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5.2 菱形(2)
重点提示
判定一个四边形是菱形有三种方法：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。(2)四条边相等的四边形是菱形。(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。注意：方法(1)和(3)要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形。
夯实基础巩固
1.如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )。
A. AC=AD B. BA=BC C.∠ABC=90° D. AC=BD
2.如图，小明作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求。连结AC，BC，AD，BD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )。
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是( )。
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.无法确定
4.如图所示为一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两名同学的作法分别如下：甲：连结AC，作AC的中垂线交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形。乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形。对于甲、乙两人的作法，可判断( )。
A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
5.如图,在 ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,添加一个条件: ,可使四边形AECF为菱形。
6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,则四边形CODE的周长为 。
7.如图,在 ABCD中,G为BC边上一点,DG═DC,延长DG交AB的延长线于点E,过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F。求证：四边形AEDF是菱形。
8. 如图,在 ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连结AP,BQ,PQ。
(1)求证:△APD≌△BQC。
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形。
能力提升培优
9.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形。要使四边形AECF是菱形,则∠BAE的度数是( )。
A.30° B.40° C.45° D.50°
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点B出发,沿BA方向以 的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发，沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P'。设点Q运动的时间为t(s)，若四边形QPBP'为菱形,则t的值为( )。
A. B.2 C. D.4
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作□CDEB,当AD= 时,□CDEB为菱形。
12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为△ABC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连结BG，DF。若FG=5,CF=6,则四边形BDFG的面积为 。
13.若菱形的一个角与三角形的一个角重合，且它的对角顶点在这个重合角的对边上，则称这个菱形为这个三角形的“亲密菱形”。如图，在△CFE中， 90°，以点C为圆心，以任意长为半径作弧AD，再分别以点A，D为圆心，大于 长为半径作弧,交EF于点B,AB∥CD。
(1)求证:四边形ACDB为△CFE的“亲密菱形”。
(2)求四边形ACDB的面积。
14.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连结DF。
(1)求证:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE。
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形。
(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使得∠EFD=∠BCD,并说明理由。
实战演练
15.数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(如图1)中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形。如图2，将2个相同的菱形纵向排列放置，得到3个菱形。下列说法中，正确的是( )。
A.将3个相同的菱形纵向排列放置，最多能得到6个菱形
B.将4个相同的菱形纵向排列放置，最多能得到16个菱形
C.将5个相同的菱形纵向排列放置，最多能得到27个菱形
D.将6个相同的菱形纵向排列放置，最多能得到41个菱形
16.如图,在四边形ABCD中, 分别以B，D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点M。画射线AM交BC于点E，连结DE。
(1)求证:四边形ABED为菱形。
(2)连结BD,当CE=5时,求BD的长。
开放应用探究
17.如图1,P是线段AB上一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使.PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连结CD,E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,顺次连结E,F,G,H。
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由。
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗 说明理由。
(3)如果(2)中的∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状，不必说明理由。
5.2 菱形(2)
1. B 2. B 3. C 4. C 5. AE=EC(答案不唯一)6.16
7.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C,AD∥BC,AB∥CD。
∵AF∥ED,∴四边形AEDF是平行四边形。
∵AD∥BC,∴∠DGC=∠ADE。
∵DG=DC,∴∠DGC=∠C。
∴∠BAD=∠ADE。∴AE=DE。
∴平行四边形AEDF是菱形。
8.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC。∴∠ADB=∠DBC。
∵CQ∥DB,∴∠BCQ=∠DBC。
∴∠ADB=∠BCQ。
∵DP=CQ,∴△APD≌△BQC(SAS)。
(2)∵CQ∥DB,且CQ=DP,
∴四边形CQPD 是平行四边形。∴CD=PQ,CD∥PQ。∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD。∴AB=PQ,AB∥PQ。
∴四边形ABQP是平行四边形。
∵△APD≌△BQC,∴∠APD=∠BQC。
∵∠APD+∠APB=180°,∠ABP+∠BQC=180°,
∴∠ABP=∠APB。∴AB=AP。
∴四边形ABQP是菱形。
9. A 10. B 11. 12.15
13.(1)由已知得AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得BC是∠FCE的平分线，∴∠ACB=∠DCB。
又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB。
∴∠ACB=∠ABC。∴AC=AB。
又∵AC=CD,AB=DB,∴AC=CD=DB=BA。
∴四边形ACDB是菱形。
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合,它的对角∠ABD的顶点在EF上,∴四边形ACDB为△CFE的“亲密菱形”。
(2)如图,过点A作AG⊥CE于点G。
∵AB∥CD,
∴∠FAB=∠FCE=60°。
∴∠E=∠FBA=30°。∴CE=2CF,AB=2AF。
∵AB=AC,∴AC=2AF。
∵CE=12,∴CF=6。∴AC=4。
在Rt△ACG中,∵∠ACG=60°,∴∠CAG=30°。
∴菱形ACDB的面积为
14.(1)在△ABC和△ADC中,∵ ∴△ABC≌△ADC(SSS)。∴∠BAC=∠DAC。
在△ABF和△ADF中,∵
∴△ABF≌△ADF(SAS)。∴∠AFD=∠AFB。
∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE。
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD。
∵∠BAC=∠DAC,∴∠CAD=∠ACD。
∴AD=CD。
∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD。
∴四边形ABCD是菱形。
(3)当EB⊥CD时,∠EFD=∠BCD。理由如下:
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF。
在△BCF和△DCF中,∵
∴△BCF≌△DCF(SAS)。∴∠CBF=∠CDF。
∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°。
∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD。
∴∠EFD=∠BCD。
15. B
16.(1)如图,连结BD。
根据题意得出AM为线段BD的垂直平分线，
∴BD⊥AE,∴BE=DE。
∴∠ADB=∠DBE,∠ABD=∠ADB。
∴∠ABD=∠DBE。
∵BD⊥AE,∴∠BAE=∠BEA。∴AB=BE。
∴AD=AB=BE=DE。∴四边形ABED为菱形。
∴DE=BE=CE=CD=5,即△CDE是等边三角形。∴∠DEC=∠C=60°。∴∠DBE=∠BDE=30°。∴∠BDC=90°。∴BD= CD=5
17.(1)四边形EFGH是菱形。
(2)成立。理由如下：
如图1,连结AD,BC。∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB。又∵PA=PC,PD=PB,
∴△APD≌△CPB。∴AD=CB。
∵E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,
∴EF,FG,GH,EH分别是△ABC,△ABD,△BCD,△ACD的中位线。
∴EF=FG=GH=EH。∴四边形EFGH是菱形。
(3)如图2,四边形EFGH是正方形。

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