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湖南汨罗市第二中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷
一、单选题
1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
3．如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，过点作倾斜角为的直线，已知直线与圆交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
6．设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正四面体中，是的中心，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线：与椭圆：（）相交于，且的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列导数计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．点在圆上，点在圆上，为圆则下列结论中正确的是（ ）
A．圆心距 B．的最小值为2
C．的最大值为9 D．圆经过点的最短弦的长为4
11．已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________．
13．某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）.
14．已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_______.
四、解答题
15．已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A、B之间的距离是，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄A、C之间的距离是6km，先要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．
(1)判断村庄C在村庄B的什么方向上？并说明理由．
(2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和．
16．如图，椭圆的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.
（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；
（ⅱ）求面积的最大值.
17．已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
18．已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，记作，.
（ⅰ）求参数的取值范围；
（ⅱ）若，证明：.
19．已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
参考答案
1．B
【详解】中，令，解得，令，，
故.
故选：B
2．B
【详解】因为，，且，所以，解得，
故选：B.
3．C
【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正三棱柱的棱长均为，
可得，
所以，可得，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C.
4．A
【详解】，即，圆心坐标，半径，
因为直线过点且倾斜角为，所以直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，
故，
故选：A.
5．D
【详解】数列中，，当时，，
则当时，，
而满足上式，因此，，
则，
所以.
故选：D
6．A
【详解】若成立，则，符合等差数列的定义，
所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立.
若数列是等差数列,设其公差为，则,.
.
所以,
所以.即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选：A.
7．D
【详解】
因为为正四面体，是的中心，
所以，，
所以
.
故选：D.
8．B
【详解】设，，
将直线方程与椭圆方程联立，
消去得，
则，
因为的中点为所以，解得，
所以，，
故选：B
9．ACD
【详解】对于A选项，由，故A选项正确；
对于B选项，，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，由，故D选项正确.
故选：ACD.
10．ACD
【详解】由题意可知：圆，其圆心，半径，
圆，其圆心，半径，
对于选项ABC：圆心距，故A正确；
的最小值为，故B错误；
的最大值为，故C正确；
对于选项D：因为，
可知点M在圆内，当圆经过点M的弦与垂直时，弦长取最小值，
最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【详解】因为，所以
当时，，解得；
当时，，
两式相减可得，
即，所以.
故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误.
由，得，所以，所以B正确.
记，
当时，，
即，
故.
因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列.
故，所以C、D正确．
12．或．
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，
又由，
解得，所以或，
所以数列的通项公式为或．
故答案为：或．
13．
【详解】依题意，完成这件事共分两步完成，
第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；
第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法，
由分步乘法计数原理得一共种排法．
故答案为：.
14．
【详解】由题知，记右焦点为，过做如图所示，
与圆相切，
，，
，，
为中点，，
故，且相似比为，
即，，
，
，，
在双曲线中，有，
，
，，
为直角三角形，
，
即，
化简可得，上式两边同时平方，将代入可得，
则，即离心率.
故答案为：
15．(1)村庄在村庄的正西方向，理由见解析
(2)千米
【详解】（1）由题意可得，，，
在中，由余弦定理可得，
则，故，
即村庄，之间的距离为干米，
在中，由正弦定理可得，
则，从而，
故村庄在村庄的正西方向；
（2）因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
解得或（舍去），则，
故，
即农贸市场到村庄 的距离之和为千米.
16．(1)
(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)
【详解】（1）因为椭圆一个焦点为，所以，
点代入椭圆方程可得，
又，解得，
所以椭圆方程为.
（2）(i)由题意得，，
设，则，且①，
则的方程分别为：，.
设，则有②，③
由②，③得，由①得，
因为，
所以点M恒在椭圆上.
(ⅱ)设的方程为，代入，得，
设，则有，，
所以，令，
则，
因为，所以，
故当，即，时，有最大值3，此时过点.
所以，
即的面积的最大值为.
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆C的标准方程为．
（2）
证明：设直线的方程为，，．
由得，
，，
所以，，
即点，
所以直线的方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当时，，
则，.
又，在处的切线方程为.
（2）（ⅰ）由题知，在上有两个根，，
，即.
令，则.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
所以问题转化为在上有两个根.
易知，故，
令，则.
当时，，单调递增
当时，，单调递减.
又，时，，时，，
且时，；时，，
，解得，即参数的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得
，
要证，
即证，
即证，
即证，
令，即证在上恒成立.
令，
，
令，
，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增.
，
，得证，
.
19．(1)，
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，得，
即， 即，解得或.
当时，，不满足单调递增，
当时，，满足单调递增，
所以.
又，所以，
所以，
即数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）利用等比、等差数列前项和公式可得，
数列的前项和为，
数列的前项和为，
所以数列的前项和
即.

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