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河南省周口市重点高中2025-2026学年高二上学期1月测评数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）
A．轴对称 B．轴对称
C．平面对称 D．平面对称
2．点与点是直线上的两个不同的点，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
3．已知数列满足，则（ ）
A．9 B．11 C．18 D．29
4．若椭圆焦点在轴上，长轴长是焦距的3倍，且经过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
6．已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，，点在双曲线的右支上，且成等差数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（ ）

A．4 B．2
C．3 D．不确定
二、多选题
9．已知直线和圆，则（ ）
A．若直线和圆相切，则
B．若直线被圆所截得弦长为2，则
C．若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则
D．若，圆上存在四个点到直线的距离为1
10．在空间直角坐标系中，已知，则（ ）
A．
B．与平行且模为的向量的坐标为或
C．与夹角的余弦值为
D．在上投影向量的坐标为
11．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，其中点在轴下方，直线交椭圆于另一点，连接，则（ ）
A． B．
C． D．点到直线与的距离相等
三、填空题
12．直线与直线平行，则___________．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，若点关于其中一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的标准方程为___________．
14．已知各项均为正数的等差数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，则___________．
四、解答题
15．已知数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
16．已知圆经过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求该切线方程．
17．如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，．

(1)证明：四边形是菱形；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线：，直线与抛物线交于两点，点到直线的距离的最大值为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段的中点为，求；
(3)若抛物线在点，处的切线相交于点，求点的轨迹方程．
19．已知数列满足；数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知，记的前项和为，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B A B B ACD BD
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】点与点关于平面对称，
故选：D．
2．A
【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以，
故选：A．
3．B
【详解】因为，且，
所以，
则.
故选：B．
4．C
【详解】因为椭圆的长轴长是焦距的3倍，所以，即，
又因为经过点，且焦点在轴上，所以，，
所以，所以椭圆的标准方程为：，
故选:C．
5．B
【详解】抛物线的焦点为，准线，
点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点，
所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即，
则点到直线的距离，
故选：B．
6．A
【详解】因为①，当时，②，
①-②得：，因为是等比数列，
设公比为，所以，因为，
所以，解得；
当时，，即，
所以，又因为，
所以，解得，所以，
故选：A．
7．B
【详解】因为，因为点在双曲线的右支上，
所以，
因为成等差数列，
设公差为，则，所以，
所以，即成等差数列，且公差，
所以，即，
所以双曲线的离心率（或者：因为成等差数列，所以，即，即，所以双曲线的离心率）.
故选：B.
8．B
【详解】因为点在平面内，所以，
又因为
所以；
又因为点在平面内，
所以，
因为，
所以，
由空间向量基本定理得：，
解得，即，
所以，
因为两两垂直，
所以，
所以，
故选:B．
9．ACD
【详解】圆，所以圆心，半径为，则圆心到直线的距离．
对A，若直线和圆相切，则，所以，所以A正确；
对B，若直线被圆所截得弦长为2，则，所以，所以B错误；
对C，若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则直线与圆相离，所以，所以，所以C正确；
对D，若上存在四个点到直线的距离为1，则有，即，所以选项D正确．
故选:ACD．
10．BD
【详解】对A，
因为，所以A错误；
对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为，
所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确；
对C，又因为，
所以与夹角的余弦值为，所以C错误；
对D在上投影向量为：，所以选项D正确．
故选：BD．
11．ABD
【详解】，所以．
对A，设为椭圆的左焦点，因为点关于原点对称，所以，
所以，所以选项A正确；
因为直线过，且倾斜角为，所以直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，解得，
又因为点在轴下方，所以，则．
对B，因为点与的横坐标相同，所以，所以选项B正确；
对C，（或者：），
所以，所以选项C错误；
对D，
所以，即，
所以为的角平分线，所以点到直线与的距离相等，所以选项D正确．
故选:ABD．

12．2
【详解】由题意得，解得．
故答案为：2
13．
【详解】设双曲线的标准方程为：，如图，

设关于渐近线的对称点为，且点在渐近线上，
连接，与渐近线交于点，则点为线段的中点，
，（其中点为坐标原点），
再由两渐近线关于轴对称可得：，
即，又，
所以，即渐近线的倾斜角为，，
又因，联立解得，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：．
14．
【详解】设等差数列的公差为，因为，
所以，
即，
化简得：，
即，
又因为，所以，解得，
则，
又因为数列是等差数列，
所以，即，
所以．
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以数列是等比数列；
（2）因为，由（1）知，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以
.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）方法一（待定系数法）：设圆的方程为：，
因为过点，代入
得：，解得：，
所以圆的方程为：，
则圆的标准方程为：；
方法二：因为，
即，所以，
所以圆是以为直径的圆，
则圆心，半径，
所以圆的标准方程为：；
（2）当切线的斜率存在时，因为过点，故设切线方程为：，
即，
因为与圆相切，所以，解得，
则切线方程为：，即；
当切线的斜率不存在时，又因为过点，所以直线为：，
圆心到直线的距离为5，满足题意.
综上，切线方程为：或.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)2
【详解】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，
则.
因为几何体是平面截正四棱柱所得，
所以平面，平面平面，
平面平面，
所以，
同理，所以四边形为平行四边形；
设，因为，因为，
所以，解得，即，
所以，则，
所以，即，
所以四边形为菱形.
（2），设平面的法向量，
由，得，
令，则，
所以；
由题意知，平面的法向量，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3），
设平面的法向量为，
由，得，令，则，则
，设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为2.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）抛物线的焦点，
因为直线过定点，设点到直线的距离为，所以，
当且仅当时等号成立，即点到直线的距离的最大值为，
又因为点到直线的距离的最大值为，即，
所以，解得或，
又因为，所以，
则抛物线的方程为：；
（2）将直线的方程：，与抛物线的方程为：联立，
得：，即0，
设，则，
因为线段的中点为，
所以，
所以，即，即，
则，
所以；
（3）

因为点在抛物线上，所以，即，
因为抛物线在点处的切线的斜率一定存在，
所以设抛物线在点处的切线为：，
将其与抛物线的方程：联立，得：，
因为相切，所以，
化简得：，即，解得，
所以抛物线在点处的切线为：，即，
同理，抛物线在点处的切线为：，
联立，得，
又因为，
所以，即，
设，则，消去得：，
所以点的轨迹方程为：.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
所以当时，
因为，所以对也成立，
综上，所以.
（2）因为①，
所以当时，②，
①-②得：，即，
因为，且，所以，即，
所以数列奇数项与偶数项分别为等差数列，且公差为4，
当时，，因为，所以，则，
所以数列为等差数列，
且首项，公差，所以；
（或者：当为奇数时，；当为偶数时，，所以）
（3），
所以，
令，则，
当时，，
所以，即，
所以数列从第2项起是单调递增数列，
所以当时，，
又因为，所以，即，所以，
综上，.

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