资源简介

2026 年九年级学业水平第一次模拟考试数学试题
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列各数中为无理数的是（ ）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
3.“十四五” 期间，济南市打造了市一体化大数据平台，建成全市通用共享 “数据湖”，累计汇聚数据约 47 400 000 000 条，有效支撑了多种应用场景。数据 47 400 000 000 可用科学记数法表示为（ ）
A. 474×108 B. 4.74×109 C. 4.74×1010 D. 0.474×1011
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
5.下列运算正确的是（ ）
A. a3 a2=a B. a2·a3=a6 C. ( a)2= a2 D. (a3)2=a6
6.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. ∣a∣>∣b∣ B. a 1
7.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ）
A. AD=BD B. BC∥DE C. ∠A=∠ABE D. ∠DEA=∠BEC
8.2026 年央视春晚创新推出 AI 智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO；②分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AO于点D，连接BD，CD。根据以上作图，若AB=6，AC=4，BD=3，则点D到直线AB的距离为（ ）
A. 1+ B. 2 C. 1+ D. 2
10.如图 1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，将△ABD沿射线BC的方向平移得△EFG，设平移的距离为x，△EFG与△ACD重叠的面积为y，y与x的函数图象如图 2 所示，有以下结论：①BC=6；②△ABC的面积为 10；③点(5,)在y与x的函数图象上；④y的最大值为。其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.因式分解：x2 9=__________。
12.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是__________。
13.如图，□CDGH的顶点G在正六边形ABCDEF的边EF上，∠H=105 ，则∠EDG=______ 。
14.小云和小涛分别从相距 12 km 的 A，B 两地同时出发，相向而行。小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间。若两人距 A 地的距离y（km）与时间x（h）的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为__________h。
15.如图，正方形纸片ABCD的边长为 4，点E是边BC的中点，连接DE，先将纸片沿直线DE折叠，使点C落在四边形ABED内的点F处，延长DF交AB于点G，再将纸片沿过点G的直线折叠，使点A落在DG上的点K处，折痕GH交AD于点H，则HK=__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：3tan30 +(π 2026)0 () 1++。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，AE=CF。求证：∠ADF=∠CDE。
19.（本小题满分 8 分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=120 ，∠ABC=37 ，AB=12，AD=4，连接AC。
（1）求平行线AB与CD间的距离；
（2）求sin∠BAC的值。
（参考数据：sin37 =，cos37 =，tan37 =）
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接AD，点E是弧AD的中点，连接AE，BE，DE，弦BE与弦AD交于点F，点C在BE的延长线上，连接AC，∠ADE=∠CAE。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=3，tan∠ADE=，求线段EF的长。
21.（本小题满分 9 分）为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业 5 年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息：
a. 调查问卷的部分信息如下：
调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项：以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A. 人才公寓 B. 技能培训 C. 子女托管 D. 交友联谊
b. 不完整的条形统计图和扇形统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了__________名青年人才；
（2）扇形统计图中 “技能培训” 对应的圆心角为__________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）按照 “项目赋能年” 规划，2026 年济南市计划引进 3000 名青年人才。根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数。
22.（本小题满分 10 分）随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026—2028 年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强。某运动场馆要采购 A，B 两种型号的计数跳绳。据了解，A 型计数跳绳的单价比 B 型计数跳绳的单价低 10 元，用 120 元购买 A 型计数跳绳的数量和用 180 元购买 B 型计数跳绳的数量相同。
（1）求 A，B 两种型号计数跳绳的单价；
（2）该运动场馆计划购买 A，B 两种型号的计数跳绳共 25 根，且 A 型计数跳绳的购买数量不超过 B 型计数跳绳购买数量的 2 倍。购买 A 型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
23.（本小题满分 10 分）一次函数y=x+的图象与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(m,3)，与x轴交于点B。
（1）求m，k的值；
（2）P为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为a（a>m）。
①如图1，过点P作y轴的垂线，垂足为M，交直线AB于N，当BN=2AN时，求PN的长度；
②如图 2，连接OA，OP，若∠AOP=45 ，求a的值。
24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A( 2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D。
（1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标；
（2）将二次函数y=ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G。
①如图 1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积；
②如图 2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE=∠BCF，求新函数的表达式。
25.（本小题满分 12 分）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，连接对角线AC。在Rt△AEF中，∠AEF=90 ，AE=9，∠EAF=∠CAB。
（1）如图 1，当点B，C分别在边AE，AF上时，请完成填空：EF= ，= ；
（2）将图 1 中的Rt△AEF绕点A按逆时针方向旋转，连接BE。
①如图 2，当点F在边BC的延长线上时，求线段BE的长；
②如图 3，若点H在线段BE上，且BH=BE，连接DH，求线段DH的最大值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列各数中为无理数的是（ D ）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ A ）
3.“十四五” 期间，济南市打造了市一体化大数据平台，建成全市通用共享 “数据湖”，累计汇聚数据约 47 400 000 000 条，有效支撑了多种应用场景。数据 47 400 000 000 可用科学记数法表示为（ C ）
A. 474×108 B. 4.74×109 C. 4.74×1010 D. 0.474×1011
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ B ）
5.下列运算正确的是（ D ）
A. a3 a2=a B. a2·a3=a6 C. ( a)2= a2 D. (a3)2=a6
6.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ A ）
A. ∣a∣>∣b∣ B. a 1
7.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ C ）
A. AD=BD B. BC∥DE C. ∠A=∠ABE D. ∠DEA=∠BEC
8.2026 年央视春晚创新推出 AI 智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO；②分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AO于点D，连接BD，CD。根据以上作图，若AB=6，AC=4，BD=3，则点D到直线AB的距离为（ B ）
A. 1+ B. 2 C. 1+ D. 2
10.如图 1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，将△ABD沿射线BC的方向平移得△EFG，设平移的距离为x，△EFG与△ACD重叠的面积为y，y与x的函数图象如图 2 所示，有以下结论：①BC=6；②△ABC的面积为 10；③点(5,)在y与x的函数图象上；④y的最大值为。其中正确的有（ C ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.因式分解：x2 9=_____(x+3)(x－3)_____。
12.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是__________。
13.如图，□CDGH的顶点G在正六边形ABCDEF的边EF上，∠H=105 ，则∠EDG=___15___ 。
14.小云和小涛分别从相距 12 km 的 A，B 两地同时出发，相向而行。小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间。若两人距 A 地的距离y（km）与时间x（h）的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为__________h。
15.如图，正方形纸片ABCD的边长为 4，点E是边BC的中点，连接DE，先将纸片沿直线DE折叠，使点C落在四边形ABED内的点F处，延长DF交AB于点G，再将纸片沿过点G的直线折叠，使点A落在DG上的点K处，折痕GH交AD于点H，则HK=__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）计算：3tan30 +(π 2026)0 () 1++。
=+1－2++3
=2+2
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
解①：2x 2> 3+x
∴x> 1
解②：3(x+2) x+8
3x+6 x+8
2x 2
x 1
原不等式组的解集： 1∴整数解：0,1
18.（本小题满分 7 分）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，AE=CF。求证：∠ADF=∠CDE。
∵在菱形 ABCD
∴AD=CD，∠DAC=∠DCA
∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF
∴AF=CE
在 △ADF和 △CDE中：
∴ADF△CDE (SAS)
∴∠ADF=∠CDE
19.（本小题满分 8 分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=120 ，∠ABC=37 ，AB=12，AD=4，连接AC。
（1）求平行线AB与CD间的距离；
（2）求sin∠BAC的值。
（参考数据：sin37 =，cos37 =，tan37 =）
（1）过 D作 DE⊥AB交 AB延长线于 E
∵ ∠BAD=120 ，
∴ ∠DAE=60
在 Rt△ADE中，AD=4
DE=AD·sin60 =4×=6
∵ AB∥CD，
∴ AB与 CD间的距离为 6
(2) 过 C作 CF⊥AB于 F，则 CF=DE=6
在 Rt△BCF中，∠ABC=37 ，sin37 =
∴BC= =6×=10，
BF=BC·cos37 =10×=8
AF=AB BF=12 8=4
在 Rt△ACF中，AC==2
sin∠BAC===
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接AD，点E是弧AD的中点，连接AE，BE，DE，弦BE与弦AD交于点F，点C在BE的延长线上，连接AC，∠ADE=∠CAE。
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=3，tan∠ADE=，求线段EF的长。
∵ AB是直径，
∴ ∠AEB=90 ，∠EAB+∠B=90
∵ E是 弧AD中点，
∴弧AE=弧ED，∠B=∠ADE
又∵ ∠ADE=∠CAE，
∴ ∠CAE=∠B
∴ ∠CAE+∠EAB=90 ，即 AC⊥AB
∵ AB是直径，
∴ AC是 ⊙O的切线
(2)∵ tan∠ADE=，∠ADE=∠B=∠CAE
∴ tanB==，tan∠CAE==
设 AE=x，则 BE=2x，CE=x
∵ ∠AEF=∠AEB=90 ，∠EAF=∠EAB
∴ △AEF△BEA，=，即 AE2=BE·EF
又 BF=BE EF=3，设 EF=y，则 BE=3+y，AE2=(3+y)y，且=，AE=
∴()2=y(3+y)，3+y≠0，两边约去得=y
3+y=4y，3y=3，y=1
∴ EF=1
21.（本小题满分 9 分）为了解青年人才在济发展需求，某学校组织八年级学生针对来济就业且毕业 5 年内的青年人才进行问卷调查，并对获取的数据进行统计整理，下面给出相关信息：
a. 调查问卷的部分信息如下：
调查问卷 请根据实际情况回答问题，只能选择一项：以下四项服务中，您最希望得到的是（ ） A. 人才公寓 B. 技能培训 C. 子女托管 D. 交友联谊
b. 不完整的条形统计图和扇形统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了__________名青年人才；
（2）扇形统计图中 “技能培训” 对应的圆心角为__________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）按照 “项目赋能年” 规划，2026 年济南市计划引进 3000 名青年人才。根据本次调查的数据，请估计最希望得到人才公寓服务的人数。
(1) 本次共调查的人数交友联谊占 15%，由条形图知交友联谊有 30 人
总人数：30÷15%=200名
(2) “技能培训” 对应的圆心角技能培训人数：80人
圆心角：×360 =144
(3) 补全条形统计图人才公寓人数：200 80 50 30=40人
补全：人才公寓对应 40人，技能培训 80人，子女托管 50人，交友联谊 30人
(4) 估计希望得到人才公寓的人数
3000×=600人
22.（本小题满分 10 分）随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026—2028 年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强。某运动场馆要采购 A，B 两种型号的计数跳绳。据了解，A 型计数跳绳的单价比 B 型计数跳绳的单价低 10 元，用 120 元购买 A 型计数跳绳的数量和用 180 元购买 B 型计数跳绳的数量相同。
（1）求 A，B 两种型号计数跳绳的单价；
（2）该运动场馆计划购买 A，B 两种型号的计数跳绳共 25 根，且 A 型计数跳绳的购买数量不超过 B 型计数跳绳购买数量的 2 倍。购买 A 型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
（1）设 A型单价为 x元，则 B型为 （x+10）元
由题意：=
120(x+10)=180x，
1200=60x，
x=20
经检验x=20是原方程的解
x+10=30元
∴ A型单价 20元，B型单价 30元
(2)设购买 A型 m根，则 B型 （25 m）根
由题意：m≤2(25 m)，
m≤≈16.67，
m为正整数，m≤16
采购费用 W=20m+30(25 m)=750 10m
W随 m增大而减小，
∴ m=16时，W最小Wmin=750 10×16=590元
∴ 购买 A型 16根时费用最少，最少 590元
23.（本小题满分 10 分）一次函数y=x+的图象与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A(m,3)，与x轴交于点B。
（1）求m，k的值；
（2）P为反比例函数图象上的一点，设其横坐标为a（a>m）。
①如图1，过点P作y轴的垂线，垂足为M，交直线AB于N，当BN=2AN时，求PN的长度；
②如图 2，连接OA，OP，若∠AOP=45 ，求a的值。
(1) 点 A(m,3)在y=x+上：
3=x+
m= 2
∴ A(2,3)，代入 y=，k=2×3=6
即 m=2，k=6
(2) ① B是一次函数与 x轴交点：令 y=0，0=x+
解得x= 2，
B( 2,0)
设 P(a,)（a>2），
PM⊥y轴，
M(0,)，N在 AB上，纵坐标为代入 AB解析式：=x+，
解得 x= 2
N( 2,)
BN= =
AN==
由 BN=2AN：
=2×，
10=10(a 2)，
解得a=3
∴P(3,2)，N(,2)
PN=3 =
②
24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx+4的图象经过A( 2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D。
（1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标；
（2）将二次函数y=ax2+bx+4的图象沿直线AC平移得到一个新函数的图象M，顶点为G。
①如图 1，连结AC，CG，AG，求△ACG的面积；
②如图 2，设新函数的图象M与x轴交于点E和F，连结CE，CB，CF，若∠BCE=∠BCF，求新函数的表达式。
（1）二次函数 y=ax2+bx+4过 A( 2,0)、B(4,0)
设交点式：y=a(x+2)(x 4)，代入x=0,y=4：
得4=a2×( 4)，
解得a=
∴ y= (x+2)(x 4)= x2+x+4
顶点 D：对称轴 x==1，y= ×1+1+4=
∴ 表达式：y= x2+x+4，顶点 D(1,)
① ②y= x2+10x－26
25.（本小题满分 12 分）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，连接对角线AC。在Rt△AEF中，∠AEF=90 ，AE=9，∠EAF=∠CAB。
（1）如图 1，当点B，C分别在边AE，AF上时，请完成填空：EF= ，= ；
（2）将图 1 中的Rt△AEF绕点A按逆时针方向旋转，连接BE。
①如图 2，当点F在边BC的延长线上时，求线段BE的长；
②如图 3，若点H在线段BE上，且BH=BE，连接DH，求线段DH的最大值。
（1）6
（2）∵△AEF绕 A旋转，∠EAF=∠CAB，
∴ ∠EAB=∠FAC ==，==，
∴△ABE△ACF
∵F在 BC延长线上，AF=3，AB=6，
BF==9
CF=BF BC=9 4=5
由相似：===
BE=×5=
(2)3+4