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山东菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二下学期第一次定时训练数学试题
一、单选题
1．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数在处存在导数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．观察，由归纳推理得：定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．和
5．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数的导函数为则（ ）
A． B．
C． D．
8．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时, 可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导得，于是. 运用此方法可以探求得的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数中，在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C．的图象关于点对称 D．
三、填空题
12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
13．若，则_________．
14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
四、解答题
15．求下列函数的导函数
(1)；
(2)
(3)
16．已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
17．已知函数，.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值.
18．已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值．
19．已知函数的图象记为曲线C.
(1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程；
(2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值.
参考答案
1．D
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
2．B
【详解】.
故选：B.
3．C
【详解】由题设，观察可知偶函数的导函数为奇函数，
而上的函数满足，即是上的偶函数，
又为的导函数，故是奇函数，所以.
4．D
【详解】由题意，，，令，解得：且，即该函数的减区间为，也可为.
故选：D.
5．A
【详解】因为，定义域为，所以为奇函数，
，因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
又单调递增，所以，即解集为.
故选：A.
6．A
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
7．B
【详解】对求导得，，所以，
而，
因为
，
所以，
因为，
所以，
综上所述，.
故选：B.
8．D
【详解】因为，该函数的定义域为，则，
所以，，所以，，由可得，可得，
所以，函数的单调递增区间为.
故选：D.
9．CD
【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，故C正确．同理D正确．
故选：CD
10．ABC
【详解】对于A：，，，
则在上恒有，故A正确；
对于B：，，，
则在上恒有，故B正确；
对于C：，，，
则在上恒有，故C正确；
对于D：，，，
则在上恒有，故D错误.
故选：ABC.
11．BD
【详解】对A，，，
根据复合函数单调性知在，上单调递增，
当时，，当时，，∴在定义域上不是单调递增，故A错误；
对B，因为，故B正确；
对C，∵，∴，
∴的图象关于点对称，故C错误；
∵，由可得D正确．
故选：BD.
12．（答案不唯一，均满足）
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
13．
【详解】因为，
则，
故.
故答案为：.
14．
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以.
16．(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为．
【详解】（1）由，解得；
（2）由（Ⅰ）得，
则，
令，解得，又，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
17．(1)答案见解析
(2)
(3).
【详解】（1）由题意知.
①当时，恒成立，
所以的单调递增区间是；
②当时，令，得或，
令，得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
③当时，令，得或，令，得，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，若在内单调递减，
则，解得，
即a的取值范围是.
（3）由（1）知，若的单调递减区间是，
则，解得.
18．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
令，得，解得
（2）由，得，
则曲线在点处的切线的斜率，
又切线与直线垂直，
所以，解得
（3）由（1）得曲线在点处的切线的斜率，
又，则切点坐标为，
则在点处的切线方程为，即，
由题意也是的切线，设切点坐标为，
则，所以在点处切线的斜率，
解得，则，即切点坐标为，
将切点代入，可得，
解得.
19．(1)或
(2)2
【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上，
所以，所以， ，
设切点为，切线方程为:，即，
因为切线过点，所以，即，
，
，所以或，
所以切点为或，
将或代入，
可得切线方程为：或．
（2）函数，求导得，
设切点为，切线方程为，即，
切线过点，则，
依题意方程有三个不同解，且成等差数列，
设三个不同解为，且，
，
则，结合，得，，
，所以，
所以．

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