再根据 与函数图象没有交点， 计算求解即可；
（3）将点代入，求出， 最后作图求解即可；
（4）利用一元二次方程根的判别式求出 ， 再利用待定系数法求出 反比例函数图象经过点， 最后列方程计算求解即可。
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