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陕西省咸阳多校2026届高三3月联考数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若一个圆锥的高为3，母线与底面所成角为60°，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3π C．6π D．6π
3．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．40 D．80
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，平分，且交于，若，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．已知的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数图象关于点对称
10．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知样本的平均数是，标准差是，则________.
13．已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为________．
14．设定义在R上的函数满足，且，则在R上的最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
(2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
16．在四棱锥中，点是棱上一点，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
17．已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若函数的图象恒在直线y＝1的下方，求实数a的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.
(1)在平面直角坐标系中，写出将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，求曲线绕原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线的方程；
(3)已知由（2）得到的曲线与轴正半轴的交点为，直线与曲线的两支交于，两点（在第一象限），与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，证明：为定值.
19．已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点处的切线交轴于点．当时，设曲线在点处的切线交轴于点．依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”．
(1)若，是函数关于的“数列”，求的值；
(2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；
(3)若，记函数为的导函数（），函数的图象在处的切线与轴相交的交点横坐标为，求．
1．D
2．D
3．B
4．B
5．D
6．A
7．B
8．B
9．ABD
10．AC
11．ABD
12．96
13．/
14．
15．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）甲3局全胜的概率为,
乙3局全胜的概率为，
进行3局比赛决出冠亚军的概率为
（2）的可能取值为1，2，
，
，
故的分布列为：
1 2
故．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，.
因为，，，所以，
所以，.
又，所以平面，从而.
因为，，所以平面.
（2）因为平面，所以，，又，
所以.
因为，所以.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
因为，所以，.
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以.
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，．欲证，即证，
即证．令，定义域为，则．当时，，当时，，所以函数的最大值为，故，所以．
（2）函数的定义域为，，
令，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为．由题意知，，，
即实数a的取值范围是．
18．(1)，.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），
所以
故，
故.
（2）设将点绕原点按逆时针方向旋转后得到的点为.
设，，
则，，，
所以，
.
设曲线上任意一点绕原点沿逆时针方向旋转后所得点的坐标为，
则
得，则，所求曲线方程为.
（3）①若直线的斜率存在，可设直线的方程为，，.
由得，
所以，，且由，得，解得.
当时，取，，，
所以直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程，可得，解得或，
所以，，所以，
所以，可得.
当时，设直线，的斜率分别为，.
，，
所以
，
，
所以.
因为点在第一象限，所以，
所以，所以.
②若直线的斜率不存在，则，，
可得，，
所以，同理可得.
综上，为定值.
19．(1)
(2)证明见解析，2
(3)
【详解】（1）解：由，得，
因为，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，则，所以．
（2）证明： 由，得，
于是曲线在点处的切线方程为，
令，则，
由题意得到，
所以，
又，所以，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（3）解：由已知条件可知：
切点坐标 因为
所以切线的斜率
所以切线的方程为
令，得，即
因为
所以

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