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8.1.2 第2课时 三角形的外角和
1.探索并能说明三角形外角的两条性质;
2.能利用三角形的外角性质解决实际问题.
如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°.
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
观察∠ACD与∠A、∠B之间有什么关系？
问题 1：观察图形：三角形的外角和它相邻的内角有什么关系呢
外角
相邻内角
三角形的外角和它相邻的内角组成一个平角
即：三角形的外角和它相邻的内角互补
思考：三角形的外角和它不相邻的内角又有着什么关系呢？
问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A + ∠ B有什么关系？
提出猜想：∠ BCD = ∠ A + ∠ B；
证明：
在△ ABC 中：∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°
（三角形内角和定理）；
又∠ ACD 是一个平角：即∠ ACB + ∠ DCB = 180°；
故： ∠ A + ∠ B = ∠ DCB （等量代换）；
结论：三角形的任一外角等于其不相邻的两内角之和
问题3：如图，△ABC的外角∠BCD与∠ A、∠ B 分别有什么关系？
提出猜想： ∠BCD > ∠ A；∠BCD > ∠ B；
证明：已知：∠ A + ∠ B = ∠ BCD ；
两边同时减去 ∠A 得：∠ B = ∠ BCD – ∠ A ；
又 ∠ BCD – ∠ A < ∠ BCD；
故：∠ BCD > ∠ B；
同理可证： ∠BCD > ∠ A；
结论：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
性质1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
性质2：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
即：∠ B + ∠ C = ∠ CAD
即：∠ CAD > ∠ B，∠ CAD > ∠ C
三角形外角的性质
问题提出：前面我们已经知道了三角形的内角和为180°，那么三角形的外角和为多少？
问题探究：在 △ABC 中，有 个外角；
6
不是
规定：每个内角只取一个与其相邻的外角相加，它们的和即是外角和；
如：△ABC 的外角和为：∠1 + ∠3 + ∠5 或 ∠2 + ∠4 + ∠6 .
1
2
3
4
5
6
B
C
A
思考：三角形的外角和是6个外角相加的和吗？
问题解决：三角形的外角和为 ∠1 + ∠3 + ∠5；
由图可知：∠1 + ∠BAC = 180°；
∠3 + ∠ABC = 180°；
∠5 + ∠BCA = 180°；
则：∠1 + ∠BAC + ∠3 + ∠ABC + ∠5 + ∠BCA = 3×180°；
又：∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°；
故：∠1 + ∠3 + ∠5 = 360°；
1
3
5
B
C
A
结论：三角形的外角和为360°
例1 如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC= 70°.
(1)求∠B的度数；(2)求∠C的度数.
B
A
D
C
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠B+∠BAD =∠ADC = 80°
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B=∠BAD（已知），
∴∠B=80°× = 40°（等量代换）.
解：（2）∵∠B+∠BAC+∠C = 180
（三角形的内角和等于180），
∴∠C = 180∠B∠BAC（等式的性质）.
又∵∠B = 40（已求），∠BAC = 70（已知），
∴∠C=1804070 = 70（等量代换）.
例1 如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC= 70°.
(1)求∠B的度数；(2)求∠C的度数.
B
A
D
C
1. 在△ABC中，∠B = ∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线，求∠1的度数.
解：已知：∠ACB = 70°且CD是∠ACB的角平分线；
∴ ∠DCB = 35°；（角平分线定义）
∵ ∠1 是△ BCD的外角；
∴ ∠1 = ∠B +∠DCB = 105°（三角形的外角的性质）.
A
B
C
D
1
∵∠1、∠2、∠3 分别是△ABN、△CDP、△EFM的外角；
∴ ∠1 = ∠A + ∠B，∠2 = ∠C + ∠D，∠3 = ∠E + ∠F；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ；
又 ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 是 △PMN 的外角和；
∴ ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D +∠ E +∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°
2. 如图，试求出 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ________.
360°
三角形的外角
性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
外角和：三角形的外角和为 360°；
性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
1.说出下列图形中∠1的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
1
(1)
A
B
C
(
(
(
1
50 °
32 °
(2)
∠1=140 °
∠1=18 °
2. 如图，AB//CD，∠A = 37°，∠C = 63°，那么 ∠F 等于（ ）
A. 26° B. 63° C. 37° D. 60°
F
A
B
E
C
D
A
3. 如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
解：（1）∵ ∠ADC是△ABD的外角；∴ ∠ADC = ∠B+∠BAD = 80°.
又∵ ∠B = ∠BAD，∴ ∠ = 80°×0.5 = 40°.
A
B
C
D
（2）在△ABC中，∠ B + ∠ BAC + ∠ C = 180°，
∠C = 180°- 40°- 70°= 70°.
1.将一副直角三角尺如图放置,使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠α的度数为(　 　)
A. 75° B. 105° C. 135° D. 165°
D
2. 如图,在△ABC中，∠BAC=30°，∠C=70°，AF平分∠BAC，BF平分∠CBE，AF交BC于点D，求∠BDA的度数和∠F的度数.
解：∵ AF平分∠BAC,∠BAC=30°,∴ ∠CAD=∠CAB=15°.
∴ ∠BDA=∠C+∠CAD=85°.
∵ ∠CBE=∠C+∠BAC=100°,BF平分∠CBE,∴ ∠CBF=∠CBE=50°.
∴ ∠F=∠BDA-∠CBF=35°

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