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8.1.3 三角形的三边关系
1.掌握三角形三边关系，理解三角形具有稳定性;
2.会用三角形的三边关系进行相关计算或比较.
A
B
C
一只蚂蚁沿木条钉成的三角形的边从A点出发去吃B点的食物，可以有哪些路线？如何走最快？
路线二：沿AB走
路线一：沿A-C-B走
根据两点之间线段最短，可知走线段AB最短.
在小学阶段，我们已经通过观察或度量，了解到“三角形的任意两边之和大于第三边”这样一个事实，现在让我们通过作三角形的过程，再次体会这一结论.
作一个三角形，使它的三条边长分别为4 cm、3 cm、2.5 cm.
做一做:
作一个三角形，使它的三条边长分别为4 cm、3 cm、2.5 cm.
做一做:
A
B
1. 先作线段 AB = 4cm；
2. 然后以点 A 为圆心、3 cm 长为半径作圆弧；
3. 再以点 B 为圆心、2.5 cm 长为半径作圆弧，两弧相交于点 C；
C
4 cm
4. 连结 AC、BC.
3 cm
2.5 cm
△ABC 就是所要作的三角形.
圆上任意一点到圆心的距离相等.
试一试：
现有 12 条已知长度的线段：三条长 2 cm、三条长 3 cm、两条长 4 cm、两条长 5 cm、两条长 6 cm. 任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你选择的三条线段的长.
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
在作三角形的过程中，你可能会发现下列几种情况：
①
①当两条线段的和大于第三条线段时，两弧的交点在第三条线段所在直线的外部，能构成三角形；
②
③
②当两条线段的和等于第三条线段时，两弧的交点在第三条线段上，不能构成三角形；
③当两条线段的和小于第三条线段时，两弧没有交点，不能构成三角形.
综上可知：并不是任意三条线段都可以组成一个三角形；
只有当任意两条线段之和大于第三条线段时，才能组成三角形；
思考：三角形的两边之差与第三边有什么关系呢？
如图，已知 BC + AC > AB ；
根据不等式的性质 1，得 BC+ AC – AC > AB – AC ；
即 BC > AB – AC ；
所以：三角形的两边之差小于第三边.
A
B
C
三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，即a+b>c，a+c>b，b+c>a
三角形两边的差小于第三边，即a-b1.下列长度的各组线段能构成三角形的是( )
A.2，2，4 B.3，4，5 C.1，2，3 D.2，3，6
2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )
A.17 B.15 C.13 D.13或17
B
A
用木条钉成的三角形和四边形，用边拉一拉，各有什么变化？
用力一拉四边形变形了，而三角形却一点不变.
如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.四边形就不具有稳定性.
如图是位于中国新疆维吾尔自治区境内的果子沟大桥，它是新疆重要民生工程，其拉索就是三角形结构.
3.在实际生活中，经常用到一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( )
A.伸缩门 B.升降机 C.栅栏 D.椅子
C
三角形的稳定性是三角形特有的性质
4.已知，△ABC的三边长为4，10，x.
(1)求x的取值范围；(2)当△ABC的周长为偶数时，求x.
解：(1)因为三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，
所以10-4＜x＜10＋4，即6＜x＜14，
所以x的取值范围是6＜x＜14.
(2)因为△ABC的周长x＋4＋10＝x＋14为偶数，所以x为偶数.
因为6＜x＜14，所以x可以为8，10，12.
三角形的三边关系
三角形的三边关系：任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边.
应用
稳定性
三角形
独有性质
应用
1.如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
2. 五条线段的长分别为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线为边长可以构成 个三角形
3
3.已知三角形的三边为，，，若，， 为奇数，
求三角形 的周长.
解：根据三角形三边的关系得到，即.
又 为奇数， ，
的周长为 ．
1. 小明、小芳和小兵三名同学同时测量△ABC的三边长,小明说:“三角形的周长是11.”小芳说:“有一条边的长是4.”小兵说:“三条边的长是三个不同的整数.”由这三名同学的描述可知,△ABC的三边的长应该是 .
2、4、5
2. 已知a、b、c为△ABC的三边长.
(1) 若b、c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,求该三角形的周长,并判断△ABC的形状;
(2) 若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值和最小值.
解：(1) ∵(b-2)2+|c-3|=0,∴b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3.
∵a为方程|a-4|=2的解,∴a-4=±2,解得a=6或a=2.
∵a、b、c为△ABC的三边长,b+c=5<6,∴a=6不合题意,舍去.∴a=2.
∴△ABC的周长为2+2+3=7.∵a=b=2,∴△ABC是等腰三角形　
(2) ∵ a=5,b=2,∴ 解得3∴△ABC周长的最大值为5+2+6=13,最小值为5+2+4=11

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