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(共21张PPT)
8.1.1 第2课时 三角形的中线、角平分线和高
1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．
2．能够准确画出三角形的高、中线和角平分线．
如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD，在点 D 的运动过程中，观察点 D或线段 AD 有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？
小提示：可以从线段之间、角度之间大小关系考虑.
观察上述视频，动手画出特殊位置的线段 AP.
P 是 BC 的中点
AP 是三角形的中线
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
几何语言：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD=BC(或BC=2BD=2CD).
D
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
三角形的三条中线交于三角形内部一点.这点称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
AP 平分∠BAC
AP 是三角形的角平分线
如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．
B
C
D
A
(
(
几何语言：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD= ∠CAD= ∠BAC(或∠BAC=2∠BAD=2∠CAD).
相同点：∠BAD= ∠CAD；不同点：前者是线段，后者是射线.
三角形的角平分线与角的角平分线的异同点：
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察它们的交点有什么规律？
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.这点称为三角形的内心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
AP 与 BC 垂直
AP 是三角形的高
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A
B
C
D
垂直符号
垂足
几何语言：∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC(或∠ADB= ∠ADC=90°).
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
三角形的三条高所在的直线交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
O
(E,F)
O
画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
由前面的操作，我们可以发现，
三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在的直线）分别____________；
直角三角形三条高的交点就是____________；
钝角三角形有两条高位于三角形的外部.
交于一点
直角顶点
如图，在△ABC中，请作图:
（1）画出△ABC的∠C的平分线；
（2）画出△ABC的边AC上的中线；
（3）画出△ABC的边BC上的高.
A
B
C
D
E
F
如图，CF是∠ACB的角平分线；
BE是AC边上的中线；
AD是边BC上的高.
注意 ：画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段.
2.如图，在 △ABC 中，AD 是 △ABC 的中线，AE 是 △ABC 的高.试判断 △ABD 和 △ACD 的面积有什么关系，为什么？
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
B
C
D
E
A
三角形的中线能将三角形的面积平分
三角形的重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
角平分线
是线段，不是射线
1．下列说法正确的是 （　　）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
D
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=75°，
∴∠BAE= ∠BAC= 37.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
解：(1)∵，
AE是△ABC的中线，
∴
1.如图，已知 AD，AE 分别是 △ABC 的高和中线，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm， ∠CAB = 90 °，试求：
(1) △ABE 的面积；(2) △ACE 和 △ABE 的周长的差.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：(2) ∵AE 是 △ABC 的中线，∴BE=CE
∴△ACE 和 △ABE 的周长的差
=（AC+AE+CE）-（AB+AE+BE）
= AC+AE+CE-AB-AE-BE = AC-AB
= 8-6 = 2(cm)
三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB 的差
1.如图，已知 AD，AE 分别是 △ABC 的高和中线，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm， ∠CAB = 90 °，试求：
(1) △ABE 的面积；(2) △ACE 和 △ABE 的周长的差.

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