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吉林通化市梅河口市第五中学2026届高三下学期一模数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为 B．对应的点在第二象限
C． D．
4．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ）
A．4049 B．4050 C．4051 D．4052
7．定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则或
C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
10．已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．除以6所得的余数为5
11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围为
D．以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为，若，则_____．
13．写出一个同时具有下列性质①②的函数_____．
①；②当时，．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____．
四、解答题
15．在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求．
16．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
17．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
18．已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积．
(3)若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系.
19．已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．
(1)若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；
(2)若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C A C D B ACD BCD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】由，可得，解得，
故，则或，
又，则.
故选：C.
2．C
【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或．
将代入直线，的方程，得，，易知；
将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去．
综上所述，“”是“”的充要条件．
故选：．
3．C
【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为，
所以，即，其虚部为，故A错误；
，其对应的点在第三象限，故B错误；
，故C正确；
，
则，故D错误.
故选：C
4．C
【详解】令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，则，，
所以.
故选：C
5．A
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
6．C
【详解】由得，因为，所以，所以
由和得，
所以，
，
故使得的的最小值为4051.
故选：C
7．D
【详解】令且定义域为R，则，
所以为偶函数，在上，
所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增，
由，则，且，则，
由于函数
由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，

函数关于对称，且时，，
在、上分别单调递减、单调递增，
显然时，
在上单调递增，则时恒成立，
在上单调递减，且时,，
所以使，
综上，与的交点横坐标有，即有3个零点.
故选：D
8．B
【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，
可得：，
当，可得，
则，
因为存在唯一实数，使得，
即是的子集，且唯一，
由图像可知，
，
所以实数的取值范围为，
故选：B
9．ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为当时，满足，故B错误；
对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确；
对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【详解】由题意有：，所以，令，
所以，
令，所以，令，
所以①，
所以，故A错误；
由，令，
所以，故B正确；
令，所以②，
由①②解得，，
所以，故C正确；
由
，
所以除以6所得的余数为5，故D正确；
故选：BCD.
11．ABD
【详解】对于A，在直四棱柱中，，，，所以，
又平面，平面，，
则，故A正确；
对于B，连接交于，连接，
分别为的中点，，且，
则四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以直线上的点到平面的距离相等，
即点到平面的距离为定值，
，的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，连接，
根据题意平面，平面，则，
，，，
，，
所以点到的距离即，
，即，
由对称性知，
∴，
，故最大值应大于，故C错误；
对于D，设中点为，连接，
根据题意易得平面，即点到平面的距离为，
则球与四边形的交线以为圆心，半径的圆弧，
与分别交于点，
又，所以，同理，
故交线的圆心角为，半径为2，则长为，故D正确；
故选：ABD.
12．
【详解】因为等差数列的前项和为，若，
所以.
故答案为：32.
13．（答案不唯一，均满足）
【详解】设.
因为，，
且，故满足①.
因为，要使恒成立，即恒成立.
若，则，当时，，
，不满足性质②；
若，，当时，，所以可能成立.
当时，函数在上单调递增，
故函数在上也单调递增，
所以其函数值大于，
所以要使恒成立，只需满足，解得.
故当时，满足性质②，
所以（答案不唯一，均满足）.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
14．
【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，
所以，渐近线方程为.
因为过点的直线与轴有交点，所以该直线的斜率存在，
设该直线方程为，则，该直线与渐近线方程联立得
，解得.
，解得.
所以，.
由题意知，，所以，
化简得，所以有.
，
所以，又，.
所以.
故答案为：.

15．(1)
(2)8
【详解】（1）设点的坐标为，依题意得，
化简得，所以的方程为．
（2）直线过点且斜率为1，
直线为，即 ，
设，
联立，化简得：
，则，
又，把代入，
得,
，
．
16．(1)
(2)最大值为，最小值为1．
【详解】（1），依题意，，解之得：；
（2）令，解之得：，
令，则，所以在上单调递减，
记，
则单调递增，单调递减，
所以在处取极大值，
又因为，
所以，
又，
比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1．
17．(1)；这300名市民评分的平均数为.
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，
则，解得.
这300名市民评分的平均数为：
.
所以这300名市民评分的平均数为：.
（2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为，
由题意可知，，
所以，，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右，
所以，故，即，
所以抛物线的方程为；
（2）如图，由题意，设，
代入抛物线方程，可得，
两式相减可得，即，
由可得，故，
又由点为线段的中点且点在抛物线内，
所以直线的方程为，即.
联立，得，其中，
故，
所以，
又因为到直线的距离，
所以的面积.
（3）由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，
则直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，，
则，因为，所以，，
因为点在上，所以，即，所以．
由，可得，，
因为点在上，所以，即，所以．
由，得，
因为，，所以，即．
19．(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）由题意得，所以．
若直线的斜率成等差数列，则．
设．
当直线的斜率存在时，设，由题意可知．
由
得，
则．（*）
所以
将（*）代入，得，化简得，当时，满足．
所以，可知该直线恒过点．
当直线的斜率不存在时，，
所以，得，不符合条件．
综上，直线过定点；
（2）若直线的斜率成等比数列，则．
记，由可得．
用替换，可得，因此关于轴对称．
因此的面积为．
可以看作关于的函数，故只需考虑的情况．
法一：①当时，．
考虑，
再令，则，
于是，
当且仅当时，等号成立，此时，解得，符合题意．
②当时，，此时，只需令，计算过程与前面相同．
综上，面积的最大值为1．
法二：对求导，得
,
当，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取极小值为，
当时，取极大值为，
而当时，，而，
则的最大值为1，即面积的最大值为1．

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