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浙教版数学七年级下册 3.6 同底数幂的除法 三阶训练
一、选择题
1．（2025八上·台州月考）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000076=7.6×10-9．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的形式为a×10n（1≤a<10，n为整数），对于小于1的数，n是负数，其绝对值等于小数点向右移动的位数．
2．（2025·浙江模拟）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数）.若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的（　　）
A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数），
∴10M=kA1，10M+2=kA2，
∴
∴
∴若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的100倍.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知10M=kA1，10M+2=kA2，即可求出A2与A1的比值.
3．（2025七下·杭州月考）下列计算中，正确的是（　　）
A．a4 a4＝2a4
B．（﹣c）6÷（﹣c）4＝﹣c2
C．（8a2b﹣2ab2）÷（4a﹣b）＝2ab
D．（2m﹣n）（﹣2m+n）＝4m2﹣n2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、a4·a4=a8，故A不符合题意；
B、(-c)6÷(-c)4=c2，故B不符合题意；
C、(8a2b-2ab2)÷(4a-b)=2ab，故C符合题意；
D、(2m-n)(-2m+n)=-4m2+4mn-n2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，整式的除法的法则，完全平方公式对各项进行运算即可.
4．（2025八上·沐川期末）已知，，，则的值是（　　）
A．212 B．54 C．31 D．27
【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，，，
∴8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=(82)n=64n=(43)n=(4n)3=23=8，
=54.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件可得 8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=8，再代入即可.
5．（2025八上·义乌开学考）若0＜x＜1，则x﹣1、x、x2的大小关系是（　　）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x2＜x﹣1 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
【答案】C
【知识点】实数的大小比较；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵0∴设，
则，
∴x2故答案为：C.
【分析】先明确负指数幂的定义，再通过取特殊值计算各数的值，最后比较大小得出关系.
6．（2025八上·隆昌月考）已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵
，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】根据有理数乘方运算法则逆用将等式左边各数的底数化为2，利用幂的乘方运算先计算乘方，再利用同底数幂乘除法法则进行运算得到，最后根据幂的性质列得，求出x的值即可．
7．（2024·龙马潭模拟）已知，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；整式的混合运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴，
∴.
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则，先计算的值，继而可得的值，开平方即可得到的值，即可解答．
8．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
9．（2026七下·期中）已知，则a、b、c、d的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-其他方法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，，
又∵，
∴，
∴，
，即，
同理，，
∴.
故选：A.
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算化简，再比较大小即可求出答案.
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，符合题意；
②当时，，
解得：，符合题意；
③当x=-1时，，
解得：，不符合题意
∴k的值为0，1，
综上所述，正确的说法有②③，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
二、填空题
11．（2019七下·深圳期中）若 则 的值是　 　.
【答案】-1或1
【知识点】零指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】由 ，得
解得x=±1，
故答案为：±1.
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
12．（2025七下·余姚期中）诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”，什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一，目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒.
【答案】4.3×10-17
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1阿秒是10-18秒，
∴43阿秒=43×10-18=4.3×10-17
故答案为：4.3×10-17.
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂.
13．（2025八上·唐山月考）已知，，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】本题需逆用同底数幂除法和幂的乘方法则求解。根据同底数幂的除法法则逆用，可转化为；再根据幂的乘方法则逆用，将转化为，转化为。代入已知条件和，分别计算，，最后用得到结果。
14．（2024七下·嘉兴期中）定义运算，例如，，若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，不符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义运算法则列出方程，然后分类讨论：①根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，②根据“1的任何次幂都等于1”，③“的偶数次幂等于1”，分别列出关于字母m的方程，求解并检验即可.
15．（2023七上·万秀期中）使得的值是一个正整数的整数一共有 　 　个．
【答案】11
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式．
的值是一个正整数，
∴当n是非负数时，则为正数，
取非负整数0，1，2，3时，满足题意，共4个数；
当n是负数时，则为正整数，
当为非零正整数时，满足题意，
∴n可以是，共7个数，
一共有11个．
故答案为：11．
【分析】因为，根据的值是一个正整数，就5的指数与2的指数情况，分n是非负正整数及负整数两种情况考虑即可．
三、解答题
16．（2026八上·关岭期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法，乘法，结合合并同类项法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项即可求出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．（2024七上·长沙期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作．
【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ；
【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有，
例如．
（2）小明发现也成立，并证明如下
设：，则
因为，所以，所以，
根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程．
（3）猜想，并说明理由．
【答案】（1）3，0；（2）42；
（3）猜想，理由如下：
设：，则
故填：2.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1），，
，，
答案 3，0
（2）设：，则，
，
，
，
答案 42
【分析】
本题整体考查新定义运算的理解与转化.
（1）新定义的直接应用（乘法逆运算）.根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可；
（2）逻辑推理的模仿与运算规则的迁移.类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可；
（3）规律猜想与逻辑证明.用已知性质（同底数幂除法）证明猜想的严谨性.类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可．
1 / 1浙教版数学七年级下册 3.6 同底数幂的除法 三阶训练
一、选择题
1．（2025八上·台州月考）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
2．（2025·浙江模拟）地震规模大小通常用里氏震级表示，一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数）.若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的（　　）
A．100倍 B．20倍 C．10倍 D．2倍
3．（2025七下·杭州月考）下列计算中，正确的是（　　）
A．a4 a4＝2a4
B．（﹣c）6÷（﹣c）4＝﹣c2
C．（8a2b﹣2ab2）÷（4a﹣b）＝2ab
D．（2m﹣n）（﹣2m+n）＝4m2﹣n2
4．（2025八上·沐川期末）已知，，，则的值是（　　）
A．212 B．54 C．31 D．27
5．（2025八上·义乌开学考）若0＜x＜1，则x﹣1、x、x2的大小关系是（　　）
A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x2＜x﹣1 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x
6．（2025八上·隆昌月考）已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
7．（2024·龙马潭模拟）已知，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2026七下·期中）已知，则a、b、c、d的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2019七下·深圳期中）若 则 的值是　 　.
12．（2025七下·余姚期中）诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”，什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一，目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒.
13．（2025八上·唐山月考）已知，，则的值为　 　．
14．（2024七下·嘉兴期中）定义运算，例如，，若，则的值为　 　．
15．（2023七上·万秀期中）使得的值是一个正整数的整数一共有 　 　个．
三、解答题
16．（2026八上·关岭期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2024七上·长沙期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作．
【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ；
【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有，
例如．
（2）小明发现也成立，并证明如下
设：，则
因为，所以，所以，
根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程．
（3）猜想，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000076=7.6×10-9．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的形式为a×10n（1≤a<10，n为整数），对于小于1的数，n是负数，其绝对值等于小数点向右移动的位数．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解： ∵一次地震的里氏震级M与距离震中100km处测得的最大振幅A（单位：μm）之间的关系为10M=kA（k为常数），
∴10M=kA1，10M+2=kA2，
∴
∴
∴若里氏震级M提高2级，则距离震中100km处测得的最大振幅A将增大到原来的100倍.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可知10M=kA1，10M+2=kA2，即可求出A2与A1的比值.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、a4·a4=a8，故A不符合题意；
B、(-c)6÷(-c)4=c2，故B不符合题意；
C、(8a2b-2ab2)÷(4a-b)=2ab，故C符合题意；
D、(2m-n)(-2m+n)=-4m2+4mn-n2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，整式的除法的法则，完全平方公式对各项进行运算即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，，，
∴8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=(82)n=64n=(43)n=(4n)3=23=8，
=54.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件可得 8m=(23)m=(2m)3=33=27，82n=8，再代入即可.
5．【答案】C
【知识点】实数的大小比较；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵0∴设，
则，
∴x2故答案为：C.
【分析】先明确负指数幂的定义，再通过取特殊值计算各数的值，最后比较大小得出关系.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵
，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】根据有理数乘方运算法则逆用将等式左边各数的底数化为2，利用幂的乘方运算先计算乘方，再利用同底数幂乘除法法则进行运算得到，最后根据幂的性质列得，求出x的值即可．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；整式的混合运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴，
∴.
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则，先计算的值，继而可得的值，开平方即可得到的值，即可解答．
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
9．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-其他方法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，，，
又∵，
∴，
∴，
，即，
同理，，
∴.
故选：A.
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算化简，再比较大小即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，符合题意；
②当时，，
解得：，符合题意；
③当x=-1时，，
解得：，不符合题意
∴k的值为0，1，
综上所述，正确的说法有②③，共2个，
故答案为：B.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
11．【答案】-1或1
【知识点】零指数幂；积的乘方运算
【解析】【解答】由 ，得
解得x=±1，
故答案为：±1.
【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．
12．【答案】4.3×10-17
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵1阿秒是10-18秒，
∴43阿秒=43×10-18=4.3×10-17
故答案为：4.3×10-17.
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂.
13．【答案】8
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：．
故答案为： ．
【分析】本题需逆用同底数幂除法和幂的乘方法则求解。根据同底数幂的除法法则逆用，可转化为；再根据幂的乘方法则逆用，将转化为，转化为。代入已知条件和，分别计算，，最后用得到结果。
14．【答案】或
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，不符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义运算法则列出方程，然后分类讨论：①根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，②根据“1的任何次幂都等于1”，③“的偶数次幂等于1”，分别列出关于字母m的方程，求解并检验即可.
15．【答案】11
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：原式．
的值是一个正整数，
∴当n是非负数时，则为正数，
取非负整数0，1，2，3时，满足题意，共4个数；
当n是负数时，则为正整数，
当为非零正整数时，满足题意，
∴n可以是，共7个数，
一共有11个．
故答案为：11．
【分析】因为，根据的值是一个正整数，就5的指数与2的指数情况，分n是非负正整数及负整数两种情况考虑即可．
16．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法，乘法，结合合并同类项法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项即可求出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）3，0；（2）42；
（3）猜想，理由如下：
设：，则
故填：2.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1），，
，，
答案 3，0
（2）设：，则，
，
，
，
答案 42
【分析】
本题整体考查新定义运算的理解与转化.
（1）新定义的直接应用（乘法逆运算）.根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可；
（2）逻辑推理的模仿与运算规则的迁移.类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可；
（3）规律猜想与逻辑证明.用已知性质（同底数幂除法）证明猜想的严谨性.类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可．
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