资源简介 (共16张PPT)1 认识三角形第1课时 三角形及其内角和第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 如图，下列说法错误的是（ D ）A. DF是△BDF的边B. ∠FBC是△FBC的内角C. 以∠A为内角的三角形有3个D. 以BC为边的三角形有3个第1题D123456789101112132. （教材P87随堂练习第1题变式）如图，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ C ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 无法确定第2题3. 如图，△ABC被撕去了一角，经测量得∠A＝67°，∠B＝23°，则△ABC是（ A ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 无法确定第3题CA123456789101112134. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝70°，∠ACD＝120°，则∠B＝ 50° .第4题50° 123456789101112135. （教材P92习题4.1第1题变式）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶4，这个三角形最大的内角是 80 °，如果按角分，它还是一个 锐角 三角形.80 锐角 6. 有具备下列条件的△ABC：① ∠A＝90°－∠B；② ∠A＝30°，∠B＝60°；③ ∠A＝∠B＝2∠C；④ ∠A＋∠B＋∠C＝180°.其中，不能直接判断是直角三角形的为 ③④ （填序号）.③④ 12345678910111213（1） ∠A＝76°，∠B＝89°；解：（1） 因为∠A＝76°，∠B＝89°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝15°.所以三个内角都是锐角.所以△ABC是锐角三角形（2） ∠A＝30°，∠B＝2∠C.解：（2） 因为∠A＝30°，所以∠B＋∠C＝180°－∠A＝150°.因为∠B＝2∠C，所以2∠C＋∠C＝150°.所以∠C＝50°，∠B＝100°.因为∠B是钝角，所以△ABC是钝角三角形7. （教材P87随堂练习第2题变式）根据下面各组条件，判断△ABC的形状（锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）：123456789101112138. （教材P93习题4.1第4题变式）如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E. 仔细观察图形，回答下列问题：（1） 图中有几个直角三角形？请写出来.解：（1） 有4个直角三角形，分别为△AEH，△EDC，△ACB，△DHB第8题12345678910111213（2） ∠AEH和∠B之间有什么数量关系？为什么？解：（2） ∠AEH＝∠B 因为DH⊥AB，AC⊥BD，所以∠AHE＝∠ACB＝90°.所以∠AEH＋∠A＝∠B＋∠A＝90°.所以∠AEH＝∠B第8题（3） 若∠B＝70°，求∠A和∠CED的度数.解：（3） 因为∠A＋∠B＝90°，∠B＝70°，所以∠A＝20°.由（2），得∠AEH＝∠B＝70°.所以∠CED＝∠AEH＝70°123456789101112139. 如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠D＝90°，则下列结论错误的是（ C ）A. ∠1＝∠2 B. ∠1＋∠C＝90°C. ∠1＋∠2＝90° D. ∠B＝∠C第9题C1234567891011121310. 如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为（ C ）A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°第10题C1234567891011121311. △ABC的三个内角的度数关系为∠A＝ ∠B＝ ∠C，可知△ABC中最大的内角为 90 °.按三角形内角的大小分类，可知△ABC是 直角 三角形.90 直角 12345678910111213（1） 如图①，∠ABF＋∠ACE的度数为 116° .（2） 如图②，求∠ABF＋∠ACE的度数，并说明理由.第12题116° 12. 在△ABC和△DEF中，∠A＝36°，∠E＋∠F＝100°，∠D的两条边分别经过点B和点C.12345678910111213解：∠ABF＋∠ACE＝316° 理由：在△ABC中，∠A＝36°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝144°.在△DEF中，∠E＋∠F＝100°，所以∠D＝180°－（∠E＋∠F）＝80°.所以∠BCD＋∠CBD＝180°－∠D＝100°.所以∠ABD＋∠ACD＝∠ABC－∠CBD＋∠ACB－∠BCD＝（∠ABC＋∠ACB）－（∠BCD＋∠CBD）＝144°－100°＝44°.所以∠ABF＋∠ACE＝180°－∠ABD＋180°－∠ACD＝360°－（∠ABD＋∠ACD）＝360°－44°＝316°.1234567891011121313. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝ ∠CAD，BE平分∠ABC交AC于点E，∠C＝48°.（1） 求∠AEB的度数；解：（1） 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.因为∠C＝48°，所以∠CAD＝90°－∠C＝42°.因为∠BAD＝ ∠CAD，所以∠BAD＝ ×42°＝14°.所以∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝56°.所以∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝ ∠ABC＝38°.所以∠AEB＝180°－∠ABE－∠BAC＝86°第13题12345678910111213（2） 若F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数. 解：（2） 因为∠AEB＝86°，所以∠BEC＝180°－∠AEB＝94°.分两种情况：① 当∠EFC＝90°时，如图①.因为∠FEC＝180°－∠C－∠EFC＝42°，所以∠BEF＝∠BEC－∠FEC＝94°－42°＝52°.② 当∠FEC＝90°时，如图②.所以∠BEF＝∠BEC－∠FEC＝94°－90°＝4°.综上所述，∠BEF的度数为52°或4°第13题答案第13题12345678910111213(共19张PPT)3 探索三角形全等的条件第3课时 利用“边角边”判定三角形全等第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. （教材P104随堂练习第1题变式）在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示.根据图中已知的条件判断，下列用4种不同方法画出的三角形，不一定与△ABC全等的是（ C ）第1题CA BC D12345678910111213142. 如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，则下列结论错误的是（ D ）A. ∠A＝∠D B. ∠B＝∠EC. AB＝DE D. CD＝CE第2题D12345678910111213143. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能使△ABC≌△DCB的是（ A ）A. AC＝DB B. AB＝DCC. ∠A＝∠D D. ∠1＝∠2第3题A12345678910111213144. 如图，AD＝BC，要直接利用“SAS”判定△ABC≌△CDA，则可以添加的一个条件是 ∠DAC＝∠ACB .第4题∠DAC＝∠ACB 5. 如图，AF＝BE，∠A＝∠B，AC＝BD，则能判定△ AFD ≌△ BEC ，此时有∠F＝ ∠E .第5题AFD BEC ∠E 12345678910111213146. 如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠OAC的度数为 95° .第6题95° 12345678910111213147. （教材P106习题4.3第5题变式）（2024·乐山）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，试说明：∠C＝∠D.解：因为AB是∠CAD的平分线，所以∠CAB＝∠DAB. 在△ABC和△ABD中，所以△ABC≌△ABD. 所以∠C＝∠D第7题12345678910111213148. （2023·陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC. 在边AC上截取AF＝AB，连接DF. 试说明：DF＝CB.第8题解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，所以∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°.所以∠EAC＝180°－∠AEC－∠C＝70°.所以∠DAF＝180°－∠EAC＝110°.所以∠DAF＝∠CAB. 在△DAF和△CAB中，所以△DAF≌△CAB. 所以DF＝CB12345678910111213149. 如图，AB＝AC，AE＝AF，BE与CF相交于点D. 有下列结论：① △ABE≌△ACF；② △BDF≌△CDE；③ 点D在∠BAC的平分线上.其中，正确的是（ D ）A. ① B. ② C. ①② D. ①②③第9题D123456789101112131410. 如图，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则下列说法错误的是（ D ）A. △AEB≌△DFC B. △EBD≌△FCAC. ED＝FA D. EA＝EC第10题D123456789101112131411. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝65°，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF＝ 65° .第11题65° 123456789101112131412. 如图，一块三角形模具的涂色部分已破损.只要从残留的模具中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具到店铺加工一块与原来的模具△ABC的形状和大小完全相同的模具△A'B'C'？作出模具△A'B'C'（不写作法，保留作图痕迹）.第12题解：度量出AC，BC的长以及∠C的度数 如图，△A'B'C'即为所求作 第12题答案123456789101112131413. 如图，在四边形ABDC中，DC＝DB，∠ABD与∠C互补，∠CDB＝100°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF，连接DE，DF.（1） 试判断线段DE与DF之间的数量关系，并说明理由；解：（1） DE＝DF 理由：因为∠ABD与∠C互补，所以∠ABD＋∠C＝180°.因为∠ABD＋∠DBF＝180°，所以∠C＝∠DBF. 在△DCE和△DBF中， 所以△DCE≌△DBF. 所以DE＝DF.第13题1234567891011121314（2） 点G在线段AB上，连接EG，DG，若∠EDG＝50°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并说明理由.解：（2） EG＝CE＋BG 理由：因为△DCE≌△DBF，所以∠CDE＝∠BDF. 因为∠CDB＝100°，∠EDG＝50°，所以∠CDE＋∠BDG＝∠CDB－∠EDG＝50°.所以∠FDG＝∠BDF＋∠BDG＝∠CDE＋∠BDG＝50°.所以∠EDG＝∠FDG＝50°.在△DGE和△DGF中，所以△DGE≌△DGF. 所以EG＝FG.又因为FG＝BF＋BG，CE＝BF，所以EG＝CE＋BG.第13题123456789101112131414. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为腰作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE.第14题1234567891011121314（1） 试说明：△ACD≌△BCE.解：（1） 因为△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，所以CD＝CE. 因为∠ACB＝90°，所以∠ACB＋∠DCB＝∠DCE＋∠DCB，即∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中，所以△ACD≌△BCE第14题1234567891011121314（2） 若AB＝3cm，求BE的长.解：（2） 因为△ACD≌△BCE，所以AD＝BE. 因为DB＝AB＝3cm，所以BE＝AD＝DB＋AB＝3＋3＝6（cm）第14题1234567891011121314（3） BE与AD之间有何位置关系？请说明理由.第14题答案第14题答案解：（3） BE⊥AD 理由：如图，记BE交CD于点F，∠ADC＝∠1，∠BEC＝∠2，∠BFD＝∠3，∠CFE＝∠4.因为△ACD≌△BCE，所以∠1＝∠2.又因为∠3＝∠4，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4.所以180°－（∠1＋∠3）＝180°－（∠2＋∠4），即∠EBD＝∠DCE＝90°.所以BE⊥AD.第14题1234567891011121314(共16张PPT)小专题（九） 全等三角形的常见模型第四章 三 角 形类型一 平移模型特征：沿某一直线平移可得两三角形重合.模型展示如下：解题思路：① 加（减）共线部分，得某一组对应边相等；② 利用平行线的性质得对应角相等.1. 如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.（1） 试说明：△AOD≌△OBC；解：（1） 因为O是线段AB的中点，所以AO＝OB. 因为OD∥BC，所以∠AOD＝∠OBC. 在△AOD和△OBC中，所以△AOD≌△OBC第1题1234567（2） 若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.解：（2） 因为△AOD≌△OBC，所以∠ADO＝∠OCB＝35°.因为OD∥BC，所以∠DOC＝∠OCB＝35°第1题1234567类型二 对称模型特征：所给图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合.模型展示如下：解题思路：① 找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等；② 找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等.12345672. 如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，试说明：AB＝CD.第2题解：因为∠AOD＝∠COB，所以∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD. 在△AOB 和△COD中， 所以△AOB≌△COD.所以AB＝CD12345673. 如图，AB＝AD，∠D＝∠B.（1） 试说明：△ABC≌△ADE；解：（1） 在△ABC和△ADE中， 所以△ABC≌△ADE第3题1234567（2） 若AD＝8cm，BE＝5cm，求AC的长.解：（2） 因为△ABC≌△ADE，AD＝8cm，BE＝5cm，所以AB＝AD＝8cm，AC＝AE. 所以AE＝AB－BE＝8－5＝3（cm）.所以AC＝AE＝3cm第3题1234567类型三 旋转模型特征：共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合.模型展示如下：解题思路：① 等角加（减）共顶点的公共角得一组对应角相等；② 找到隐含的一对等角，比如对顶角.12345674. 如图，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AE，AD，BC相交于点F.（1） 试说明：△ABC≌△ADE；解：（1） 因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠CAB＝∠EAD. 在△ABC和△ADE中，所以△ABC≌△ADE第4题1234567（2） 若AB∥DE，∠D＝30°，求∠AFB的度数.解：（2） 因为AB∥DE，∠D＝30°，所以∠1＝∠D＝30°.因为△ABC≌△ADE，所以∠B＝∠D＝30°.所以∠AFB＝180°－∠1－∠B＝180°－30°－30°＝120°第4题12345675. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AB∥CD，O是BD的中点.（1） 试说明：△ABO≌△CDO；解：（1） 因为AB∥DC，所以∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC. 因为O是BD的中点，所以OB＝OD＝ BD. 在△ABO和△CDO中， 所以△ABO≌△CDO第5题1234567（2） 若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长.解：（2） 因为△ABO≌△CDO，所以AO＝OC＝ AC＝2.因为OB＝ BD＝3，所以△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝4＋3＋2＝9第5题1234567类型四 一线三等角模型模型展示如下：12345676. 如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且 BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. 试说明：AE＝ED.第6题解：因为∠B＝∠AED＝∠C，∠B＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEB＋∠AED＋∠CED＝180°，所以∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， 所以△ABE≌△ECD.所以AE＝ED12345677. 如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE. 试说明：AD＝BC.第7题解：因为AD⊥AB，BE⊥AB，所以∠A＝∠B＝90°.所以∠D＋∠ACD＝90°.因为CD⊥CE，所以∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°.所以∠D＝∠BCE. 在△ACD和△BEC中，所以△ACD≌△BEC.所以AD＝BC1234567(共18张PPT)1 认识三角形第3课时 三角形的高线、中线、角平分线第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 如图，CF，CE，CD分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列线段中，长度最短的是（ C ）A. CF B. CE C. CD D. CB第1题C1234567891011122. 如图，EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于点D. 若BD是△ABC的角平分线，∠BAH＝32°，则∠BAC的度数为（ B ）A. 32° B. 26° C. 34° D. 28°第2题B1234567891011123. （教材P93习题4.1第8题变式）数学课上，同学们在作△ABC的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ D ）A BC DD1234567891011124. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A＝36°，∠C＝72°，则图中度数为72°的角（除∠C外）有 ∠ABC，∠BDC .第4题∠ABC，∠BDC 1234567891011125. 如图，在△ABC中，E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是 22 .第5题22 1234567891011126. 如图，在△ABC中，D为边BC上任意一点，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF. 试判断△DEF的形状，并说明理由.第6题解：直角三角形 理由：因为DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，所以∠ADE＝ ∠ADB，∠ADF＝ ∠ADC. 所以∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝ （∠ADB＋∠ADC）＝ ×180°＝90°.所以△DEF是直角三角形.1234567891011127. 认真阅读，并回答下面的问题：如图①，AD为△ABC的中线，S△ABD与S△ADC相等吗？第7题①解：如图①，过点A作BC边上的高h，因为AD为△ABC的中线，所以BD＝DC. 因为S△ABD＝ BD·h，S△ADC＝ DC·h，所以S△ABD＝S△ADC.（1） 用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论： 三角形的中线平分三角形的面积 ；三角形的中线平分三角形的面积 123456789101112（2） 利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形的面积分成4等份（只要割线不同就算一种）.第7题② 第7题②答案解：答案不唯一，如图②，第一种方法：BE＝DE＝DF＝CF；第二种方法：BD＝CD，AE＝BE，AF＝CF1234567891011128. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于点H，有下列判断：① CH是△ACD的边AD上的高；② BE是△ABD的边AD上的中线；③ AD是△ABE的角平分线；④ AH是△ACF的角平分线和高.其中，正确的有（ B ）A. 1个 B. 2个第8题BC. 3个 D. 4个1234567891011129. 如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，连接DE，GF，且满足GF∥BD，∠1＝∠2，若∠AED＝70°，则∠2的度数为 35° .第9题35° 12345678910111210. 如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝ 64° ，∠BOC＝ 116° .第10题64° 116° 12345678910111211. 如图，BE为△ABC的一条角平分线，DE∥BC交AB于点D，∠C＝70°，∠DEB＝30°.第11题（1） 求∠A的度数.解：（1） 因为DE∥BC，所以∠EBC＝∠DEB＝30°.因为BE为△ABC的一条角平分线，所以∠DBE＝∠EBC＝30°.所以∠ABC＝60°.因为∠C＝70°，所以∠A＝180°－∠C－∠ABC＝50°123456789101112（2） 请你作出△BCE的中线CF，再找出CF的中点G，连接EG. 若 ＝30，求△CEG的面积.第11题答案第11题答案解：（2） 如图所示 因为CF是△BCE的中线，所以EF＝ BE. 因为S△BCE＝30，所以S△CEF＝ S△BCE＝15.又因为G为CF的中点，所以CG＝ CF. 所以S△CEG＝ S△CEF＝第11题12345678910111212. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.（1） 求∠BAE的度数.解：（1） 因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ ∠BAC＝40°第12题123456789101112（2） 求∠DAE的度数.解：（2） 因为AD⊥BC，所以∠ADE＝∠ADB＝90°.所以∠B＋∠BAD＝90°.所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°第12题123456789101112解：（3） 能 因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ ∠BAC＝ （180°－∠B－∠C）＝90°－ （∠B＋∠C）.由（2），得∠BAD＝90°－∠B. 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－ （∠B＋∠C）－（90°－∠B）＝（∠B－∠C）.因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝ ×40°＝20°第12题（3） 探究：如果条件“∠B＝70°，∠C＝30°”改成“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.123456789101112(共15张PPT)阶段训练（1）第四章 三 角 形一、 选择题1. 王伯伯要将一块三角形土地平均分配给两个儿子，则他所作的分界线应该是三角形的（ B ）A. 角平分线 B. 中线C. 高 D. 任意一条线2. 在△ABC中，已知∠A＝∠B，∠C＝40°，则∠A的度数为（ B ）A. 40° B. 70° C. 100° D. 140°BB12345678910111213141516173. 下列每组数表示三根木棒的长度，将它们首尾相接后，能摆成三角形的是（ D ）A. 2，3，6 B. 3，4，8C. 7，4，3 D. 3，3，4D12345678910111213141516174. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ C ）A. BE是△ABD的中线B. BD是△BCE的角平分线C. ∠1＝∠2＝∠3D. BC是△BDE的高第4题C12345678910111213141516175. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠CED＝∠A，则△CDE为（ B ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 以上均有可能第5题B12345678910111213141516176. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE是△ABC的角平分线.有下列结论：① ∠CFE＝∠CEF；② ∠FCB＝∠FBC；③ ∠A＝∠DCB；④ ∠CFE与∠CBF互余.其中，一定正确的是（ A ）A. ①③④ B. ②③④C. ①②④ D. ①②③第6题A1234567891011121314151617二、 填空题7. 一张三角形纸片上，小明只能折叠出它的一条高，可以推断，这张三角形纸片的形状是 直角或钝角 三角形.8. 若一个三角形的两条边的长分别为2和3，第三边的长为奇数，则第三边的长为 3 .9. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，CE，BD分别是AB，AC边上的高，则两边上的高相交所成锐角的度数为 50° .直角或钝角 3 50° 第9题123456789101112131415161710. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝8cm2，则涂色部分的面积是 2 cm2.第10题2 123456789101112131415161711. 如图，AD和BE是△ABC的中线，有以下结论：① AE＝CE；② O是△ABC的重心；③ △ABD与△ACD的面积相等；④ 过CO的直线平分线段AB；⑤ ∠ABE＝∠CBE；⑥ AD＝BE. 其中，正确的有 ①②③④ （填序号）.第11题①②③④ 123456789101112131415161712. （2024·凉山）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 100° .第12题100° 1234567891011121314151617三、 解答题13. 如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时该模板是否符合规定？为什么？第13题 第13题答案解：不符合规定 如图，延长AB，CD交于点O. 在△AOC中，因为∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，所以∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°＜85°.所以该模板不符合规定第13题答案123456789101112131415161714. 已知△ABC（如图），按下列要求画图：第14题（1） △ABC的中线AD；解：（1） 如图，AD即为所求作（2） △ABD的角平分线DM；解：（2） 如图，DM即为所求作第14题答案（3） △ACD的高线CN.解：（3） 如图，CN即为所求作123456789101112131415161715. 如图，在△BCD中，BC＝3，BD＝5.第15题（1） 若CD的长是偶数，直接写出CD的长： 4或6 ；4或6 （2） 若点A在CB的延长线上，点E，F在CD的延长线上，且AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数.解：因为AE∥BD，所以∠BDE＋∠AEC＝180°.所以∠AEC＝180°－∠BDE＝180°－125°＝55°.所以∠C＝180°－∠A－∠AEC＝180°－55°－55°＝70°123456789101112131415161716. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的长度之和为11cm.求AC的长.第16题解：因为AD是边BC上的中线，所以D是BC的中点，即CD＝BD. 因为△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，所以AC＋CD＋AD－（AB＋BD＋AD）＝5cm，即AC－AB＝5cm.设AC＝xcm，则AB＝（x－5）cm.又因为AC＋AB＝11cm，所以x＋x－5＝11，解得x＝8.所以AC＝8cm123456789101112131415161717. 如图，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C，且AC与BD交于点E.第17题（1） △ADE的边DE上的高为 AB ，边AE上的高为 DC ；AB DC （2） 若E是BD的中点，AE＝5，DE＝2，CD＝ ，求AB的长.解：因为S△AED＝ AE·CD＝ DE·AB，AE＝5，DE＝2，CD＝ ，所以 ×5× ＝ ×2×AB. 所以AB＝1234567891011121314151617(共14张PPT)小专题（七） 三角形的“三线”第四章 三 角 形类型一 三角形的中线及应用1. 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线.若CE＝9cm，则BC的长为（ B ）A. 10cm B. 12cmC. 14cm D. 16cm第1题B1234567891011122. 在△ABC中，AD为BC边的中线，若△ABD与△ADC的周长之差为5，AC＝7，则AB的长为（ C ）A. 2 B. 19C. 2或12 D. 2或19C1234567891011123. 如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线.若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为 4 .第3题4 1234567891011124. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm.求：（1） AD的长；解：（1） 因为∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，所以 AD·BC＝ AB·AC. 所以AD＝ ＝ （cm）第4题（2） △BCE的面积.解：（2） 因为CE是AB边上的中线，所以S△BCE＝ S△ABC＝ × ×12×16＝48（cm2）123456789101112类型二 三角形的角平分线及应用5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADC的度数为（ B ）第5题BA. 57.5° B. 67.5°C. 80.5° D. 85.5°1234567891011126. 如图，BE，CF是△ABC的角平分线，且∠A＝80°，求∠BDF的度数.第6题解：因为∠A＝80°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－80°＝100°.因为BE，CF是△ABC的角平分线，所以∠EBC＋∠FCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝50°.所以∠BDC＝180°－50°＝130°.所以∠BDF＝180°－∠BDC＝50°123456789101112类型三 三角形的高线及应用7. 如图，在△ABC中，BC＝8，AD为BC边上的高，点A沿AD所在的直线运动时，△ABC的面积会发生变化，当△ABC的面积为48时，AD的长为（ B ）A. 24 B. 12 C. 8 D. 6第7题B1234567891011128. 如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC的度数为（ B ）A. 116° B. 128°C. 138° D. 142°第8题B1234567891011129. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.求：（1） △ABC的面积；解：（1） 因为CE＝9，AB＝12，所以△ABC的面积＝ ×12×9＝54第9题（2） BC的长.解：（2） △ABC的面积＝ BC·AD＝54，即 BC·10＝54，解得BC＝123456789101112类型四 和三角形的“三线”有关的作图问题10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1.△ABC的顶点都在小正方形的顶点上.利用网格点和三角尺画图及计算：第10题（1） 画出AB边上的中线CD；解：（1） 如图，线段CD即为AB边上的中线第10题答案123456789101112 第10题答案（2） 画出BC边上的高AE；解：（2） 如图，线段AE即为BC边上的高（3） 求△ABC的面积.解：（3） S△ABC＝ ×4×4＝8第10题第10题答案123456789101112类型五 与三角形的“三线”有关的综合应用问题11. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，BE平分∠ABC. 若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，求∠ABC的度数.第11题解：设∠C＝α，则∠A＝2∠C＝2α，∠ABC＝180°－∠C－∠A＝180°－3α.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝ （180°－3α）.所以∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝70°－ α.因为BD⊥AC，所以∠BDA＝90°.所以∠A＋∠ABD＝2α＋70°－ α＝90°，解得α＝40°.所以∠ABC＝180°－3α＝60°12345678910111212. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F. 若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面积.第12题解：因为CF⊥BE，所以S△BCE＝ BE·CF＝ ×9×8＝36.因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD. 所以S△EBD＝S△ECD＝ S△BCE＝18.因为E是AD的中点，所以S△ACE＝S△ECD＝18123456789101112(共14张PPT)4 利用三角形全等测距离第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 如图，为测量池塘两侧A，B两点之间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确定点D，使CD＝AC，得到△ABC≌△DBC，通过测量BD的长，就能得出AB的长.判定△ABC≌△DBC的依据是（ A ）A. SAS B. ASA第1题AC. AAS D. SSS1234567892. 如图，某校学生为了测量点B与河对面的点A之间的距离，在点B的同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，然后在点M处立了标杆，使得∠CBM＝70°.为了测量点A，B之间的距离，他们应该（ D ）A. 测量BM的长B. 测量BC的长C. 测量∠A的度数D. 先作∠BCN＝40°，交BM所在直线于点N，再测量BN的长第2题D1234567893. 如图，亮亮想测量某湖A，B两点之间的距离，他选取了可以直接到达点A，B的一点C，连接CA，CB，并作BD∥AC，截取BD＝AC，连接CD，他说，根据三角形全等的判定方法，可得△ABC≌△DCB，所以AB＝CD，他用到三角形全等的判定方法是 SAS .第3题SAS 1234567894. 如图，AM是一段斜坡，AB是水平线.欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度CN，他在点C处立上一根竹竿CF，竹竿CF与斜坡AM垂直，在D处垂下一根绳子DE，与斜坡AM的交点是E，绳子DE可以在竹竿CF上自由滑动.当DE＝AC时，测得CE＝2m，则CN＝ 2 m.其中，运用到的判定三角形全等的方法是 AAS .第4题2 AAS 1234567895. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座水房D，在BD的中点C处有一棵百年古树，小明从点A出发，沿直线AC一直向前，经过点C走到点E（A，C，E三点在同一条直线上），并使CE＝CA，然后他测量点E到水房D的距离，则ED的长就是A，B两点之间的距离.你能说明小明这样做的依据吗？第5题123456789解：如图，连接AB. 因为C为BD的中点，所以BC＝DC. 在△ACB和△ECD中， 所以△ACB≌△ECD. 所以AB＝ED，即ED的长就是A，B两点之间的距离第5题答案1234567896. 如图，甲、乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸Q处，因不知河宽，甲军的狙击手在点O处很难瞄准乙军军营，于是甲军连长站在西岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到乙军军营Q处，然后他后退到点B处，这时他的视点恰好落在点O处，此时他只需测量点B和点O的距离，即可知道甲军的狙击手与乙军军营的距离，他判断的依据是（ A ）A. ASA B. SAS第6题AC. SSS D. AAS1234567897. 如图，小刚站在河边的点A处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上时，他一共走了140步.如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为 40 米.40 第7题1234567898. 如图，在一条河的两岸各耸立着一座铁塔，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座铁塔之间的距离吗？说说你的方法和理由.第8题 8题答案第8题答案解：能 如图，把两座铁塔分别看作A，B两点，连接AB，作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE⊥BF，使点E，C，A在同一条直线上，此时ED的长就是两座铁塔之间的距离 理由：因为BF⊥AB，DE⊥BF，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ACB和△ECD中，所以△ACB≌△ECD. 所以AB＝ED.1234567899. 为了测量池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了两种方案.方案①：如图①，先在平地上取一个可直接到达点A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，连接DE，最后测出DE的长就是A，B之间的距离；方案②：如图②，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在同一条直线上，最后测出DE的长就是A，B之间的距离.123456789（1） 方案①是否可行？请说明理由.解：（1） 方案①可行 理由：在△DCE和△ACB中 所以△DCE≌△ACB. 所以DE＝AB. 所以方案①可行.第9题123456789（3） 小明说在方案②中，并不一定需要AB⊥BF，BF⊥DE，只需要 AB∥DE 就可以了，请把小明所说的条件补上. 解：（2） 方案②可行 理由：因为AB⊥BF，BF⊥DE，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ABC和△EDC中， 所以△ABC≌△EDC. 所以AB＝ED. 所以方案②可行.AB∥DE （2） 方案②是否可行？请说明理由.第9题123456789(共16张PPT)小专题（八） 全等三角形的性质与判定的综合应用第四章 三 角 形类型一 求角的度数1. 如图，在△ABC中，点D在AC上，BD平分∠ABC，延长BA到点E，使得BE＝BC，连接DE. 若∠ADE＝38°，则∠ADB的度数是（ C ）A. 68° B. 69° C. 71° D. 72°第1题C1234567892. 如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，DE＝DC，∠BAC＝65°，则∠ABE的度数是 25° .第2题25° 123456789解：（1） 因为AC∥DE，所以∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E.又因为∠ACD＝∠B，所以∠B＝∠D. 在△ABC和△CDE中， 所以△ABC≌△CDE第3题3. 如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.（1） 试说明：△ABC≌△CDE；123456789（2） 若∠A＝55°，求∠BCD的度数.解：（2） 因为△ABC≌△CDE，所以∠A＝∠DCE＝55°.所以∠BCD＝180°－∠DCE＝125°第3题123456789类型二 求线段的长度4. 如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE. 若CB＝5cm，BD＝3cm，则ED的长为（ A ）A. 2cm B. 3cm C. 5cm D. 8cm第4题A1234567895. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在射线CD上截取CE＝CA，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.（1） 试说明：△ABC≌△CFE；第5题解：（1） 因为EF⊥CE，CD⊥AB，所以∠E＝∠ADC＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠A＝90°－∠ACE＝∠ECF.在△ABC和△CFE中，所以△ABC≌△CFE123456789（2） 若AB＝9，EF＝4，求BF的长.解：（2） 因为△ABC≌△CFE，所以AB＝CF＝9，CB＝EF＝4.所以BF＝CF－CB＝5第5题123456789类型三 探求线段之间的关系6. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC. 线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由.第6题解：AB＋BE＝CD 理由：因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠EDC. 在△ABD和△EDC中，所以△ABD≌△EDC. 所以AB＝DE，BD＝CD.因为DE＋BE＝BD，所以AB＋BE＝CD.1234567897. 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接BE，CM.（1） 试说明：BE＝AC；解：（1） 因为AD⊥BC，所以∠BDE＝∠ADC＝90°.在△BDE和△ADC中， 所以△BDE≌△ADC. 所以BE＝AC第7题123456789（2） 试判断线段AC与线段CM之间的关系，并说明理由.解：（2） AC⊥CM，AC＝CM 理由：因为F为BC的中点，所以BF＝CF. 在△BFE和△CFM中， 所以△BFE≌△CFM. 所以∠CBE＝∠BCM，BE＝CM.由（1），得△BDE≌△ADC. 所以∠CBE＝∠DAC，BE＝AC. 所以∠DAC＝∠BCM，AC＝CM.因为∠ADC＝90°，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCM＋∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°.所以AC⊥CM.第7题123456789类型四 构造全等三角形8. （1） 阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD长的取值范围.小聪同学是这样思考的：延长BD至点E，使DE＝BD，连接CE，利用三角形全等将AB转化为CE，在△BCE中，利用三角形的三边关系即可求出BE长的取值范围，进而求出BD长的取值范围.在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是 SAS ，中线BD长的取值范围是 1＜BD＜9 .第8题SAS 1＜BD＜9 123456789（2） 解决问题：如图②，在△ABC中，D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，且DM⊥DN. 试说明：AM＋CN＞MN.第8题123456789解：如图②，延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF，MF. 因为D是AC的中点，所以AD＝CD. 在△AFD和△CND中， 所以△AFD≌△CND. 所以AF＝CN. 因为DM⊥DN，所以∠FDM＝∠NDM＝90°.在△MDN和△MDF中， 所以△MDN≌△MDF.所以MN＝MF. 在△AFM中，由三角形的三边关系，得AM＋AF＞MF.所以AM＋CN＞MN1234567899. 如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线.延长BD至点E，使DE＝DA，连接EC.（1） ∠EDC的度数为 60° ；（2） 猜想BC，AB，CE之间的数量关系，并说明理由.第9题 第9题答案60° 123456789解：BC＝AB＋CE 理由：如图，在BC上截取BF＝AB，连接DF. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠FBD. 在△ABD和△FBD中， 所以△ABD≌△FBD. 所以DA＝DF，∠ADB＝∠FDB. 因为DE＝DA，∠ADB＝∠EDC＝60°，所以DF＝DA＝DE，∠FDB＝∠ADB＝∠EDC＝60°.所以∠FDC＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°.所以∠FDC＝∠EDC.在△CDF和△CDE中， 所以△CDF≌△CDE. 所以CF＝CE. 所以BC＝BF＋CF＝AB＋CE.第9题答案123456789(共19张PPT)3 探索三角形全等的条件第2课时 利用“角边角”或“角角边”判定三角形全等第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 在如图所示的四个三角形中，能构成全等三角形的是（ D ）A. ②③ B. ②④ C. ①② D. ③④第1题D12345678910111213142. 如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块与原来完全一样的玻璃，则最省事的办法是（ A ）A. 带①去 B. 带②去C. 带③去 D. 带④去第2题A12345678910111213143. （教材P102随堂练习第1题变式）如图，AD和BC相交于点O，OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加的一个条件是（ B ）A. AB＝CD B. ∠A＝∠CC. OB＝OD D. ∠AOB＝∠COD第3题B12345678910111213144. 如图，∠1＝∠2，∠C＝∠E，若要证明△ABC≌△ADE，则需要补充的一个条件是 答案不唯一，如BC＝DE （写出一个即可）.第4题答案不唯一，如BC＝DE 12345678910111213145. 如图，∠DCE＝90°，∠A＝90°，BE⊥AC于点B，且DC＝EC. 若BE＝7，AB＝3，则AD的长为 4 .第5题4 12345678910111213146. （2024·盐城）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF.第6题若 选择① ，则AB＝CD.请从① CE∥DF；② CE＝DF；③ ∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由.选择① 1234567891011121314解：理由：因为AE∥BF，所以∠A＝∠FBD. 因为CE∥DF，所以∠ACE＝∠D. 在△AEC和△BFD中， 所以△AEC≌△BFD. 所以AC＝BD. 所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.选择③ 理由：因为AE∥BF，所以∠A＝∠FBD. 在△AEC和△BFD中， 所以△AEC≌△BFD. 所以AC＝BD. 所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.12345678910111213147. 如图，AB＝BD，DE∥AB，∠C＝∠E.（1） 试说明：△ABC≌△BDE；解：（1） 因为DE∥AB，所以∠BDE＝∠ABC. 在△ABC和△BDE中， 所以△ABC≌BDE第7题1234567891011121314（2） 当∠A＝80°，∠ABE＝120°时，求∠BDE的度数.解：（2） 因为∠A＝80°，△ABC≌BDE，所以∠A＝∠DBE＝80°.因为∠ABE＝120°，所以∠ABC＝∠ABE－∠DBE＝40°.由（1），知∠BDE＝∠ABC，所以∠BDE＝40°第7题12345678910111213148. 如图，如果点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，那么DE等于（ C ）A. DC B. BCC. AB D. AE＋AC第8题C12345678910111213149. 如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF. 有下列结论：① ∠1＝∠2；② BE＝CF；③ CD＝DN；④ △ACN≌△ABM. 其中，一定正确的结论有（ B ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个第9题B123456789101112131410. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝ 3 .第10题3 123456789101112131411. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H. 若EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是 1 .第11题1 123456789101112131412. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，BD＝3，CE＝6，则DE的长为 9 .第12题9 123456789101112131413. 如图，已知∠α，∠β和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a.第13题3题答案解：作∠B＝β，BC＝a，∠ACB＝180°－α－β.如图，△ABC即为所求作第13题答案123456789101112131414. 如图，点B，C，E，F在同一条直线上，∠B＝∠E，AC∥DF，AB＝DE.（1） 试说明：AC＝DF；解：（1） 因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE. 在△ABC和△DEF中，所以△ABC≌△DEF. 所以AC＝DF第14题1234567891011121314（2） 若AM，DN分别是△ABC和△DEF的角平分线，试说明：AM＝DN.解：（2） 因为AM，DN分别是△ABC和△DEF的角平分线，所以∠BAM＝ ∠BAC，∠EDN＝ ∠EDF. 因为△ABC≌△DEF，所以∠BAC＝∠EDF. 所以∠BAM＝∠EDN.在△BAM和△EDN中，所以△BAM≌△EDN. 所以AM＝DN第14题1234567891011121314(共21张PPT)2 全等三角形第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. （教材P96随堂练习第1题变式）如图，△ABC≌△CDA，下列结论：① AB与AD是对应边；② AC与CA是对应边；③ ∠BAC与∠DAC是对应角；④ ∠CAB与∠ACD是对应角.其中，正确的有（ B ）A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④第1题B12345678910111213142. 如图，AB，CD相交于点O，△OCA≌△OBD，AO＝6，BO＝4，则CD的长为（ B ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12第2题B12345678910111213143. 如图，点B，A，E在同一条直线上.若△BAC≌△DBE，则下列判断不一定正确的是（ D ）A. AC∥BD B. AC＝BEC. ∠ABC＝∠D D. AE＝AB第3题D12345678910111213144. 如图，△ABC≌△ADC，∠BAC＝30°，∠ACD＝60°，则∠D＝ 90° .第4题90° 12345678910111213145. 如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上.若DE＝8，BC＝5，则AE的长为 3 .第5题3 12345678910111213146. 如图，△BDF≌△CDE，有下列说法：① △ABD与△ACD的面积相等；② BF∥CE；③ AD是△ABC的中线；④ AF平分∠BAC. 其中，正确的有 ①②③ （填序号）.第6题①②③ 12345678910111213147. （教材P97习题4.2第2题变式）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B，F，C，E在一条直线上.（1） 试说明：BF＝EC；解：（1） 因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF. 所以BC－CF＝EF－CF，即BF＝EC第7题1234567891011121314（2） 若AB＝3，EF＝7，求AC的长的取值范围.解：（2） 由（1），得BC＝EF，因为EF＝7，所以BC＝EF＝7.在△ABC中，BC－AB＜AC＜BC＋AB，所以7－3＜AC＜7＋3，即4＜AC＜10第7题12345678910111213148. 如图，△ABD≌△EBC，点E在BD上，AB＝3cm，BC＝6cm.（1） 求DE的长.解：（1） 因为△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，所以BD＝BC＝6cm，EB＝AB＝3cm.所以DE＝BD－EB＝3cm第8题1234567891011121314（2） 若点A，B，C在同一条直线上，则DB与AC互相垂直吗？为什么？解：（2） DB与AC互相垂直 因为△ABD≌△EBC，所以∠ABD＝∠EBC. 因为点A，B，C在同一条直线上，所以∠ABD＋∠EBC＝180°.所以∠ABD＝∠EBC＝90°.所以DB与AC互相垂直第8题12345678910111213149. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ D ）A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°第9题D123456789101112131410. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD，将△ABC沿AC翻折后，点B的对应点为E，则图中的全等三角形有（ C ）A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对第10题C123456789101112131411. 如图，C为射线BE上的一点，△ABC≌△ADC，∠DCF＝∠ECF，则AC和CF的位置关系是 互相垂直 .第11题互相垂直 123456789101112131412. 如图，△ACF≌△DBE，其中点A，B，C，D在一条直线上.（1） 若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的度数；解：（1） 因为BE⊥AD，所以∠EBD＝90°.因为△ACF≌△DBE，所以∠FCA＝∠EBD＝90°.所以∠A＝90°－∠F＝28°第12题1234567891011121314（2） 若AD＝9，BC＝5，求AB的长.解：（2） 因为△ACF≌△DBE，所以CA＝BD. 所以CA－CB＝BD－BC，即AB＝CD. 因为AD＝9，BC＝5，所以AB＋CD＝9－5＝4.所以AB＝2第12题123456789101112131413. 如图，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，AB与DE交于点F.（1） 试说明：∠CAE＝∠BAD；解：（1） 因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE. 所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD第13题1234567891011121314（2） 若∠BAD＝35°，求∠BED的度数.解：（2） 因为△ABC≌△ADE，所以∠B＝∠D. 因为∠AFD＝∠EFB，∠D＋∠BAD＋∠AFD＝180°，∠B＋∠BED＋∠EFB＝180°，所以∠BED＝∠BAD＝35°第13题123456789101112131414. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE. （1） 试说明BD，DE，CE之间的数量关系.解：（1） 因为△BAD≌△ACE，所以BD＝AE，AD＝CE. 又因为A，D，E三点在同一条直线上，所以AE＝AD＋DE＝CE＋DE. 所以BD＝CE＋DE第14题1234567891011121314（2） 当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？请说明理由.解：（2） 当△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE 理由：因为△BAD≌△ACE，所以∠ADB＝∠E. 又因为∠ADB＝90°，所以∠E＝90°.因为A，D，E三点在同一条直线上，所以∠BDE＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°.所以∠BDE＝∠E. 所以BD∥CE.第14题1234567891011121314(共17张PPT)1 认识三角形第2课时 三角形的三边关系第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类.其中，分类错误的是（ D ）A. ①是不等边三角形B. ②是等腰三角形C. ③是等边三角形D. ②③是等边三角形第1题D123456789101112131415162. （教材P90随堂练习第1题变式）老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根小棍，那么第三根小棍的长度不可能为（ D ）A. 10cm B. 15cmC. 20cm D. 25cmD123456789101112131415163. （教材P90随堂练习第2题变式）已知△ABC中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ D ）A. 11 B. 12C. 13 D. 11或13D123456789101112131415164. 若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 ②③④ （填序号）.第4题5. 一个三角形的三边长都是整数，若两边的长分别是1，2，则第三边的长是 2 ，这个三角形是 等腰三角形 （按边分）.6. （教材P94习题4.1第11题变式）若一个等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则这个三角形的周长为 25 cm.②③④ 2 等腰三角形 25 123456789101112131415167. （教材P93习题4.1第5题变式）下列长度的三根小木棒能摆成等腰三角形吗？为什么？（1） 3，4，3； （2） 3，6，3；（3） 2，3，4； （4） 4，4，2.解：（1） 能 有两边相等，且符合三角形三边的关系（2） 不能 有两边相等，但不符合三角形三边的关系（3） 不能 三边都不相等（4） 能 有两边相等，且符合三角形三边的关系123456789101112131415168. 你知道吗？人的腿长大约是身高的一半.一个身高为1.8m的人能否一步走出2m远？请结合三角形三边的关系来分析说明.解：由题意，得两条腿的长度之和是1.8m，走路时两条腿和以两脚为端点的线段构成一个三角形，两条腿的长度之和要大于走一步的距离，而1.8＜2，所以一个身高为1.8m的人不能一步走出2m远123456789101112131415169. 用长度分别为20cm，15cm，8cm的三根木棒搭成一个三角形.（1） 若将20cm的木棒换成7cm的木棒，则能否搭成一个三角形？解：（1） 因为7＋8＝15（cm），15＝15，所以不能搭成一个三角形（2） 若将20cm的木棒换成5cm的木棒，则能否搭成一个三角形？解：（2） 因为5＋8＝13（cm），13＜15，所以不能搭成一个三角形（3） 将20cm的木棒换成什么长度范围内的木棒才能搭成一个三角形？解：（3） 因为15－8＝7（cm），15＋8＝23（cm），所以将20cm的木棒换成7～23cm（不包含7cm和23cm）范围内的木棒才能搭成一个三角形1234567891011121314151610. （2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ B ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第10题B1234567891011121314151611. 老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm，9cm，10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整厘米数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ C ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7C1234567891011121314151612. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：｜a－b－c｜＋｜b－c＋a｜＋｜c－a－b｜＝ a＋3b－c .13. 一个三角形两边的长分别为2，9，第三边的长是一个奇数，则此三角形 一定 是等腰三角形（填“一定”“可能”或“不可能”）.a＋3b－c 一定 12345678910111213141516解：因为（b－2）2＋｜c－3｜＝0，所以b＝2，c＝3.因为方程｜a－4｜＝2的解为a＝6或a＝2，且3－2＜a＜2＋3，所以a＝2.所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋3＝7.因为a＝b，所以△ABC为等腰三角形14. 已知a，b，c为△ABC三边的长，b，c满足（b－2）2＋｜c－3｜＝0，且a为方程｜a－4｜＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.1234567891011121314151615. 用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形.（1） 如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？解：（1） 设底边长是xcm，则腰长是2.5xcm.由题意，得x＋2.5x＋2.5x＝24，解得x＝4，则2.5x＝10.所以各边长分别是10cm，10cm，4cm12345678910111213141516（2） 能围成有一边的长是6cm的等腰三角形吗？请说明理由.解：（2） 能 理由：若底边长是6cm，则腰长是（24－6）÷2＝9（cm）.所以三角形的三边长分别是9cm，9cm，6cm，能围成三角形.若腰长是6cm，则底边长是24－6×2＝12（cm）.因为6＋6＝12（cm），12＝12，所以不能围成三角形.综上所述，能围成有一边的长是6cm的等腰三角形.1234567891011121314151616. 在同一平面内，分别用3根、5根、6根……木棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：木棒根数 3 5 6 …示意图 …形 状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …（1） 4根木棒能搭成三角形吗？解：（1） 因为4只能分成1，1，2三个正整数，且1＋1＝2，所以4根木棒不能搭成三角形12345678910111213141516（2） 8根、12根木棒分别能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图.解：（2） 如图①，8根木棒能搭成1种形状的三角形；如图②③④，12根木棒能搭成3种不同形状的三角形第16题答案12345678910111213141516(共19张PPT)3 探索三角形全等的条件第1课时 利用“边边边”判定三角形全等第四章 三 角 形01基础过关02能力进阶03思维拓展目录1. 如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（ D ）A B C DD12345678910111213142. （教材P100随堂练习第1题变式）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论中，不一定正确的是（ C ）A. △ABD≌△ACDB. ∠ADB＝90°C. ∠BAD＝ ∠BD. AD平分∠BAC第2题C12345678910111213143. 如图，AC＝DB，要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件： AB＝DC .第3题AB＝DC 12345678910111213144. 如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是 127° .第4题127° 12345678910111213145. 如图，AB＝CD，AD＝CB，有下列结论：① ∠BAD＝∠BCD；② AB＝AD；③ AD∥BC；④ AB∥CD. 其中，正确的是 ①③④ （填序号）.第5题①③④ 12345678910111213146. （2024·内江）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.（1） 试说明：△ABC≌△DEF；解：（1） 因为AD＝BE，所以AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF第6题1234567891011121314（2） 若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数.解：（2） 由（1）可知，△ABC≌△DEF，所以∠A＝∠FDE＝55°.所以∠F＝180°－∠FDE－∠E＝180°－55°－45°＝80°第6题12345678910111213147. 如图所示为一个测量工具的示意图，AB＝AC，在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，使用时调整架身，使得点A恰好在重锤线上，就说明此时BC处于水平位置，你能说明其中的道理吗？第7题解：因为D为BC的中点，所以BD＝CD. 在△ADB和△ADC中， 所以△ADB≌△ADC. 所以∠ADB＝∠ADC.因为∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.所以AD⊥BC. 又因为AD与地面垂直，所以BC与地面平行，即BC处于水平位置12345678910111213148. 如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB＝AC，AE＝CD，AD＝CE，则图中的全等三角形有（ D ）A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 3对第8题D12345678910111213149. 如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ C ）A. 110° B. 125°C. 130° D. 155°第9题C123456789101112131410. 如图，FA＝EA，AC＝AB，现用“SSS”判定△FAC≌△EAB，需添加的一个条件是 FC＝EB .第10题FC＝EB 123456789101112131411. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE＝CF，BE＝AF，则∠E＝∠ F ，∠CAF＝∠ ABE .第11题F ABE 123456789101112131412. 如图，已知四条线段a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4，选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）.第12题解：只能选b，c，d三条线段画三角形，如答案图第12题答案第12题答案123456789101112131413. 如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的两侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE.（1） 试说明：△ABC≌△DEF；解：（1） 因为BF＝CE，所以BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF第13题1234567891011121314（2） 指出图中所有平行的线段，并说明理由.解：（2） AB∥DE，AC∥DF 理由：因为△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. 所以AB∥DE，AC∥DF.第13题123456789101112131414. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝ED，AC＝AD.（1） ∠B与∠E相等吗？为什么？解：（1） ∠B＝∠E 在△ABC和△AED中， 所以△ABC≌△AED. 所以∠B＝∠E第14题1234567891011121314（2） 若F为CD的中点，则AF与CD有怎样的位置关系？请说明理由.解：（2） AF⊥CD 理由：因为F为CD的中点，所以CF＝DF. 在△ACF和△ADF中， 所以△ACF≌△ADF.所以∠AFC＝∠AFD. 又因为∠AFC＋∠AFD＝180°，所以∠AFC＝∠AFD＝90°.所以AF⊥CD.第14题1234567891011121314(共31张PPT)第四章总结提升第四章 三 角 形01体系构建02考点突破03素养提升目录考点一 三角形的概念及其性质1. 下列不能组成三角形的一组线段是（ C ）A. a＝b＝10cm，c＝1cmB. a＝b＝c＝6cmC. a＝3cm，b＝4cm，c＝7cmD. a＝2cm，b＝4cm，c＝5cmC123456789101112131415161718192021222. （2024·陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上的高和中线，则图中的直角三角形共有（ C ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个第2题C123456789101112131415161718192021223. 如图，∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠DCB＝45°.若AC，BD相交于点E，则∠AED的度数为（ B ）A. 110° B. 105° C. 95° D. 75°第3题B123456789101112131415161718192021224. 两根木棒的长分别为2cm和4cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形.如果第三根木棒的长（单位：cm）为偶数，那么第三根木棒的长为 4 cm，三角形的形状是 等腰三角形 .5. 如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠M＋∠N的度数是 360° .第5题4 等腰三角形 360° 123456789101112131415161718192021226. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数.第6题解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝84°.因为CE平分∠ACB，所以∠BCE＝ ∠ACB＝ ×84°＝42°.因为CD⊥AB，所以∠BDC＝90°.所以∠BCD＝180°－∠BDC－∠B＝34°.所以∠DCE＝∠BCE－∠BCD＝42°－34°＝8°.因为DF⊥CE，所以∠CFD＝90°.所以∠CDF＝180°－∠CFD－∠DCF＝82°12345678910111213141516171819202122考点二 全等三角形的判定与性质7. （2024·牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件： 答案不唯一，如D E＝，使得AE＝CE.第7题答案不唯一，如DE＝ EF123456789101112131415161718192021228. 如图，A，E，B三点共线，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，则∠CEF的度数为 80° .第8题80° 12345678910111213141516171819202122解：（1） 因为CF∥AB，所以∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. 因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD. 在△BDE和△CDF中， 所以△BDE≌△CDF第9题9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.（1） 试说明：△BDE≌△CDF；12345678910111213141516171819202122（2） 当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长.解：（2） 因为△BDE≌△CDF，所以BE＝CF＝2.所以AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ABD和△ACD中，所以△ABD≌△ACD. 所以AC＝AB＝3第9题12345678910111213141516171819202122考点三 全等三角形的应用10. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角尺，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20cm，厚2cm，则两摞书之间的距离DE为 24 cm.24 第10题1234567891011121314151617181920212211. 如图，某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河宽.他们是这样做的：① 在河流一岸的点B处，选对岸正对的一棵树A；② 沿河岸直走20 m有一棵树C，继续直走20 m到达点D处；③ 从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时停止行走；④ 测得DE的长为5 m.第11题12345678910111213141516171819202122（1） 河的宽度是 5 m；（2） 请你说明他们做法的正确性.解：由题意，得BC＝DC＝20m，AB⊥BD，ED⊥BD. 所以∠ABC＝∠EDC＝90°.在△ABC和△EDC中，所以△ABC≌△EDC.所以AB＝ED，即他们的做法是正确的5 第11题1234567891011121314151617181920212212. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ A ）A. ∠A＝∠B＝3∠CB. ∠A＋∠B＝∠CC. ∠A＝∠B＝ ∠CD. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3A1234567891011121314151617181920212213. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为12，BD＝3，则△BDE中BD边上的高为（ D ）A. 1 B. 4 C. 3 D. 2第13题D1234567891011121314151617181920212214. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE. 连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H. 有下列结论：① △ABC≌△EDC；② △BCF≌△DCG；③ ∠DHF＝60°.其中，正确的有（ D ）A. 0个 B. 1个第14题DC. 2个 D. 3个1234567891011121314151617181920212215. 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE. 点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿B→C→D→A运动，设点P的运动时间为t秒.当△ABP和△DCE全等时，t的值为（ C ）A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7第15题C1234567891011121314151617181920212216. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF. 若AF＝5，则DC的长为 5 .第16题5 1234567891011121314151617181920212217. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD，连接AC，BD交于点M，连接OM. 甲、乙两人的说法如下，甲：AC＝BD；乙：∠CMD＜∠COD. 其中判断正确的是 甲 （填“甲”或“乙”）.第17题甲 1234567891011121314151617181920212218. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD，AB交CD于点G，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD. 若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为 5 .第18题5 1234567891011121314151617181920212219. 如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于点G，有下列结论：① ∠CEG＝2∠DCB；② CA平分∠BCG；③ ∠ADC＝∠GCD；④ ∠DFB＝ ∠CGE. 其中，正确的是 ①③④ （填序号）.第19题①③④ 1234567891011121314151617181920212220. 如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F.（1） 若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；解：（1） 因为AD∥BC，AB⊥BC，所以∠ABC＝∠BAD＝90°.因为 DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠BFA＝∠AED＝90°.所以∠ABF＋∠BAF＝∠BAF＋∠DAE＝90°.所以∠ABF＝∠DAE. 因为AB＝AD，所以△ABF≌△DAE.所以∠ABF＝∠DAE＝63°.因为∠AED＝90°，所以∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－63°＝27°第20题12345678910111213141516171819202122（2） 请写出线段BF，EF，DE三者之间的数量关系，并说明理由.解：（2） BF＋EF＝DE 理由：因为△ABF≌△DAE，所以BF＝AE，DE＝AF. 所以AF＝DE＝AE＋EF＝BF＋EF.第20题1234567891011121314151617181920212221. 如图，一个大型模板的设计要求是模板的边BA和边CD的延长线相交成50°角，边DA和边CB的延长线相交成30°角.如果通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数来判断模板是否合格，那么当模板中的∠D与∠B的度数相差多少时，模板才有可能合格？第21题12345678910111213141516171819202122解：当模板合格时，延长BA，交CD的延长线于点E，则∠E＝50°.延长DA，交CB的延长线于点F，则∠F＝30°.由三角形的内角和等于180°，得∠CBE＋∠C＋∠E＝180°，∠CDF＋∠C＋∠F＝180°.所以∠CBE＝180°－（∠E＋∠C）＝180°－（50°＋∠C）＝130°－∠C，∠CDF＝180°－（∠F＋∠C）＝180°－（30°＋∠C）＝150°－∠C. 因为∠CDF－∠CBE＝150°－∠C－（130°－∠C）＝20°，所以∠CDF比∠CBE大20°.所以当模板中的∠CDF比∠CBE大20°时，模板才有可能合格1234567891011121314151617181920212222. 如图①所示是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，深受广大人民的喜爱.如图②，它的支架我们可以看成△ABC，为了使其更加牢固，小明增加了AE，DE两根支架.若∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，DE⊥AB，AE与CE的夹角为60°.第22题12345678910111213141516171819202122（1） 求∠B的度数；解：（1） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，所以∠BAC＋∠B＝2∠B＋∠B＝90°.所以∠B＝30°第22题12345678910111213141516171819202122（2） 在不添加辅助线的前提下写出图中的全等三角形，并选择一对说明理由.解：（2） △ACE≌△ADE，△ACE≌△BDE，△ADE≌△BDE 选择不唯一，如△ACE≌△ADE 理由：在Rt△ACE中，∠C＝90°，∠AEC＝60°，所以∠CAE＝30°.由（1）知，∠B＝30°，所以∠BAC＝90°－30°＝60°.所以∠DAE＝∠BAC－∠CAE＝30°.所以∠CAE＝∠DAE. 因为DE⊥AB，所以∠ADE＝90°＝∠C. 在△ACE和△ADE中，所以△ACE≌△ADE.第22题12345678910111213141516171819202122 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2 全等三角形.pptx 4 利用三角形全等测距离.pptx 小专题（七） 三角形的“三线”.pptx 小专题（九） 全等三角形的常见模型.pptx 小专题（八） 全等三角形的性质与判定的综合应用.pptx 第四章总结提升.pptx 阶段训练（1）.pptx 第1课时 三角形及其内角和.pptx 第2课时 三角形的三边关系.pptx 第3课时 三角形的高线、中线、角平分线.pptx 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等.pptx 第2课时 利用“角边角”或“角角边”判定三角形全等.pptx 第3课时 利用“边角边”判定三角形全等.pptx
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