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(共38张PPT)
第五章总结提升
第五章　图形的轴对称
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一　轴对称及轴对称图形
1. （2024·赤峰）下列标志中，属于轴对称图形的是（　A　）
A B C D
A
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2. 如图，是轴对称图形的有 　①③④　，其中对称轴条数最多的是 　①　，只有一条对称轴的是 　④　（填序号）.
第2题
①③④　
①　
④　
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3. 如图，图中的涂色三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
第3题
解：涂色三角形与三角形①和③成轴对称　整个图形是轴对称图形　它共有2条对称轴
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考点二　轴对称的性质及应用
4. 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，有下列结论：① △ABC≌△A'B'C'；② ∠BAC'＝∠B'AC；③ l垂直平分CC'；④ 直线BC和B'C'的交点不一定在l上.其中，正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题
C
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5. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD与△BED关于BD所在直线对称，则△ADE的周长为 　7　cm.
第5题
7　
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6. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，点B，C均落于边BC上的点Q处，MN，EF为折痕.若∠A＝80°，则∠MQE＝ 　80　°.
第6题
80　
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7. 如图，画出△ABC关于直线l的对称图形，标注字母并简要说明.
第7题 第7题答案
解：如图，分别作出点A，B关于直线l的对称点，进而得出△A'B'C，△A'B'C即为所求
第7题答案
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考点三　常见的轴对称图形的性质
8. （2024·凉山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC＋BC等于（　C　）
A. 25cm B. 45cm C. 50cm D. 55cm
第8题
C
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9. 如图，F是等腰三角形ABC的底边BC延长线上的一点，FD⊥AB于点D，交AC于点E. 若∠F＝35°，则∠A的度数为（　C　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第9题
C
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10. 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（　A　）
A. AB＝2CM B. EF⊥AB
C. AE＝BE D. AM＝BM
第10题
A
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11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝
∠2，BC＝12，BD＝8，则点D到AB的距离为 　4　.
第11题
4　
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12. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，∠BCD的度数为 　33°　.
第12题
33°　
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13. 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE. 若CD＝11，△ADE的周长为17，则BD的长为 　6　.
第13题
6　
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14. 如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.
（1） 若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
解：（1） 因为∠AFD＝155°，所以∠DFC＝180°－∠AFD＝25°.因为DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠AED＝90°.在Rt△FDC中，∠C＝180°－∠FDC－∠DFC＝65°.
因为AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°.
所以∠EDF＝360°－∠A－∠AFD－∠AED＝50°
第14题4题答案
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（2） 若F是AC的中点，试说明：∠CFD＝ ∠ABC.
第14题答案
解：（2） 如图，连接BF. 因为AB＝BC，F是AC的中点，所以BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝ ∠ABC. 所以∠CFD＋∠BFD＝90°.因为DF⊥BC，所以∠BDF＝90°.所以∠CBF＋∠BFD＝90°.所以∠CFD＝∠CBF. 所以∠CFD＝ ∠ABC
第14题4题答案
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15. 在四个“米”字格的正方形内涂色，其中属于轴对称图形且对称轴条数最多的是（　B　）
A B C D
B
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16. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，如图①所示为老师画出的第一步，图②③分别是甲、乙两名同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹（　C　）
第16题
A. 甲正确 B. 乙正确
C. 都正确 D. 都不正确
C
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17. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，F是BC的中点，连接AF，若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则S△AFC为（　A　）
A. 7.5 B. 12 C. 15 D. 30
第17题
A
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18. 如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC. 若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　B　）
A. 6 B. 9
C. 12 D. 以上都不对
第18题
B
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19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M，AE＝CE，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G. 若CG＝FG，则∠B的度数为（　A　）
A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°
第19题
A
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20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，则∠E＝ 　30°　.
第20题
30°　
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21. （2024·绥化）如图，∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N分别为射线OA，OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ 　80°　.
第21题
80°　
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22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC. 分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF. 以点A为圆心，AF的长为半径画弧，交BC的延长线于点H，连接AH. 若BC＝4，则△AFH的周长为 　8　.
第22题
8　
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23. 如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O. 若∠1＝39°，则∠AOC＝ 　78°　.
第23题
78°　
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24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，沿EF折叠△ABC，使点C与点O重合，则∠BEO的度数是 　64　°.
第24题
64　
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25. 如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝80°.当DE⊥AC，垂足为F时，求∠BAD和∠EDC的度数.
第25题
解：因为AD＝AE，DE⊥AC，∠DAE＝80°，所以∠DAF＝∠EAF＝ ∠DAE＝40°，∠ADE＝∠E＝ ×（180°－∠DAE）＝50°.因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝∠BAC＝∠C＝60°.所以∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝20°.
所以∠ADB＝180°－（∠B＋∠BAD）＝100°.
所以∠ADC＝180°－∠ADB＝80°.
所以∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝30°
25
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27
28
26. 如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上.
第26题
（1） 作△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称；
解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求作
第26题答案
25
26
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（2） 求△ABC的面积；
解：（2） △ABC的面积为3×4－ ×4×2－ ×2×1－ ×2×3＝4
（3） 在直线l上找一点P，使点P到点A，B的距离之和最短（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）.
解：（3） 如图，连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作
第26题
第26题答案
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26
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27. 如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD.
第27题
（1） 若∠B＝40°，求∠ACD的度数；
25
26
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解：（1） 如图，连接BD并延长，交AC于点H. 因为DF，DE分别为AB，BC边的垂直平分线，所以DA＝DB，DC＝DB. 所以∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC. 所以∠ADH＝180°－∠ADB＝180°－（180°－∠DAB－∠DBA）＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA. 同理，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC. 所以∠ADC＝∠ADH＋∠CDH＝2∠DBA＋2∠DBC＝2∠ABC＝80°.
因为DA＝DB，DC＝DB，所以DA＝DC.
所以∠ACD＝∠CAD＝ （180°－∠ADC）
＝50°
第27题答案
25
26
27
28
（2） 判断∠ABC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由.
第27题答案
解：（2） ∠ABC＋∠ACD＝90°　理由：因为∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，∠ACD＝∠CAD，∠ADC＝2∠ABC，所以2∠ACD＋2∠ABC＝180°.所以∠ABC＋∠ACD＝90°.
第27题
25
26
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28
28. 如图，O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别交于点E，F，连接OE，OF，且MN＝5cm.
第28题
25
26
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28
（1） 求△OEF的周长；
解：（1） 由M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，得ME＝EO，FN＝FO. 所以△OEF的周长为OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN＝MN＝5cm
第28题
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28
（2） 连接PM，PN，判断△PMN的形状，并说明理由；
解：（2） △PMN是等腰三角形　理由：如图，连接PO. 由M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，得PM＝PO，PO＝PN. 所以PM＝PN. 所以△PMN是等腰三角形.
第28题
第28题答案
25
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28
（3） 若∠APB＝α，求∠MPN的度数（用含α的代数式表示）.
第28题答案
解：（3） 由M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，得∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN. 因为∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，所以∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO＝α.所以∠MPN＝∠APM＋∠BPN＋∠APB＝α＋α＝2α
第28题
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28(共18张PPT)
2　简单的轴对称图形
第3课时　角平分线的性质及画法
第五章　图形的轴对称
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝6，F是射线OB上的任意一点，则DF的长不可能是（　A　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第1题
A
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4
5
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14
2. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于点H. 若GH＝2，则△ABC的面积为（　C　）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
第2题
C
1
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3
4
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14
3. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是（　C　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
第3题
C
1
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4
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14
4. （2024·云南）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为 　3　.
5. （2024·湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N. 若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝ 　6　.
3　
6　
第5题
1
2
3
4
5
6
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14
6. （教材P132例3变式）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6.
第6题
（1） 根据要求用尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1） 如图，AD即为所求
第6题答案
1
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13
14
（2） 在（1）的条件下，CD＝1，求△ADB的面积.
　第6题答案
解：（2） 如图，过点D作DE⊥AB于点E. 因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，所以DE＝CD＝1.又因为AB＝6，所以△ADB的面积＝ AB·DE＝ ×6×1＝3
第6题
第6题答案
1
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7. 如图，四边形ACBD为李伯伯承包的一块土地，他请小亮帮忙测量这块土地的面积，先量得AC的长为120m，BC的长为60m，BD的长为240m，当要测量AD的长度时，小亮说：“不用量了，我已经测得BA恰好平分∠CBD，公路AC和BC是互相垂直的，有了这些条件，就能求出这块土地的面积了.”小亮说得对吗？如果对，请计算这块土地的面积；如果不对，请说明理由.
第7题 第7题答案
1
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14
解：小亮说得对　如图，过点A作AE⊥BD于点E. 因为AC⊥BC，BA平分∠CBD，所以AE＝AC＝120m.所以S△ACB＝ AC·BC＝3600m2，S△ABD＝ BD·AE＝14400m2.所以这块土地的面积为S△ACB＋S△ABD＝3600＋14400＝18000（m2）
第7题答案
1
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6
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14
8. 如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α的度数为（　C　）
A. 66° B. 77° C. 78° D. 101°
第8题
C
1
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9. 如图，∠CBG的平分线BD与∠BCF的平分线CE相交于点P. 若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第9题
D
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10. 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有 　4　处.
第10题
4　
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11. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，连接AO，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别是D，E. 若△ABC的面积是16，周长是10，则OD的长是 　3.2　.
第11题
3.2　
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12. 如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC. 试说明：OB＝OC.
第12题
解：因为AO平分∠BAC，CE⊥AB，BD⊥AC，所以OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.在△OBE和△OCD中，
所以△OBE≌△OCD.
所以OB＝OC
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13. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线.若AB＝23，AC＝8.6，DE＝6，求△ADF的面积.
第13题 第13题答案
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解：如图，过点D作DM⊥AB，垂足为M. 因为AD是△ABC的角平分线，DM⊥AB，DE⊥AC，所以DM＝DE＝6.所以S△ABD＝ AB·DM＝ ×23×6＝69，S△ACD＝ AC·DE＝ ×8.6×6＝25.8.所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝69＋25.8＝94.8.因为AF是△ABC的中线，所以S△ACF＝ S△ABC＝ ×94.8＝47.4.所以S△ADF＝S△ACF－S△ACD＝47.4－25.8＝21.6
第13题答案
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14. 如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P在OE上，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N，则线段PM与PN之间有什么数量关系？请说明理由.
第14题
解：PM＝PN　理由：因为OE平分∠AOB，所以∠COE＝∠DOE. 在△COE和△DOE中，
所以△COE≌△DOE. 所以∠CEO＝∠DEO.
所以EO是∠CED的平分线.又因为PM⊥CE，
PN⊥DE，所以PM＝PN.
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14(共11张PPT)
小专题（十）　简单的轴对称图形的性质应用
第五章　图形的轴对称
类型一　等腰三角形的性质的应用
1. 如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，试说明：∠C＝2∠D.
第1题
解：因为AB＝AC＝AD，所以∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. 因为∠ABC＝∠CBD＋∠ABD，所以∠ABC＝∠CBD＋∠D. 因为AD∥BC，所以∠CBD＝∠D. 所以∠ABC＝2∠D. 又因为∠C＝∠ABC，所以∠C＝2∠D
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2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AM＝AC，BN＝BC.
（1） 当∠A＝30°时，求∠MCN的度数.
解：（1） 因为∠A＝30°，AM＝AC，所以∠AMC＝ ×（180°－∠A）＝75°.因为∠ACB＝90°，所以∠B＝90°－∠A＝60°.因为BC＝BN，所以∠CNB＝ ×（180°－∠B）＝60°.
所以∠MCN＝180°－∠AMC－∠CNB
＝180°－75°－60°＝45°
第2题
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（2） 当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化？请说明理由.
解：（2） 当∠A的度数变化时，∠MCN的度数不变　理由：因为∠ACB＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.因为AM＝AC，BN＝BC，所以∠AMC＝ ×（180°－∠A），∠CNB＝ ×（180°－∠B）.所以∠MCN＝180°－∠AMC－∠CNB
＝180°－ ×（180°－∠A）－ ×（180°－∠B）
＝ （∠A＋∠B）＝45°.所以当∠A的度数变化
时，∠MCN的度数不变.
第2题
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类型二　线段垂直平分线的性质的应用
3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°.试说明：BE＝AC.
第3题
解：连接AE. 因为∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，所以∠ADC＝180°－∠DAC－∠ACB＝180°－24°－66°＝90°，即AD⊥EC. 因为D为CE的中点，所以AD是线段CE的垂直平分线.
所以AE＝AC. 因为EF垂直平分AB，所以AE＝BE.
所以 BE＝AC
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4. 如图，C，D是线段AB的垂直平分线上的两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC，交DE于点F，连接AD. 试说明：
（1） AB是∠CAF的平分线；
解：（1） 因为C是线段AB垂直平分线上的点，所以CB＝CA.
所以∠CBA＝∠CAB. 因为AF∥BC，所以∠BAF＝∠CBA.
所以∠BAF＝∠CAB，即AB是∠CAF的平分线
第4题
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（2） ∠E＝∠FAD.
解：（2） 因为D是线段AB垂直平分线上的点，所以DB＝DA. 所以∠DBA＝∠DAB. 因为∠E＋∠CAB＝180°－∠ABE，∠DBA＝180°－∠ABE，所以∠DBA＝∠E＋∠CAB. 因为∠DAB＝∠FAD＋∠BAF，所以∠E＋∠CAB＝∠FAD＋∠BAF. 又因为∠CAB＝∠BAF，所以∠E＝∠FAD
第4题
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类型三　线段垂直平分线的性质与等腰三角形的综合应用
5. 在△ABC中，AB＝AC，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交射线CB于点E，连接AE.
（1） 如图①，当点E在CB边上时，若∠BAE＝15°，求∠ABC的度数；
解：（1） 因为DE垂直平分AC，所以EA＝EC. 所以∠C＝∠EAC. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 所以
设∠B＝∠C＝∠EAC＝x°.在△ABC
中，x＋x＋x＋15＝180，解得x＝55.
所以∠ABC＝55°
第5题
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（2） 如图②，当点E在CB的延长线上时，设∠EAB＝m°，用含m的式子表示∠ABC的度数为 　（ 60＋ ）　°.
第5题
（ 60＋ ）　
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类型四　角平分线的性质的应用
6. 如图①，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＝DF.
第6题
探究发现：如图②，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”.若∠AED＋∠AFD＝180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请说明理由；若不相等，请举例子说明.
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解：DE＝DF　理由：如图②，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N. 因为AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，所以∠DME＝∠DNF＝90°，DM＝DN. 因为∠AED＋∠AFD＝180°，∠AFD＋∠DFN＝180°，所以∠DFN＝∠AED. 在△DME和△DNF中，
所以△DME≌△DNF. 所以DE＝DF.
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6(共17张PPT)
1　轴对称及其性质
第五章　图形的轴对称
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材P125习题5.1第1题变式）（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（　C　）
A B C D
C
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2. 小明用两个形状、大小完全相同的茄子设计了下列四幅图，每幅图中两个茄子成轴对称的是（　B　）
A B
C D
B
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3. （2024·河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是C，D，连接AC，BD. 下列结论不一定正确的是（　A　）
A. AD⊥BC B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD
第3题
A
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4. 如图，轴对称图形有 　3　个，其中对称轴最多的轴对称图形有 　4　条对称轴.
第4题
3　
4　
5. （教材P126习题5.1第3题变式）如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 　130°　.
第5题
130°　
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6. （教材P124随堂练习第1题变式）下列图形中，哪些是轴对称图形？写出图形的序号，并画出它们所有的对称轴.
第6题
解：②③⑤⑥⑧　画对称轴略
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7. （教材P124随堂练习第3题变式）按要求作图：
（1） 如图①，把该图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形；
解：（1） 如图①所示
第7题 第7题答案
第7题答案
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（2） 如图②，作四边形ABCD关于直线l对称的图形.
解：（2） 如图②所示
第7题 第7题答案
第7题答案
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8. 在一次数学实践活动课上，同学们进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涵三名同学的折纸示意图（点C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　B　）
第8题
B
A. 小睿折出的是BC边上的中线
B. 小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C. 小涵折出的是△ABC中BC边上的高
D. 以上说法都错误
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9. 如图，在△ABC中，点D在BC上，分别以AB，AC为对称轴，作出点D的对称点E，F，并连接AE，AF. 根据图中标注的角度，可得∠EAF的度数为（　D　）
A. 113° B. 124°
C. 129° D. 130°
第9题
D
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10. （2024·甘肃）围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两名同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方若落子于点 　答案不唯一，如A　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形（填写“A”“B”
“C”“D”中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）.
第10题
答案不唯
一，如A　
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11. 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成的图形为轴对称图形，并画出对称轴.
第11题 第11题答案
解：如图所示
第11题答案
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12. 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E，F. 若△PEF的周长等于20cm，求MN的长.
第12题
解：因为M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，所以ME＝PE，NF＝PF. 所以MN＝ME＋EF＋FN＝PE＋EF＋PF
＝△PEF的周长.因为△PEF的周长等于20cm，
所以MN＝20cm
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13. 如图，O为△ABC内部一点，OB＝3，P，R分别是点O关于直线AB，BC的对称点.
第13题
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13
（1） 当∠ABC为多少度时，PR＝6？请说明理由.
解：（1） 当∠ABC＝90°时，PR＝6　理由：如图，连接BP，BR. 因为点P，O关于直线AB对称，所以PB＝OB＝3，∠PBA＝∠OBA. 因为点R，O关于直线BC对称，所以RB＝OB＝3，∠RBC＝∠OBC. 因为∠ABC＝90°，所以∠PBA＋∠OBA＋∠OBC＋∠RBC＝2（∠OBA＋∠OBC）＝2∠ABC＝180°.所以P，B，R三点在同一条直线上.所以PR＝PB＋BR＝3＋3＝6.
第13题
第13题答案
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（2） 当∠ABC不是（1）中的角度时，PR的长是小于6还是大于6？为什么？
第13题答案
解：（2） PR的长小于6　当∠ABC≠90°时，P，B，R三点不在同一条直线上，所以PB＋BR＞PR. 因为PB＋BR＝2OB＝2×3＝6，所以PR＜6
第13题
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13(共19张PPT)
2　简单的轴对称图形
第1课时　等腰三角形的性质
第五章　图形的轴对称
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，如果∠B＝70°，那么下列结论中，错误的是（　D　）
A. ∠CAD＝20°
B. AD⊥BC
C. △ABD的面积是△ABC面积的一半
D. △ABD的周长是△ABC周长的一半
第1题
D
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2. 如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与AC边交于点E，连接DE，则∠ADE的度数为（　C　）
A. 60° B. 105° C. 75° D. 15°
第2题
C
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3. （2024·兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数为（　B　）
A. 100° B. 115°
C. 130° D. 145°
第3题
B
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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD
的三等分点.若△ABC的面积为120cm2，则图中涂色部分的面积为
　 60　cm2.
第4题
60　
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5. （教材P128随堂练习第2题变式）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平.当铅垂线经过等腰三角形底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的.利用的几何性质是 　等腰三角形“三线合一”　.
第5题
等腰三
角形“三线合一”　
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6. （教材P133习题5.2第1题变式）如图①②中的△ABC都是等腰三角形，且AB＝AC，它们均有一部分被木板遮住了，请你算出它们被遮住的顶角或底角的度数.
第6题
解：图①中，∠A＝180°－45°×2＝90°.图②中，∠C＝（180°－120°）÷2＝30°
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7. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC.
（1） 若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长；
解：（1） 因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，所以AD⊥BC. 因为△ABC的面积是20，且BC＝4，所以 BC·AD＝20.所以 ×4×AD
＝20.所以AD＝10
第7题
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（2） 若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数.
解：（2） 因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝ （180°－∠CAB）＝70°.因为CE是△ABC的角平分线，所以∠ACE＝ ∠ACB＝35°
第7题
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8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD. 若∠ACD＝20°，则∠A的度数是（　B　）
A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°
第8题
B
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9. 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD，则下列结论错误的是（　D　）
A. ∠ABD＝30° B. ∠BDE＝120°
C. ∠CED＝30° D. DE＝AB
第9题
D
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10. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的“特征值”k＝ 　 或 　.
或 　
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第11题
（1） 整个图形是轴对称图形吗？若是，请画出它的对称轴；若不是，请说明理由.
解：（1） 整个图形是轴对称图形　如图所示
11. 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且BC∥DE，BC分别交AD，AE于点F，G.
第11题答案
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（2） 若∠D＝75°，∠BAC＝140°，求∠DAE，∠C，∠FAC的
度数.
第11题答案
解：（2） 因为△ABC与△ADE都是等腰三角形，所以∠E＝∠D＝75°，∠B＝∠C. 所以∠DAE＝180°－∠D－∠E＝30°，∠C＝ （180°－∠BAC）＝20°.因为整个图形是轴对称图形，所以∠BAF＝∠GAC＝ （∠BAC－∠DAE）＝55°.
所以∠FAC＝∠DAE＋∠GAC＝30°＋55°
＝85°
第11题
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12. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接AD，BE相交于点O，BE与AC相交于点P. 试说明：∠AOB＝60°.
第12题
解：因为△ABC和△CDE均是等边三角形，所以AC＝BC，CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°.所以∠DCE＋∠ACE＝∠ACB＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， 所以△ACD≌△BCE.
所以∠CAD＝∠CBE. 所以∠AOB＝180°－
∠BAO－∠ABO＝180°－∠BAC－∠CAD－
∠ABO＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°
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13. 问题：如图，在△ABD中，BA＝BD. 在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC. 若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数.
答案：∠DAC＝45°.
思考：（1） 如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由.
第13题
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解：（1） ∠DAC的度数不会改变
理由：因为EA＝EC，所以∠EAC＝∠C①.因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠BDA. 因为∠BAE＝90°，所以∠B＝90°－∠AED＝90°－（180°－∠AEC）＝90°－（∠EAC＋∠C）＝90°－2∠C. 所以∠BAD＝ （180°－∠B）＝ [180°－（90°－2∠C）]＝45°＋∠C. 所以∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－（45°＋∠C）＝45°－∠C②.由①②，得∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝45°－∠C＋∠C＝45°.
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（2） 如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数.
解：（2） 设∠ABC＝m°，则∠BAD＝ （180°－m°）＝90°－ m°，∠AEB＝180°－n°－m°.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋ m°.因为EA＝EC，所以∠CAE＝ （180°－∠AEC）＝ ∠AEB＝90°－ n°－ m°.
所以∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋ m°
＋90°－ n°－ m°＝ n°
第13题
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13(共18张PPT)
2　简单的轴对称图形
第2课时　线段垂直平分线的性质及画法
第五章　图形的轴对称
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材P129例2变式）如图，线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：① 分别以点A，B为圆心，b的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；② 作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线，则b的值可能是（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1题
D
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2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　B　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第2题
B
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3. （2024·眉山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　C　）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
第3题
C
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4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　40°　.
第4题
40°　
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5. 如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AD＝3cm.若△ABC的周长为18cm，则△BEC的周长为 　12　cm.
第5题
12　
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6. （教材P130随堂练习第2题变式）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.尺规作图：作斜边AC的中线（保留作图痕迹，不写作法）.
第6题
解：如图，BE即为所求作
第6题答案
第6题答案
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7. （教材P130随堂练习第1题变式）喜欢放风筝的小明打算自己制作一个风筝，如图是他自己设计的一个风筝的骨架图，为了保证风筝的对称性，点A，B必须在CD的垂直平分线上，小明现已用竹条做好了十字架，他量得AC＝60cm，BC＝90cm，则小明要想做好这个风筝，外围需要的竹条的长度最少为多少？
第7题
解：因为点A，B在线段CD的垂直平分线上，所以
AC＝AD，BC＝BD. 所以外围需要的竹条的长度最
少为AC＋AD＋BD＋BC＝2（AC＋BC）＝2×
（60＋90）＝300（cm）
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8. 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF＝5，CD＝4，则△ABC的周长为（　C　）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 16
第8题
C
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9. 如图，∠BAC＝100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为（　A　）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
第9题
A
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10. 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠B＝90°，BC＝AD，则∠C的度数为 　78°　.
第10题
78°　
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11. 如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 　9　.
第11题
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12. 如图，A，B表示两个仓库，要在仓库A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？作图表示并说明你的作法.
第12题 第12题答案
解：如图所示　连接AB，作AB的垂直平分线MN，则直线MN与仓库A，B一侧的河岸边的交点为建造码头的位置
第12题答案
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13. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为6.
（1） 求BC的长.
解：（1） 因为l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分线，所以AD＝BD，EA＝EC. 因为△ADE的周长为6，所以AD＋DE＋EA＝6.所以BD＋DE＋EC＝6，即BC＝6
第13题
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（2） 分别连接OA，OB，OC. 若△OBC的周长为16，求OA的长.
解：（2） 因为l1是线段AB的垂直平分线，所以OA＝OB. 因为l2是线段AC的垂直平分线，所以OA＝OC. 所以OA＝OB＝OC. 由（1），得BC＝6.因为△OBC的周长为16，所以OB＋OC＝16－6＝10.所以OA＝OB＝OC＝5
第13题
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14. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°.
（1） 尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
解：（1） 如图①所示
第14题
第14题答案
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（2） 连接BD，试说明：BD平分∠CBA.
解：（2） 如图②.因为∠C＝60°，∠A＝40°，所以∠CBA＝180°－∠C－∠A＝80°.因为DE是AB的垂直平分线，所以DA＝DB. 所以∠DBA＝∠A＝40°.所以∠DBA＝ ∠CBA. 所以BD平分∠CBA
第14题
第14题答案
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