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陕西榆林市部分学校2026届高三模拟预测数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下面公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．已知函数则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
6．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P(0，6)，O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（ ）
A．3x+4y﹣4=0 B．4x+3y﹣4=0
C．4x+5y﹣4=0 D．5x+4y﹣4=0
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下面统计了某公司近6年经营情况，得出科研经费与产品的收益数据如下：
科研经费x（单位：万元） 2 4 5 7 8 10
产品收益y（单位：万元） 73 m 84 94 101 110
若产品收益y关于科研经费x的经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．产品收益数据的第60百分位数为94
C．产品收益数据的方差大于其极差
D．预测科研经费为16万元时，产品收益约为138.57万元
10．已知椭圆的长轴的端点是双曲线的焦点，且椭圆的焦点在双曲线上，则（ ）
A．椭圆的一个焦点坐标是 B．椭圆的长轴长为2
C．椭圆的离心率是 D．椭圆的离心率是
11．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，的最小正周期是___________.
13．数列中，为数列的前项和，且，，则这个数列前项和公式________.
14．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．如图，三棱锥中，
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
16．已知在中，角所对的边分别为，，且的外接圆的直径为2.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
17．已知双曲线E:的渐近线方程为，焦距为，作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为的中点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）求直线l的方程.
18．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)试比较与的大小，并说明理由；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
19．对于数列，若存在正整数k，，都有，则称数列为“k倍递增数列”.
(1)在等比数列中，，，判断数列是否为“3倍递增数列”？并说明理由；
(2)若等差数列为“2倍递增数列”，且，求的公差d的取值范围；
(3)若数列是一个5项的“1倍递增数列”，且（，2，3，4，5），记X表示的值，求X的分布列与数学期望.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B D D C B BCD AD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15．（1）证明见解析（2）
【详解】（1）取中点，连结，，，
，，为直角，，
平面，平面，∴面面.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，
可取为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为.
则，其中，
，不妨取，则.
.
为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
16．(1)
(2).
【详解】（1）由题意知，
所以，
即，
解得（舍去）或，
又，
所以.
（2）由题意及正弦定理得，
所以，
因为的面积，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的周长为.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）由双曲线E:的渐近线方程为：.
又双曲线E的渐近线方程为.
所以又焦距为，即所以.
又在双曲线中.
解得.
双曲线E的方程为.
（2）设,
设直线l方程为：.
由，得
∴ …①
∴，
由为的中点，得解得，
当时满足①
∴直线l的方程为，即
18．(1)，证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题可知：，
，而直线的斜率，
所以有，解得：或，
又因为函数在处有意义，所以，故，
所以，，
时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
即，
即有，
所以.
（2）不妨设，
所以有，
化简得
即，，
要证，即证，
即证，因为，
所以即证：，
即，
设，因为，所以，
即证 ()
设()，
，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
即，即.
19．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）设等比数列的公比为q，由，得，解得，，
数列不是“3倍递增数列”.
由，得，，，
即，不满足定义，
所以数列不是“3倍递增数列”.
（2）依题意，，则，
由为“2倍递增数列”，得对于任意的，单调递增，
则，即，解得或，
当时，令，得，，
则当，即时，单调递增，
又，因此对于任意的，单调递增，符合题意；
当时，单调递增，符合题意，
所以数列的公差d的取值范围为.
（3）由（），知的最小值为0，最大值为5，
若时，或，则，，，，
所以，或，或，或，
此时满足条件的数列共有个；
若时，则，则或4，
①当时，或，则，，，
所以，或，或，
此时满足条件的数列共有个；
②当时，，则或2，
ⅰ°若，则，此时或1.当时，，则，或，
所以或；当时，则或，，所以；
ⅱ°若，所以或，则，，即或，，
此时满足条件的数列共有；
由上可知，满足条件的数列共有，
X的可能取值为1，9，10，
，，，
所以X的分布列为
X 1 9 10
P
故.

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