资源简介

(共19张PPT)
8.1.2 第1课时 三角形的内角和
1.能证明三角形内角和的性质
2.能应用三角形的内角和的性质解决角度问题
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形的内角和等于180°.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
通过撕拼的过程，能不能发现一些证明的思路呢？
A
B
C
E
①延长 BC 至点 E
②以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠B
则 CD// BA
D
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
你还有其他方法吗？
A
B
C
1
2
3
解：如图，延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2，
E
D
∵CD // BA，∴∠1 =∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°（等量代换）.
则 CD// BA（同位角相等，两直线平行）.
A
B
C
1
2
3
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）.
证明：过点 A 作直线 l ，使 l ∥BC.
∵ l ∥BC ， ∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5（两直线平行，内错角相等）.
4
5
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
三角形内角和
三角形的内角和等于180°.
A
B
C
几何语言：
在△ABC 中，
∠A +∠B +∠C = 180°
1. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.
（1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____；
（2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____；
（3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____.
（1）∠C = 180°–∠A –∠B
45°
（2）设∠A = 4x，则∠B = 5x，∠C = 9x
∴ 4x + 5x + 9x = 180°
解得 x = 10°
90°
54°
（3）设∠C = x，则∠A = 6x，∠B = 3x
∴ 6x + 3x + x = 180°
解得 x = 18°
思考：如图，在直角三角形ABC中，∠C =90°，∠A与∠B有何关系
由三角形的内角和等于 180°，得
∠A+∠B+∠C = 180°.
由此可以推出
∠A+∠B=180°∠C = 90°，
即∠A与∠B互余.
这就是说，直角三角形的两个锐角互余.
A
B
C
直角边
直角边
斜边
直角三角形角的性质
直角三角形的两个锐角互余．
几何语言：
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．
直角三角形的表示：可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
例1 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45，∠C = 65. 求∠BAC 的度数.
解：在Rt△ABC中，∵∠1+∠B=90（直角三角形的两个内角互余），
∴∠B=90∠1（等式性质）.
又∵∠1=45（已知），∴∠B=9045=45（等量代换）.
A
C
B
1
65
在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180（三角形的内角和等于180），
∴∠BAC=180∠B∠C（等式性质）.
又∵∠B=45，∠C=65（已知），
∴∠BAC=1804565=70（等量代换）.
思考：我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
A
C
B
∠A +∠B +∠C = 180°.
又∵ ∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 180°– 90°= 90°.
由三角形的内角和等于180°，得
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，
∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形
几何语言：
A
C
B
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形.
解：∵∠C = 90°，
∴∠A +∠ABC = 90°.
又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE，
∴△BDE 是直角三角形.
A
C
B
D
E
∴∠D+ ∠DBE= 90°
三角形的
内角和
三角形的内角和等于 180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
2.下列条件不能判定 是直角三角形的是( )
A. B.
C. D. ，
C
1
A
C
B
2
4
3
D
E
1. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____.
280°
3. 如图,在△ABC中,∠BAC=89°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,∠B=51°,求∠1的度数.
解：∵ ∠B=51°,∠BAC=89°,
∴ ∠C=180°-51°-89°=40°.
∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC=90°.∴ ∠CAD=90-40°=50°.
∵ AE平分∠DAC，∴ ∠1=∠DAC=×50°=25°
1. 如图,△EFG的三个顶点E、G、F分别在平行线AB、CD上,FH平分∠EFG,交线段EG于点H.若∠AEF=36°,∠BEG=57°,则∠EHF的度数为　　　　.
75°
2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,且∠CEF=∠CFE.试说明:CD⊥AB.
解：∵ AF平分∠CAB,∴ ∠CAF=∠BAF.∵ ∠CEF=∠CFE,
∠AED=∠CEF,∴ ∠CFE=∠AED.∵ 在Rt△ACF中,
∠ACF=90°,∴ ∠CAF+∠CFE=90°.∵ ∠CAF=∠BAF,
∠CFE=∠AED,∴ ∠BAF+∠AED=90°.∴ ∠ADE=90°.
∴ CD⊥AB

展开更多......

收起↑