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(共15张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.4　定　理
第2课时　多边形的内角和、外角和定理
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. （2025·云南）一个六边形的内角和等于（　C　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
2. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　A　）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
3. （2024·济南）若正多边形的一个外角的度数是45°，则这个正多边形是（　C　）
A. 正六边形 B. 正七边形
C. 正八边形 D. 正九边形
C
A
C
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4. （2025·眉山）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为（　C　）
A. 216° B. 180° C. 144° D. 120°
C
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5. n边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小 　180　°（n为整数，且n≥3）.
6. （2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的度数为 　36　°.
180　
36　
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7. （新情境·热点信息）（2025·姑苏区段考）2025苏州马拉松奖牌秉持“挂奖牌，掀花窗，览姑苏”的设计理念，融合“八面玲珑”的造型与“苏式园林移步换景”的层次感，突出三层画面叠加的立体美学.如图①所示的奖牌，其轮廓是一个正八边形，图②是奖牌的示意图，它的一个外角∠1的度数为 　45°　.
45°　
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8. （新情境·科技民生）（2024·吴江区期中）如图，某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转.某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 　8　米.
8　
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9. 如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且AB∥EC，那么∠DEC与∠DCE相等吗？为什么？
第9题
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解：∠DEC＝∠DCE　∵ 五边形的内角和是（5－2）×180°＝540°，且每个内角都相等，∴ 每个内角的度数为540°÷5＝108°，即∠A＝∠AED＝∠D＝108°.∵ AB∥EC，∴ ∠A＋∠AEC＝180°，∴ ∠AEC＝180°－∠A＝180°－108°＝72°，∴ ∠DEC＝∠AED－∠AEC＝108°－72°＝36°.∵ △DEC的内角和为180°，∴ ∠DCE＝180°－∠DEC－∠D＝180°－36°－108°＝36°，∴ ∠DEC＝∠DCE
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10. （2025·高新区段考）如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（　A　）
A. 四边形 B. 五边形 C. 十边形 D. 三角形
11. （易错题）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　D　）
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
A
D
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12. 如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB上的点，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6 的度数是（　C　）
A. 180° B. 240° C. 360° D. 540°
C
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13. （1） 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，则它的边数是 　7　；
（2） 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°，则这个多边形是 　十一　边形.
14. （2024·苏州工业园区段考）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是 　360°　.
7　
十
一　
360°　
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15. （2024·高新区段考）已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°.
（1） 该多边形是几边形？
解：（1） 设一个外角为x°.根据题意，得x＋4x＋30＝180，解得x＝30.
∴ 360°÷30°＝12，∴ 该多边形是十二边形
（2） 该多边形的内角和是多少？
解：（2） （12－2）×180°＝1800°，∴ 该多边形的内角和是1800°
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16. 如图，内角都相等的六边形A1A2A3A4A5A6的内部有一个内角都相等的五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过点B2，B3，求直线l与A1A2的夹角（即∠α）的度数.
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解：如图，设直线l交A1A2于点E，交A3A4于点D. ∵ 六边形A1A2A3A4A5A6的每个内角都相等，∴ ∠A2＝∠A3＝ ＝120°.∵ 五边形B1B2B3B4B5的每个内角都相等，∴ ∠B2B3B4＝ ＝108°，
∴ ∠B4B3D＝180°－108°＝72°.∵ A3A4∥B3B4，∴ ∠EDA3＝∠B4B3D＝72°.∵ 四边形A2A3DE的内角和为（4－2）×180°＝360°，∴ ∠α＝∠A2ED＝360°－∠A2－∠A3－∠EDA3＝360°－120°－120°－72°＝48°
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16(共21张PPT)
第12章　定义　命题　证明
第12章整合提升
01
考点突破
02
素养提升
目
录
考点一　定义与命题
1. 下列句子中，属于定义的是（　A　）
A. 多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角
B. 五边形的外角和为360°
C. 两点之间，线段最短
D. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
2. 下列语句是命题的为（　A　）
A. 互为相反数的两数之和为0 B. 过点A作直线MN的垂线
C. ∠1＝∠2吗 D. 取线段AB的中点
A
A
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3. （1） （2024·无锡）命题“若a＞b，则a－3＜b－3”是 　假　命题（填“真”或“假”）；
（2） 改写命题“等角的补角相等”：如果 　两个角相等　，那么 　这两个角的补角相等　.
假　
两个角相等　
这两个角的补
角相等　
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考点二　三角形内角和定理及其推论
4. 如图，直线a∥b，将△BCD按如图所示的方式放置，其中∠DCB＝90°.若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为（　A　）
A. 20° B. 40° C. 30° D. 25°
　　　　　 　　　　　
5. （2024·凉山）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　100°　.
A
100°　
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6. 如图，在△ABC中，∠A＝70°，D，E分别是边AC，AB上的点.若点P在△ABC的外部，则∠α，∠1，∠2之间的数量关系为 　∠2－∠1＝∠α－70°　.
7. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　80°或40°　.
∠2－∠1＝∠α－70°　
80°或40°　
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考点三　多边形的内角和、外角和定理
8. （2024·赤峰）如图所示为正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分.若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（　B　）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
B
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9. 如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接AB，BC，CD，DE，EA. 若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E的度数为（　D　）
A. 220° B. 240° C. 260° D. 280°
D
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10. （2024·重庆A卷）如果一个多边形的每一个外角都是40°，那么这个多边形的边数为 　9　.
11. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为 　540°　.
第11题
9　
540°　
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考点四　反证法与举反例
12. 已知五个正数的和等于5，用反证法证明这五个数中至少有一个大于或等于1，其中，第一步应假设 　这五个正数都小于1　.
13. 先判断下列命题的真假，若是真命题，请写出它的逆命题；若是假命题，请举反例说明.
（1） 如果三个自然数的积是偶数，那么这三个自然数中至少有一个是偶数；
解：（1） 真命题　逆命题：如果三个自然数中至少有一个是偶数，那么这三个自然数的积是偶数
这五个正数都小于1　
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（2） 在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
解：（2） 假命题　如图①，满足a∥b，b⊥c，但a与c不平行，∴ 该命题为假命题
（3） 相等的角是内错角.
解：（3） 假命题　反例不唯一，如图②，直线a与b相交于点O，∠1＝∠2（对顶角相等），但∠1与∠2不是内错角，∴ 该命题为假命题
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14. 对假命题“任何一个角的余角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　C　）
A. ∠α＝30°，∠α的余角∠β＝60°，∠β＞∠α
B. ∠α＝45°，∠α的余角∠β＝45°，∠β＝∠α
C. ∠α＝80°，∠α的余角∠β＝10°，∠β＜∠α
D. 互余的两个角有一条公共边
C
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15. （2025·苏州工业园区段考）如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE. 如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C的度数为（　B　）
A. 40° B. 60° C. 50° D. 55°
B
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16. 如图，D为△ABC边BC的延长线上一点.若∠A∶∠ABC＝3∶4，∠ACD＝140°，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，则∠M＝ 　30　°.
30　
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17. 如图所示为可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10°　.
减
少　
10°　
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18. 在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的n个点构成的点集称为“爱尔特希点集”.如图，四边形ABCD的四个顶点构成“爱尔特希点集”.若平面内存在一个点P与A，B，C，D四个点也构成“爱尔特希点集”，则∠APB的度数为 　72°或36°　.
72°或36°　
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19. （归纳思想）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）.
第19题
（1） 若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D，则∠D的度数为 　45°　；
（2） 若∠ABC＝ ∠ABN，∠BAD＝ ∠BAO，则∠D的度数为 　30°　；
45°　
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（3） 若将“∠MON＝90°”改为“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，且∠ABC＝ ∠ABN，∠BAD＝ ∠BAO，其余条件不变，则∠D＝ 　 　（用含α，n的代数式表示）.
　
第19题
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20. 在△ABC中，D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1） 如图①，∠B＝∠DAC，CE平分∠ACB，交AD于点F，交AB于点E. 求证：∠AEF＝∠AFE.
解：（1） ∵ CE平分∠ACB，∴ ∠ECB＝∠ACE. 又∵ ∠AEF＝∠B＋∠ECB，∠AFE＝∠FAC＋∠ACE，∠B＝∠FAC，∴ ∠AEF＝∠AFE
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（2） 在（1）的条件下，如图②，△ABC的外角∠ACQ的平分线CP交BA的延长线于点P，则∠P与∠CFD之间有怎样的数量关系？请给出证明.
解：（2） ∠P＋∠CFD＝90°　∵ CP是∠ACQ的平分线，∴ ∠ACP＝ ∠ACQ. ∵ ∠ACE＝ ∠ACB，∴ ∠ECP＝∠ACE＋∠ACP＝ （∠ACB＋∠ACQ）＝90°，∴ ∠P＋∠AEC＝90°.∵ ∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠CFD，∴ ∠AEF＝∠CFD，∴ ∠P＋∠CFD＝90°
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（3） 如图③，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠B＝∠CFD，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G. 求证：CE平分∠ACB.
解：（3） 延长PE交BC于点H，设PE交AC于点K. ∵ PE平分∠BPD，∴ ∠BPK＝∠KPF. 又∵ ∠EKC＝∠KPF＋∠PFA，∠EHC＝∠B＋∠BPK，∠B＝∠CFD＝∠PFA，∴ ∠EKC＝∠EHC. ∵ CE⊥KH，∴ ∠CEK＝∠CEH＝90°，∴ ∠EKC＋∠ECK＝90°，∠EHC＋∠ECH＝90°，∴ ∠ECK＝∠ECH，∴ CE平分∠ACB
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20(共16张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.4　定　理
第1课时　三角形内角和定理及其推论
01
基础过关
02
能力进阶
目
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03
思维拓展
1. （2025·南充）如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　D　）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
D
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2. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABD＝30°，BD平分∠ABC，则∠C的度数是（　C　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
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3. （2024·长沙）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　C　）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
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4. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC. 若∠B＝50°，则∠DCA的度数为 　40°　.
40°　
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5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，顶点A在EF上，顶点D在BC上，AB与DF交于点M. 若BC∥EF，则∠BMD的度数为 　75°　.
6. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则∠A的度数为 　30°　，∠B的度数为 　60°　，这是一个 　直角　三角形（按角分类）.
75°　
30°　
60°　
直角　
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7. 如图，D是△ABC的边BC上的一点，且∠ADC＝∠BAC. 求证：∠DAC＝∠B.
第7题
解：∵ ∠ADC是△ABD的外角，∴ ∠ADC＝∠B＋∠BAD. ∵ ∠ADC＝∠BAC，∴ ∠BAC＝∠B＋∠BAD. ∵ ∠BAC＝∠DAC＋∠BAD，
∴ ∠DAC＝∠B
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8. 在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数为（　B　）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 10°
9. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F. 若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（　B　）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°
B
B
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10. （2025·高新区段考）如图所示为由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠F的度数为（　C　）
A. 62° B. 152° C. 208° D. 236°
C
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11. 在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B的度数为 　60°　.
12. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. 若∠2＝70°，则∠1＋∠3＝ 　140　°.
60°　
140　
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13. （分类讨论思想）（2025·高新区段考）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”.若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝96°，∠B＞∠C，则∠B的度数为 　48°或56°　.
14. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB.
48°或56°　
（1） 若∠A＝40°，则∠BOC的度数为 　110°　；
（2） 求证：∠BOC＝90°＋ ∠A.
第14题
110°　
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解：∵ △ABC的内角和为180°，∴ ∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
∵ BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴ ∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∴ ∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝90°－ ∠A.
∵ △OBC的内角和为180°，∴ ∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－ ＝90°＋ ∠A
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15. （2025·苏州期末）如图，在△ABD中，∠BAD＝∠BDA，点E，C在BD的延长线上，连接AC，AE，且∠EAC＝∠ECA.
（1） 若∠BAE＝90°，求∠DAC的度数；
第15题
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解：（1） 在△ABD中，∠BAD＝∠BDA，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴ ∠BAD＝ （180°－∠B）＝90°－ ∠B，∴ ∠EAD＝∠BAE－∠BAD＝90°－（90°－ ∠B）＝ ∠B. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，∴ ∠AEB＝180°－∠BAE－∠B＝180°－90°－∠B＝90°－∠B. ∵ ∠EAC＝∠ECA，∠AEB＝180°－∠AEC＝∠EAC＋∠ECA，∴ ∠EAC＝ ∠AEB＝ （90°－∠B）＝45°－ ∠B，∴ ∠DAC＝∠EAC＋∠EAD＝45°－ ∠B＋ ∠B＝45°　
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（2） 若∠BAE＝n°，请用含n的式子表示∠DAC的度数.
解：（2） 在△ABD中，∠BAD＝∠BDA，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴ ∠BAD＝ （180°－∠B）＝90°－ ∠B，∴ ∠EAD＝∠BAE－∠BAD＝n°－ ＝n°＋ ∠B－90°.在△ABE中，∠BAE＝n°，∴ ∠AEB＝180°－∠BAE－∠B＝180°－n°－∠B. ∵ ∠EAC＝∠ECA，∠AEB＝180°－∠AEC＝∠EAC＋∠ECA，∴ ∠EAC＝ ∠AEB＝ （180°－n°－∠B）＝90°－ n°－ ∠B. ∴ ∠DAC＝∠EAC＋∠EAD＝90°－ n°－ ∠B＋n°＋ ∠B－90°＝ n°
第15题
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15(共10张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.4　定　理
第3课时　反证法
01
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02
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目
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03
思维拓展
1. 用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　A　）
A. a与c相交 B. c∥b C. a∥b D. a与b相交
2. （2025·常熟段考）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（　C　）
A. ∠A＝30°，∠B＝40° B. ∠A＝30°，∠B＝110°
C. ∠A＝30°，∠B＝70° D. ∠A＝30°，∠B＝90°
A
C
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3. 如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截.若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是 　53°28'　.
4. （2025·高新区段考）用反证法证明“同位角不相等，两直线不平行”这个命题时，应先假设 　两直线平行　.
53°28'　
两直线平行　
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如图，有如下步骤：
5. 用反证法证明：在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.
① ∵ ∠PAB＋∠PBA＋∠APB＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
② ∴ 假设不成立，原命题成立；
③ 假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直，不妨设PA⊥直线l于点A，PB⊥直线l于点B；
④ ∴ ∠PAB＝90°，∠PBA＝90°.
其中，正确的顺序是 　③④①②　（填序号）.
③④①②　
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6. 举反例说明下列命题是假命题.
（1） 若a＜b，则ac＜bc；
解：（1） 答案不唯一，如a＝1，b＝2，c＝－2
（2） 两个负数的差一定是负数；
解：（2） 答案不唯一，如（－1）－（－2）＝1＞0
（3） 两个锐角的和一定大于直角；
解：（3） 答案不唯一，如30°＋30°＝60°＜90°
（4） 任何有理数都有倒数；
解：（4） 0没有倒数
（5） 对于任意数x，x2＋5x＋5的值总是整数.
解：（5） 答案不唯一，如取x＝ ，则x2＋5x＋5＝
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7. 如图，有下列推理：① ∵ ∠B＝∠BEF，∴ AB∥EF；② ∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠CDE；③ ∵ ∠B＋∠BDC＝180°，∴ AB∥EF；④ ∵ AB∥CD，CD∥EF，∴ AB∥EF. 其中，正确的是（　B　）
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
第7题
B
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8. （2025·高新区段考）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应该假设（　B　）
A. 三角形的三个内角都大于或等于60°
B. 三角形的三个内角都小于60°
C. 三角形的三个内角都小于或等于60°
D. 三角形中至多有一个内角大于或等于60°
B
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9. 三角形中至少有 　2　个锐角，最多有 　1　个直角，最多有 　1　个钝角.
10. 有下列事实：① 两点确定一条直线；② 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④ 垂直的定义.在用反证法证明命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”时，最终推出的结论与上述事实 　②　矛盾（填序号）.
11. 求证：两直线相交有且只有一个交点.
解：已知：直线a，b.求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 证明：假设a，b相交时不止一个交点P，不妨设其他交点中有一个为点P'，此时点P和点P'在直线a上又在直线b上，∴ 同时经过点P和点P'的直线就有两条.这与“两点确定一条直线”矛盾，∴ 假设不成立，∴ 两条直线相交有且只有一个交点
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②　
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12. 用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数.
解：假设这两个整数都是奇数，不妨设其中一个奇数为2n＋1，另一个奇数为2p＋1，n，p为整数，则（2n＋1）（2p＋1）＝4np＋2n＋2p＋1＝2（2np＋n＋p）＋1.∵ 无论n，p取什么整数，2（2np＋n＋p）＋1都是奇数，这与“两个整数的积是偶数”矛盾，∴ 假设不成立，∴ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数
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12(共13张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.1　定　义
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 下列语句不属于定义的是（　C　）
A. 两边相等的三角形是等腰三角形
B. 含有未知数的等式叫作方程
C. 内错角相等
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这点到直线的距离
2. 自然数6的所有因数为1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像这样的数叫作完全数（也叫完美数）.下列数中，属于完全数的是（　B　）
A. 24 B. 28 C. 36 D. 9
C
B
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3. （教材P147练习第1题变式）将如图所示的平面图形按要求分类（填序号）.
（1） 可由一个基本图形经平移而成的图形： 　③　；
（2） 可由一个基本图形经翻折而成的图形： 　②③　；
（3） 可由一个基本图形经旋转而成的图形： 　①③　.
③　
②③　
①③　
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4. （教材P147练习第2题变式）回忆并写出下列概念的定义：
（1） 平移； （2） 旋转； （3） 轴对称； （4） 中心对称.
解：（1） 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移
解： （2） 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转
解： （3） 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称
解： （4） 一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称
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5. （教材P147练习第3题变式）画示意图表示下列概念之间的关系：方程、等式、一元一次方程、二元一次方程.
解：如图所示
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6. （新考法·新定义题）定义：对任意两个数a，b，按规则c＝（a＋1）（b＋1）运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”.
（1） 若a＝4，b＝－2，求a，b的“和积数”c；
解：（1） 根据“和积数”的定义，得c＝（4＋1）×（－2＋1）＝－5
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8
（2） 若ab＝ ，a2＋b2＝8，求a，b的“和积数”c.
解：（2） 根据题意，得c＝（a＋1）（b＋1）＝ab＋a＋b＋1.因为ab＝ ，a2＋b2＝8，所以（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝8＋1＝9，所以a＋b＝3或a＋b＝－3.当a＋b＝3时，c＝ ＋3＋1＝ ；当a＋b＝－3时，c＝ －3＋1＝－ .综上所述，c的值为 或－
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7. 我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x＋m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝－m对称，称x＝－m是它的对称轴.例如：x2－4x＋3＝x2－4x＋4－4＋3＝（x－2）2－1.观察可以发现，当x－2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2－4x＋3的值是相等的，则称x2－4x＋3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴.
（1） 将多项式x2＋6x＋4变形为（x＋m）2＋n的形式，并求出它的对称轴；
解：（1） x2＋6x＋4＝x2＋6x＋9－9＋4＝（x＋3）2－5，所以对称轴为x＝－3
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（2） 若关于x的多项式x2－kx＋4关于x＝3对称，求k的值.
解：（2） 因为x2－kx＋4＝ ＋4－ ，且关于x＝3对称，所以 ＝3，解得k＝6
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8
8. 定义：若有序数对（x，y）满足二元一次方程ax＋by＝c（a，b为不等于0的常数），则称（x，y）为二元一次方程ax＋by＝c的“数对解”.例如：有序数对（－1，3）满足3x－y＝－6，则称（－1，3）
为3x－y＝－6的“数对解”.
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（1） 有下列有序数对：① ；② （－1，6）；③ （1，2）.判断这些有序数对是否为二元一次方程2x＋y＝4的“数对解”.
解：（1） 当x＝ ，y＝－3时，2x＋y＝2× －3＝－2≠4，所以①不是二元一次方程2x＋y＝4的“数对解”.当x＝－1，y＝6时，2x＋y＝2×（－1）＋6＝4，所以②是二元一次方程2x＋y＝4的“数对解”.当x＝1，y＝2时，2x＋y＝2×1＋2＝4，所以③是二元一次方程2x＋y＝4的“数对解”.综上所述，②③是二元一次方程2x＋y＝4的“数对解”
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（2） 若有序数对（p＋q，p＋5）为方程2x－y＝1的一个“数对解”，且p，q为正整数，求p，q的值.
解：（2） 因为有序数对（p＋q，p＋5）为方程2x－y＝1的一个“数对解”，所以2（p＋q）－（p＋5）＝1，化简，得p＋2q＝6.因为p，q 为正整数，所以 或
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7
8(共12张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.2　命　题
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 下列四个选项中，不属于命题的是（　B　）
A. 内错角相等，两直线平行
B. 过直线外一点作已知直线的平行线
C. 三角形的任意两边之和大于第三边
D. 如果a＝b，a＝c，那么b＝c
B
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2. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，正确的是（　D　）
A. 如果是同角，那么余角相等
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
C. 如果是同角的余角，那么相等
D. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
3. （易错题）有下列命题：① 对顶角相等；② 同位角相等，两直线平行；③ 若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；④ 若x＝0，则x（x－2）＝0.其中，逆命题一定成立的有（　D　）
A. ①②③④ B. ①④ C. ②④ D. ②
D
D
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4. 有下列四个命题：① 对顶角相等；② 同旁内角互补；③ 面积相等的三角形的周长也相等；④ 两直线平行，同位角相等.其中，假命题有 　②③　（填序号）.
5. 已知命题“如果两个三角形完全重合，那么这两个三角形的面积相等”.写出它的逆命题： 　如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合　，该逆命题是 　假　命题（填“真”或“假”）.
②③　
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形完全重合　
假　
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（1） 如果a＞b，那么ac＞bc；
解：（1） 条件：a＞b　结论：ac＞bc
（2） 如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线；
解：（2） 条件：∠DOE＝2∠EOF　结论：OF是∠DOE的平分线
（3） 互补的两个角的和为180°.
解：（3） 条件：两个角互补　结论：这两个角的和为180°
6. （教材P151练习第1题变式）写出下列命题的条件和结论：
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7. 有下列语句：① 钝角大于90°；② 两点之间线段最短；③ 希望明天下雨；④ 作AD⊥BC；⑤ 同旁内角不互补，两直线不平行.其中，属于命题的是（　B　）
A. ①②③ B. ①②⑤
C. ①②④⑤ D. ①②④
B
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8. （易错题）有下列命题：① 若 ＞1，则a＞b；② 若a＞1，则（a－1）0＝1；③ 如果两个角都是45°，那么这两个角相等.其中，原命题与逆命题均为真命题的有（　A　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
A
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9. 命题“等角的余角相等”的条件为 　两个角相等　，结论为 　它们的余角相等　；它的逆命题为 　如果两个角的余角相等，那么这两个角相等　，该逆命题是 　真　命题（填“真”或“假”）.
10. 请写出一个原命题是真命题，其逆命题是假命题的命题： 　答案不唯一，如对顶角相等　.
两个角相等　
它们的余角相
等　
如果两个角的余角相等，那么这两个角相等　
真　
答案不唯一，如
对顶角相等　
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（1） a的2倍与b的平方的差；
（2） 在直线AB上任取一点P；
（3） 小于直角的角是锐角；
（4） 垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题
（3） 改写：如果一个角小于直角，那么这个角是锐角
（4） 改写：如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
11. 下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？若是命题，请改写成“如果……，那么……”的形式.
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12. （教材P151习题第2题变式）判断下列命题的真假：
（1） （易错题）如果｜a｜＝｜b｜，那么a3＝b3；
解：（1） 假命题
（2） 如果AC＝BC，那么C是AB的中点；
解：（2） 假命题
（3） 两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差.
解：（3） 真命题
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13. 下面命题是否为真命题？为什么？
（1） 对于所有的自然数n，n2的末位数字都不是2；
解：（1） 真命题　因为对于0到9的数的平方的末位数字只能为0，1，4，5，6，9，所以对于所有的自然数n，n2的末位数字都不是2
（2） 当n＝0，1，2，3，4，5时，n2＋n的值都是偶数.
解：（2） 真命题　当n分别为0，1，2，3，4，5时，n2＋n的值分别为0，2，6，12，20，30，均为偶数
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13(共14张PPT)
第12章　定义　命题　证明
12.3　证　明
01
基础过关
02
能力进阶
目
录
03
思维拓展
1. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　C　）
A. ∠AOC＝90° B. ∠AOC＝∠BOC
C. ∠AOC＝∠BOD D. ∠AOC＋∠BOD＝180°
C
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11
2. 将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠.若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（　D　）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
D
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3. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线.若∠B＝45°，∠ACE＝65°，则∠A的度数是 　85°　.
85°　
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11
4. （教材P154练习第1题变式）填空：
（1） 如图①，∵ ∠1＝∠2＝60°（已知），
∴ 　a　∥ 　b　（　 　内错角相等，两直线平行　　）.
a　
b　
内错角相等，两直线平行
1
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（2） 如图②，∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠A＋∠D＝ 　180°　（　 　两直线平行，同旁内角互补　　）.
∵ AD∥BC（已知），
∴ ∠A＋ 　∠B　＝ 　180°　（　 　两直线平行，同旁内角互补　　），
∴ ∠ 　B　＝∠ 　D　（　 　同角的补角相等　　）.
180°　
两直线平行，同旁内角互补
∠B　
180°　
两直线平行，同旁内角互补
B　
D　
同角的补角相等
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5. 观察下列式子：① 32－12＝8×1；② 52－32＝8×2；③ 72－52＝8×3；….
（1） 若n≥1且n为整数，请用含n的等式把以上式子的规律表示出来；
解：（1） （2n＋1）2－（2n－1）2＝8n
（2） 证明（1）中的结论；
（3） 将160写成两个正整数的平方差的形式：160＝（　 　41　　）2－（　 　39　　）2.
解：（2） 等式左边＝4n2＋4n＋1－（4n2－4n＋1）＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1＝8n＝等式右边，∴ （2n＋1）2－（2n－1）2＝8n
41
39
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6. 某同学的作业如下：如图，在同一平面内有直线l1，l2和射线l3，l4.若∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.证明：∵ ∠1＝∠2，∴ l1∥l2（内错角相等，两直线平行），∴ ∠3＝∠4（※）.其中，※处填的依据是（　C　）
A. 两直线平行，内错角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等
D. 两直线平行，同旁内角互补
第6题
C
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7. 如图，给出下列条件：① ∠1＝∠2；② ∠C＝∠D；③ ∠A＝∠F. 从这三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，所组成的命题中，正确命题的个数为（　D　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：① 如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；② 如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③ 如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中，是真命题的有 　①③　（填序号）.
D
①③　
第7题
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如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，求证：∠1＝∠2.
第9题
9. （2025·虎丘区段考）填空，完成下面的证明过程.
证明：∵ ∠3＋∠4＝180°，∠FHD＝∠4（　 　对顶角相等　　），
∴ ∠3＋ 　∠FHD　＝180°，
∴ 　FG　∥ 　BD　（　 　同旁内角互补，两直线平行　　），
∴ ∠1＝ 　∠ABD　（　 　两直线平行，同位角相等　　）.
∵ BD平分∠ABC，
∴ 　∠ABD　＝ 　∠2　（　 　角的平分线的定义　　），
∴ ∠1＝∠2.
对顶角相等
∠FHD　
FG　
BD　
同旁内角互补，两直线平行
∠ABD　
两直线平行，同位角相等
∠ABD　
∠2　
角的平分线的定义
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10. 如图，点M，N，T和点P，Q，R分别在同一条直线上，且∠1＝∠3，∠P＝∠T.
（1） 求证：∠T＝∠RQT.
解：（1） ∵ ∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴ ∠2＝∠3，∴ PN∥QT，∴ ∠PNM＝∠T. ∵ ∠P＝∠T，
∴ ∠P＝∠PNM，∴ PR∥MT，∴ ∠T＝∠RQT
第10题
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（2） 在（1）的证明过程中，有没有运用到互逆的真命题？若有，请指出来.
解：（2） 有　运用到的互逆的真命题有“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”及“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”
第10题
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11. 如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，EF⊥CE. 求证：BF⊥EF.
解：如图，延长BF交射线CD的反向延长线于点H. ∵ EF⊥CE，∴ ∠FEC＝90°.∵ AB∥CD，∴ ∠ABF＝∠H. ∵ ∠ABF＝∠DCE，∴ ∠H＝∠DCE，∴ BH∥CE，∴ ∠BFE＝∠FEC＝90°，∴ BF⊥EF
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