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甘肃定西市多校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
6．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若是的极小值点，则在上单调递减
B．若是的极大值点，则且
C．若，且的极小值大于0，则的取值范围为
D．若，且在上的值域为，则的取值范围为
10．正三棱柱的各棱长相等，且均为在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．三棱锥的体积的取值范围为
C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为
D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为
11．已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中，项的系数为______.（用数字作答）
13．已知，，记在的最大值为，则数列的最大项是__________．
14．已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，与不平行，，为侧棱上一点，且，，，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．某商家2023年1月至7月商品的月销售量的数据如下图所示，若月份与商品的月销售量存在线性关系.

(1)求月份与商品的月销售量的回归直线方程；
(2)若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用表示赋分之和，求的分布列和数学期望.
参考公式：回归直线方程，其中.
18．已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点，求的值.
19．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求的零点个数；
(3)证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A C C B B BCD BCD
题号 11
答案 AC
12．
13．//
14．（答案不唯一）
15．(1)
(2)5
【详解】（1）根据题意由余弦定理可得，
又可得，即可得，
所以，可得，
由正弦定理可得；
（2）易知，
解得，即；
由（1）中可得，
所以的周长为.
16．（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：因为四边形为梯形，
且与不平行，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示，
则，，，，
，则，，
，．
设平面的法向量，则，
即，令，得．
设平面的法向量，则，
即，令，得．
于是，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17．(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1），，
，
所以，，
所以.
（2）由题可知，合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，
所以，
所以的分布列为
15 20 25
数学期望.
18．(1)，
(2)1
【详解】（1）因为点和为椭圆上两点，
代入可得，解得，所以椭圆的方程为，
所以椭圆的离心率.
（2）①当直线与轴重合时，不妨设，
由，则的方程为，
令，可得，即；
由，则的方程为，
令，可得，即，
综上可得；
②当直线不与轴重合时，设直线，
由题意知，直线不过和点，所以，
联立方程组，整理得，
设，则，可得，
且.
又由直线的斜率存在，则直线的方程为，
令，可得，
同理可得，，
所以，
因为，所以.
综上可得.
19．(1)
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得，
则，
故的图象在点处的切线方程为.
（2）解法一：由，得，
令，
则，
令，显然在上单调递增，
且，故，
当时，，则，即在上单调递减；
当时，，则，即在上单调递增.
因为，
所以，从而的零点个数为2，
即的零点个数为2.
解法二：由，得，，
令，，
则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
显然函数在上单调递减，
因为，所以，
又，所以，
故的零点个数为2.
（3）证明：要证，需证，
令，则，
令，
则，
则在上单调递增，
因为，所以当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
从而，证毕.

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